Урок по теме:

«Различные позиционные системы счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую»

Тип урока: урок с применением профориентации

Вид: интегрированный и комбинированный урок

Технология: личностно-ориентированная

Оборудование: доска , мел, карточки, таблицы

Цели урока:

• Обобщить и систематизировать понятия по теме: «Системы счисления»

• Развивать у школьников теоретическое мышление

• Проверить знания и умения учащихся по переводу чисел из одной позиционной системы счисления в другую и умения производить с ними арифметические действия

• Познакомить учащихся с переводом дробных чисел в разных системах счисления, а также с применением систем счисления в нашей повседневной жизни.

Задачи урока:

1. Воспитательная - развитие познавательного интереса , логического мышления

2. Учебная - вспомнить все о системах счисления , о способе записи в разных системах счисления

3. Развивающая - развитие алгоритмического мышления , памяти внимательности

ПЛАН УРОКА

1. Организационный момент

2. Фронтальный опрос

3. Изложение нового материала

4. Закрепление изученного материала

5. Проверка домашнего задания

6. Итог урока

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Фронтальный опрос учащихся

ВОПРОСЫ:

1. Что называют системой счисления?

Системой счисления называется совокупность символов (цифр) и правил их использования для представления чисел

2. Какие виды систем счисления вы знаете?

Позиционные и непозиционные системы счисления

3. Приведите примеры непозиционной системы счисления

Римская система в которой в качестве цифр используются некоторые буквы: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

4. А почему она считается непозиционной системой счисления?

В системе значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например в числе ХХХ цифра Х встречается трижды, а в каждом случае обозначает одну и туже величину 10, а в сумме ХХХ это 30.

5. Какая система называется позиционной?

В позиционной системе счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция цифры называется РАЗРЯДОМ. Размер числа возрастает с права на лево .Наиболее распространенной в настоящее время являются : десятичная, двоичная , восьмеричная и шестнадцатеричная .

6. Что называться основанием в позиционной системе счисления?

В позиционной системе счисления основание системы равно количеству цифр , используемых ею, и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов чисел.

7. Как можно записать число в позиционной системе счисления ?

Любое число в позиционной системе счисления с произвольным основанием можно записать в виде многочлена

А_(s)=a_nsⁿ+ a_n-1s^n-1+ …+ a_-ms^-m , где s - основание системы, а степень соответствует разряду цифры а в числе А_(s)

Например: 345₁₀=3· 10²+4· 10¹+ 5·10 ⁰

8. Какие примеры вы можете привести позиционной системы счисления?

Например:

101010₂- двоичная (основание 2, используются две цифры -0,1)

345₁₀ - десятичная ( основание 10, используются десять цифр -

0…9)

746₈ - восьмеричная (основание 8, используются 8 цифр - 0…7)

9. Как можно перевести любое число в десятичную систему счисления?

Нужно воспользоваться многочленом

А_(s)=a_nsⁿ+ a_n-1s^n-1+ …+ a_-ms^-m

Например:

4 3 2 1 0

10111=1·2⁴+0·2³+1·2²+1·2¹+1·2⁰= 16+4+2+1=23₁₀

2 1 0

221₃= 2·3²+2·3¹+ 1·3⁰=2·9+2·3+1=18+6+1=25₁₀

10. Как можно перевести из десятичной системы счисления в любую систему счисления с произвольным основанием?

Например:

Из 10 2 Из 10 3

13₁₀=1101₂ 13₁₀=111₃

13. 2 ост. 1 13 3 ост.1

6 2 ост. 0 4 3 ост.1

3. 2 ост. 1 1

1

11. Какие действия мы можем выполнять в двоичной системе счисления?

Сложение, вычитание, умножение и деление.

12. Напишите правило сложения

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0 (единица переносится в более старший разряд)

13.Напишите правило вычитания

0-0=0

1-0=1

1-1=0

10-1 =1 (единица занимается из более старшего разряда)

14.Напишите правило умножения

0·0=0

0·1=0

1·0=0

1·1=1

Учитель: На прошлом уроке мы с вами изучили еще две системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную.

15.В чем же преимущество у шестнадцатеричной системы счисления в отличии от других?

Недостаток двоичной системы счисления в том, что для записи даже небольших чисел приходится использовать много знаков, так как основание мало. Поэтому в современных компьютерах помимо двоичной системы счисления применяются и другие , более компактные по длине чисел системы. Такими являются шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления.

16.Как перевести число записанное в двоичной системе счисления в шестнадцатеричную ?

Для того чтобы перевести в восьмеричную систему счисления двоичное число , его нужно разбить на группы по 3 цифры справа на лево (если количество цифр не кратно 3 , то впереди нужно дописать нужное количество нулей) и заменить каждую группу соответствующей восьмеричной цифрой.

Например:

1 111 101 001 ₂= 011 111 101 001₂= 3754₈

17.Как перевести число из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную?

Для записи шестнадцатеричных цифр используют первые буквы алфавита. Перевод из 16 2 и обратно аналогичен переводу в двоичной системе счисления.

Например:

AOF₁₆= 1010 0000 1111₂ и обратно

11 1110 1001₂= 0011 1110 1001₂ = 3Е9₁₆

III.Объяснение нового материала

Мы с вами вспомнили , все что знали о системах счисления . Вспомнили как переводить целые числа из одной системы в другую. А теперь давайте с вами научимся переводить дробные числа из двоичной системы счисления в десятичную и обратно.

Нам дано дробное число в двоичной системе счисления 1011,011₂ .

Как вы думаете, как перевести это число в десятичную систему счисления?

(предполагаемый ответ ученика)

Как мы переводили с вами целое число в десятичную систему счисления?

3 2 1 0 -1 -2 -3

1 0 1 1 , 0 1 1₂= 1·2³+0·2²+1·2¹+1·2⁰+0·2^-1+1·2^-2+1·2^-3=8+2+1+1/4+1/8=11,375₁₀

А как же нам перевести число 11,375₁₀ обратно в двоичную систему счисления ?

Как мы переводили целую часть ?

11 2 ост.1 11,375₁₀= 1011+ 0,011=1011,011₂

5 2 ост.1

2 2 ост.0

1

375 375:125 3 2 1 1 1 1 1

0,375=------- = ----------- = --- = -- + -- = -- + -- = -- + -- = 2^-2+2^-3 =

1000 1000:125 8 8 8 4 8 2^-2 2^-3

= 0·2^-1+ 1·2^-2+ 1·2^-3

Пример2:

0,25₁₀= 0,01₂

25 25:25 1 1

0,25 = ---- = --------- = -- = -- = 2^-2=02^-1+12^-2

100 100:25 4 2²

Вопросы по данной теме у кого-нибудь есть ?

IV. Закрепление изученного материала.

Учащимся раздаются карточки с заданиями на 10 минут

Карточка №1

1. Переведите число данное в десятичной системе счисления в

двоичную , а затем в шестнадцатеричную систему счисления:

а) 153,25₁₀ б)712,5₁₀

2. Переведите данное число в десятичную систему счисления:

а) 10110101,1₂ б)100000110,10101₂

Карточка №2

1. Переведите число данное в десятичной системе счисления в

двоичную , а затем в шестнадцатеричную систему счисления:

а) 670,25₁₀ б)162,5₁₀

2. Переведите данное число в десятичную систему счисления:

а) 1111100111,01₂ б)1001011,00101₂

Карточка №3

1. Сложите данные числа:

110010,101₂+ 1011010011,01₂

2. Выполните вычитание:

1101111011,01₂ - 101000010,0111₂

3.Выполните умножение:

1100110₂ х 1011010₂

Карточка №4

1. Сложите данные числа:

111111111,0011₂+ 111111111,0101₂

2. Выполните вычитание:

1101100110,01₂ - 110000010,1011₂

3.Выполните умножение:

1001111₂ х 1000100₂

Сначала выполняются карточки №1 и №2 , затем проверяются ответы с помощью кодов на доске. Те учащиеся, которые справились с заданиями, назначаются консультантами к тем, кто не справился с заданием.

После этого все выполняют карточки №3 и №4.

Ответы проверяются с помощью кодов на доске.

ОТВЕТЫ К КАРТОЧКАМ

Карточка №2

1. 670,25₁₀ 1010011110,01₂ 29Е,4₁₆

162,5₁₀ 10100010,1₂ А2,8₁₆

2. 1111100111,01₂ 999,25₁₀

1001011,00101₂ 74,15625₁₀

Карточка №1

1. 153,25₁₀ 10011001,01₂ 9В,4₁₆

712,5₁₀ 1011001000,1₂ 2С8,8₁₆

2. 10110101,1₂ 181,5₁₀

100000110,1011₂ 261,065625₁₀

Карточка №3

1. 0000110010,101 2. 1101111011,0100

+ 1011010011,010 - 101000010,0111

1100000101,111 1000111000,1101

3. 1100110

х 1011010

10001111011100

Карточка №4

1. 111111111,0010 2. 1111100110,0100

+111111111,0101 - 1100000010,1011

11111111110,0111 0011100011,0001

3. 1001111

х 1000100

10100111111

V. Проверка домашнего задания .

Где применяются и используются системы счисления ?

• В Древнем Вавилоне использовалась система счисления с основанием 60. Делением часа на 60 минут, а минута на 60 секунд мы обязаны этой системе счисления.

• Тот факт ,что основанием используемой нами системой счисления является число 10, объясняется тем, что природа наделила нас десятью пальцами на руках и ногах.

• Система гадания китайской «Книги перемен» («И-Цзин»),уходящая корнями в глубокую древность , при внимательном анализе обнаруживает в своей основе двоичную систему счисления и позиционный принцип записи числа

• На островах Океании используется одинадцатеричная система счисления

• Японцы используют пятиричную систему счисления

• Измерение времени и градусной меры углов основывается на шестидесятиричной системе счисления древних шумеров

• Двенадцатеричная система счисления: на ее широкое использование в прошлом явно указывают названия числительных во многих языках , а так же сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами времени. Год состоит из 12 месяцев, а половина суток из 12 часов. В русском языке счет часто идет дюжинами, чуть реже гроссами. О существовании 12ричной системы счисления говорит тот факт, что сервизы, салфетки, столовые приборы продают наборами по 6 или 12 штук.

• Изобретение десятичной системы счисления приписывают древним арабам, развитие - индусам. Появление ее в Европе датируется примерно 1200г.н.э. Десятичными цифрами выражается время, номера домов, телефонов, цены, показания приборов, на них базируется метрическая система мер

• Двоичная система мер используется в ЭВМ. Однако эта система счисления была предметом пристального внимания . Вот, что писал выдающийся французский математик ПЬЕР СИМОН ЛАПЛАС (1749 - 1807) об отношении к двоичной системе счисления: «В своей двоичной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль - небытиё, и что высшее существо создаёт все сущее из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа».

VI. Подведение итога урока .

Знания по которые мы обобщили на уроке, являются лишь частью элемента актуальной и современной науки информатики. К профессиональной деятельности уже приступило новое поколение молодых людей, получивших образование в эпоху персональных компьютеров . каждые два года происходит смена аппаратных и программных средств. Чтобы успеть за столь стремительным развитием, необходимо постоянное самообразование , самосовершенствование и личная целеустремленность. Это позволит вам достойно поддерживать свой интеллектуальный и материальный уровень. Так , например, журнал «карьера» приводит список вакансий, предлагаемых фирмами сегодня: инженер- программист - $ 600; инженер по интеллектуальным сетям - от $800; инженер-консультант по телекоммуникационному оборудованию - $800 .

На предыдущем уроке мы с вами проводили тестирование по профориентации . И вот , что мы получили :

VII. Постановка домашнего задания.

На дом вам кроссворд по теме: «НУЛИ И ЕДИНИЦЫ»

Представьте числа в двоичной системе счисления.

ПО ВЕРТИКАЛИ ПО ГОРИЗОНТАЛИ

1. 33₁₀ 9. 77₈ 1. 2А₁₆ 7. 31₁₀

4. 61₈ 11. F₁₆ 2. 20₁₆ 8. 7₈

5. В₁₆ 3. 76₈ 10. 5₁₆

6. 51₁₀ 4. 57₁₀

Опорный лист к уроку

3 2 1 0 -1 -2 -3

1 0 1 1 , 0 1 1₂= 1·2³+0·2²+1·2¹+1·2⁰+0·2^-1+1·2^-2+1·2^-3=8+2+1+1/4+1/8=11,375₁₀

11 2 ост.1 11,375₁₀= 1011+ 0,011=1011,011₂

5 2 ост.1

2 2 ост.0

1

375 375:125 3 2 1 1 1 1 1

0,375=------- = ----------- = --- = -- + -- = -- + -- = -- + -- = 2^-2+2^-3 =

1000 1000:125 8 8 8 4 8 2^-2 2^-3

= 0·2^-1+ 1·2^-2+ 1·2^-3

Пример2:

0,25₁₀= 0,01₂

25 25:25 1 1

0,25 = ---- = --------- = -- = -- = 2^-2=02^-1+12^-2

100 100:25 4 2²

_____________________________________

Опорный лист к уроку

3 2 1 0 -1 -2 -3

1 0 1 1 , 0 1 1₂= 1·2³+0·2²+1·2¹+1·2⁰+0·2^-1+1·2^-2+1·2^-3=8+2+1+1/4+1/8=11,375₁₀

11 2 ост.1 11,375₁₀= 1011+ 0,011=1011,011₂

5 2 ост.1

2 2 ост.0

1

375 375:125 3 2 1 1 1 1 1

0,375=------- = ----------- = --- = -- + -- = -- + -- = -- + -- = 2^-2+2^-3 =

1000 1000:125 8 8 8 4 8 2^-2 2^-3

= 0·2^-1+ 1·2^-2+ 1·2^-3

Пример2:

0,25₁₀= 0,01₂

25 25:25 1 1

0,25 = ---- = --------- = -- = -- = 2^-2=02^-1+12^-2

100 100:25 4 2²

Карточка №1

1. Переведите число данное в десятичной системе счисления в

двоичную , а затем в шестнадцатеричную систему счисления:

а) 153,25₁₀ б)712,5₁₀

2. Переведите данное число в десятичную систему счисления:

а) 10110101,1₂ б)100000110,10101₂

________________________________________________________

Карточка №2

1. Переведите число данное в десятичной системе счисления в

двоичную , а затем в шестнадцатеричную систему счисления:

а) 670,25₁₀ б)162,5₁₀

2. Переведите данное число в десятичную систему счисления:

а) 1111100111,01₂ б)1001011,00101₂

__________________________________________________________

Карточка №3

1. Сложите данные числа:

110010,101₂+ 1011010011,01₂

2. Выполните вычитание:

1101111011,01₂ - 101000010,0111₂

3.Выполните умножение:

1100110₂ х 1011010₂

________________________________________________________

Карточка №4

1. Сложите данные числа:

111111111,0011₂+ 111111111,0101₂

2. Выполните вычитание:

1101100110,01₂ - 110000010,1011₂

3.Выполните умножение:

1001111₂ х 1000100₂

НУЛИ

УЛИ И ЕДИНИЦЫ»

Представьте числа в двоичной системе счисления.

ПО ВЕРТИКАЛИ

1. 33₁₀ 9. 77₈ 4. 61₈ 11. F₁₆

5. В₁₆

6. 51₁₀

ПО ГОРИЗОНТАЛИ

1. 2А₁₆ 7. 31₁₀

2. 20₁₆ 8. 7₈

8. 7₈ 3. 76₈ 10. 5₁₆

4. 57₁₀

_________________________________________________________________

«НУЛИ И ЕДИНИЦЫ»

Представьте числа в двоичной системе счисления.

ПО ВЕРТИКАЛИ

1. 33₁₀ 9. 77₈ 4. 61₈ 11. F₁₆

5. В₁₆

6. 51₁₀

ПО ГОРИЗОНТАЛИ

1. 2А₁₆ 7. 31₁₀

2. 20₁₆ 8. 7₈

8. 7₈ 3. 76₈ 10. 5₁₆

4. 57₁₀

Карточка №3

Задание №1

0000110010,101 +1011010011,010

1100000101,111

Задание №2

1101111011,0100

- 101000010,0111

1000111000,1101

Задание №3

1100110

х 1011010

10001111011100

Карточка №4

Задание№1

111111111,0010

+111111111,0101

11111111110,0111

Задание№2

1111100110,0100

- 1100000010,1011

0011100011,0001

Задание№3

1001111

х 1000100

1010011111100

Карточка №2

Задание №1

670,25₁₀ 1010011110,01₂ 29Е,4₁₆

162,5₁₀ 10100010,1₂ А2,8₁₆

Задание №2

1111100111,01₂ 999,25₁₀

1001011,00101₂ 75,15625₁₀

Карточка №1

Задание №1

153,25₁₀ 10011001,01₂ 99,4₁₆

712,5₁₀ 1011001000,1₂ 2С8,8₁₆

Задание №2

10110101,1₂ 181,5₁₀

100000110,1011₂ 262,065625₁₀

«Различные позиционные системы счисления»

_________________________________________________________________________________________________________________________

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Правило сложения

0+0=0

1+0=1

0+1=1

1+1=0(единица переносится в более старший разряд)

Правило умножения

0 · 0=0

1 · 0=0

0 · 1=0

1 · 1=1

Правило вычитания

1-0=1

1-1=0

0-0=0

0-1=1(единица занимается из более старшего разряда)