Разработка урока по геометрии на тему: 'Многогранники' (11 класс)

Тема урока: «Правильные многогранники»

Цель изучения

• Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников - правильными многогранниками.

• Показать связь геометрии и природы.

Прогнозируемый результат

• Знать определение правильных выпуклых многогранников.

• Уметь доказать, что существует всего пять видов таких тел.

• Уметь охарактеризовать каждый вид правильных многогранников.

• Знать теорему Эйлера (без доказательства).

• Уметь решать задачи на нахождение элементов правильных многогранников.

План урока

• Организационный момент.

• Усвоение нового материала (работа с презентацией и объяснение материала учителем)

• Закрепление новых знаний

• Решение задач.

• Подведение итога урока.

• Домашнее задание.

ХОД УРОКА

…На данный момент уже вы имеете представление о таких многогранниках как призма и пирамида. На сегодняшнем уроке у вас есть возможность значительно расширить свои знания о многогранниках, вы узнаете о так называемых правильных выпуклых многогранниках.

- Сегодня на уроке нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика? Какие тела носят название тел Кеплера - Пуансо? И многие- многие другие… И, наконец: где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них?

Слайд 1-2

Итак, я приглашаю вас в "Мир многогранников".

Слайд 3

Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

Слайд 4

Рассмотрим классификацию многогранников.

Слайд 5-6

Дадим определение выпуклых и невыпуклых многогранников.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Невыпуклый многогранник - многогранник, расположенный по разные стороны от плоскости одной из его граней.

Слайд 7

Начинаем знакомство с правильных пространственных фигур. Правильными многогранниками называют выпуклые многогранники, все грани и все углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники.

Слайды 7-17

Исследуем сколько существует правильных многогранников?

Правильный тетраэдр (рис. 1) составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 о.

Рис. 1

Правильный октаэдр (рис. 2) составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240 о.

Рис. 2

Правильный икосаэдр (рис. 3) составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 о.

Рис. 3

Куб (гексаэдр) (рис. 4) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 о.

Рис. 4

Правильный додекаэдр (рис. 5) составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 о .

Рис. 5

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:

«эдра» - грань

«тетра» - 4

«гекса» - 6

«окта» - 8

«икоса» - 20

«додека» - 12

Слайды 18-19

Заполните, пожалуйста, таблицу в вашей карте. Подсчитайте количество вершин, граней и ребер у правильных многогранников.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера, устанавливающая связь между числом вершин, граней и ребер. В - Р + Г = 2 . Давайте проверим правильность заполнения вами таблицы и выполнение данной формулы.

Слайды 19-21

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 - ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр - как самый обтекаемый - воду; куб - самая устойчивая из фигур - землю, а октаэдр - воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник - додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Слайды 22-23:

Следующий вид многогранников - тела Архимеда. Чем же они отличаются от Платоновых тел? (Грани - правильные многоугольники нескольких типов)

Архимедовыми телами называются полуправильные выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов.

Слайды 24-25:

Среди существуют аналоги - четыре правильных невыпуклых однородных многогранника или тела Кеплера - Пуансо.

Как следует из их названия, тела Кеплера-Пуансо - это невыпуклые , все грани которых - одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы которых равны.

Слайды 26-35:

С многогранниками мы постоянно встречаемся в нашей жизни. Это древние Египетские пирамиды и кубики, которыми играют дети; объекты архитектуры и дизайна, природные кристаллы; вирусы, которые можно рассмотреть только в электронный микроскоп, прочные конструкции - шестиугольные соты, которые пчелы строили задолго до появления человека.

Слайды 35-46

Тесты

1.Поверхность, составленная из четырех треугольников

А) ТЕТРАЭДР

B) ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

С) КВАДРАТ

D) ШАР

2.Поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело

А) МНОГОУГОЛЬНИК

B) МНОГОГРАННИК

С) ТРЕУГОЛЬНИК

D) КВАДРАТ

3. Многоугольник, из которого составлен многогранник

А) СТОРОНА

B) РЕБРО

С) ГРАНЬ

D) ВЕРШИНА

4. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани

А) ДИАГОНАЛЬ

B) МЕДИАНА

С) ВЫСОТА

D) АПОФЕМА

5. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины

А) ДИАГОНАЛЬ

B) АПОФЕМА

С) КАТЕТ

D) ГИПОТЕНУЗА

6. Этот правильный многогранник составлен из 8-ми равносторонних треугольников

А) КВАДРАТ

B) ТЕТРАЭДР

С) ДОДЕКАЭДР

D) ОКТАЭДР

7. Составлен из 6-ти правильных четырехугольников

А) КВАДРАТ

B) ТЕТРАЭДР

С) КУБ

D) ПИРАМИДА

8. Стихия тетраэдра

А) ВОДА

B) ВОЗДУХ

С) ЗЕМЛЯ

D) ОГОНЬ

9. Многоугольник, подобный пчелиным сотам

А) 8-МИ УГОЛЬНИК

B) 6-ТИ УГОЛЬНИК

B) 6-ТИ УГОЛЬНИК

D) ТРЕУГОЛЬНИК

Слайд 47

1. A 2. B 3. C 4. A 5. B 6. D 7. C 8. D 9. B

Слайд 48 кроссворд

Погоризонтали:
1. Количество сходящихся ребер у октаэдра.

2. Грань додекаэдра.

3. Боковая грань усеченной пирамиды.

4. Правильный многогранник.

Повертикали:
2. Граница многогранника.

5. Правильная треугольная пирамида.

6. Перпендикуляр, опущенный из вершины

пирамиды на плоскость основания.

Раздаточный материал

Правильный многогранник

Число

граней

вершин

рёбер

Тетраэдр

Куб

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

Итог урока. Рефлексия.

Делается общий вывод о том, чему научились на уроке. Ещё раз повторяются определения и виды правильных многогранников, связь с окружающей средой, природой. Подводится итог урока, оцениваются работы учащихся, а также тех кто подготовил материал из истории геометрии.

Математика повсюду -
Глазом только поведешь
И примеров сразу уйму
Ты вокруг себя найдешь…

Домашнее задание.

Сделать развертки правильных многогранников. Подготовить примерные решения к задачам №№1-7.