Теоретический материал на тему 'Логика и логические основы компьютера'

6. Цифровые интегральные микросхемы

6.1. Общие понятия

Анализ и синтез цифровых схем проводят на основе Булевой алгебры. Джон Буль - английский математик XIX века.

Цифровые схемы оперируют с логическими переменными, которые обозначаются буквами латинского алфавита. Над логическими переменными можно совершать 3 основных действия:

операция ИЛИ;

операция И;

операция НЕ.

ИЛИ - логическое сложение (дизъюнкция).

И - логическое умножение (конъюнкция).

НЕ - инверсия, отрицание.

Обозначение этих действий:

ИЛИ обозначается +,(V);

И обозначается ,(/\);

НЕ обозначается чертой над логической переменной.

6.2. Основные свойства логических функций

Переменная, связанная логическими операциями, образует логическую функцию. Свойства логических функций:

1. Свойства логического сложения.

0+0=0;

0+1=1;

1+1=1.

2. Свойства логического умножения.

00=0;

01=0;

11=1.

3. Свойства отрицания.

Приведенные соотношения называются аксиомами.

Основные свойства в общем виде:

а+0=а; а0=0;

а+1=1; а1=а;

а+а=а; аа=а;

6.3. Основные логические законы

1. Переместительный закон

a+b=b+a;

ab=ba.

2. Сочетательный закон

(a+b)+c=a+(b+c);

(ab)c=a(bc).

3. Распределительный закон

a(b+c)=ab+ac;

a+(bc)=(a+b)(a+c).

Доказательство: a+bc=a(1+b+c)+bc=a+ab+ac+bc=a(a+c)+b(a+c)=(a+c)(a+b).

4. Закон поглощения

a+ab=a(1+b)=a;

a(a+b)=a+ab=a.

5. Закон склеивания

6. Закон отрицания (законы Моргана)

Законы Моргана позволяют реализовать функционально полные системы на элементах И-НЕ, ИЛИ-НЕ.

6.4. Функционально полная система логических элементов

Функционально полная система - это такой набор элементов, используя который можно реализовать любую сколь угодно сложную логическую функцию.

Набор из основных логических элементов И, ИЛИ, НЕ является естественно функционально полным. Функционально полные системы могут быть реализованы также на элементах И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Реализация основных логических функций на элементах И-НЕ доказывается следующими соотношениями:

Для И:

Для ИЛИ:

Для НЕ:

6.5. Обозначения, типы логических микросхем и структура ТТЛ

Обозначения основных логических микросхем показано на рис. 105. В корпусе микросхемы содержится несколько логических элементов. Типы логических микросхем:

1. ТТЛ - транзисторно-транзисторная логика.

Выпускаются серии: К133, К155, К555, К1531, К1533.

2. КМОП - микросхемы на основе комплементарных полевых транзисторов по структуре металл-окисел-полупроводник: К176, К561, К1561.

3. ЭСЛ - эмиттерно-связанная логика: К500.

Рис. 105

Структура ТТЛ логического элемента 2И-НЕ представлена на схеме рис.106.

Рис. 106

На входе схемы используется многоэмиттерный транзистор VT1, который имеет 2 эмиттера для организации двух входов. VT2,VT3 образуют усилительные каскады.

Рассмотрим работу схемы. При нулевом сигнале на вх1 протекает ток через R1,Б-Э VT1, ключ Кл на общую точку ОТ. VT1 работает в ключевом режиме, на эмиттер подан ноль, напряжение на базе составляет примерно 0,6в. Тогда через переход Б-К транзистора VT1 и базовые переходы транзисторов VT2, VT3 ток протекать не может, т.к. эта цепь закорочена переходом Б-Э VT1. Значит, ток через Б-Э VT2 и Б-Э VT3 отсутствует, транзисторVT3 закрыт, напряжение питания приложено к выводам К-Э VT3, следовательно, напряжение на выходе схемы соответствует 1. Логический элемент по одному из входов реализует логическую функцию НЕ (0 на входе, 1 на выходе).

При 1 на вх1 ток по входной цепи протекать не может. Закоротка Б-К VT1 отсутствует. Ток протекает по цепи 5В, R1, Б-К VT1, Б-Э VT2, Б-Э VT3.Транзистор VT3 открыт. Он закорачивает выход с ОТ, что соответствует 0 на выходе.

Рис. 107

Для реализации функции ИЛИ-НЕ в рассматриваемой структуре используют параллельное включение транзисторов. На рис.107 приведена схема элемента 2ИЛИ-НЕ. В этой схеме параллельно включены транзисторы VT2 и VT2^'. Работу схемы поясняет таблица.

Основные функции И, ИЛИ, НЕ могут быть изображены в виде схем из контактов реле. Катушки реле являются входами таких схем. Элементу И соответствует последовательное соединение контактов - рис.108. Элементу ИЛИ соответствует параллельное соединение контактов - рис.109. Работа схем поясняется приведенными таблицами. Сигнал 0 на входе соответствует разомкнутому состоянию контакта, 1 -замкнутому. Столбец значений выходного сигнала записывается на основе аксиом.

Рис. 108 Рис. 109

6.6. Синтез комбинационных логических схем

Комбинационные схемы - это схемы, которые не содержат элементов

памяти и элементов выдержки времени.

Последовательность синтеза следующая:

1. Задаётся словесный алгоритм работы схемы.

2. Составляется таблицы истинности.

3. Записывается исходная логическая функция и выполняется её минимиза-ция.

4. Выполняется реализация полученной логической функции на логических элементах.

Пример: требуется построить логическую схему голосования на 3 вхо-

да: cигнал на выходе схемы равен 1, когда большинство входных сигналов равно 1.

Составляем таблицу истинности: таблица истинности - это табличная запись алгоритма. Обозначим входные переменные: x1,x2,x3. В таблице истинности для входных переменных должны быть записаны все возможные комбинации. Число строк в такой таблице равно 2 в степени n, где n -количество входных переменных. Выходная логическая функция  записывается по словесному алгоритму (рис.110). Когда две или три входных переменных равны 1, выходная функция тоже равна 1.

По таблице истинности может быть записано логическое выражение. Форма записи по таблице истинности называется совершенно нормальной формой. Существует две формы записи: дизъюнктивная совершенно нормальная форма - сокращенно ДСНФ, конъюнктивная совершенно нормальная форма - КСНФ. Обычно запись ведётся в дизъюнктивной форме. В этой форме записи принимаются во внимание строки, в которых

Рис. 110 логическая функция принимает значение 1.

Произведения переменных этих строк складываются логически. ДСНФ для нашего примера:

Можно принимать во внимание строки с нулевым значением функции, только при этом каждая строка - это сумма переменных строки, а между собой суммы переменных соединяются произведением. Функция называется КСНФ.

Дальше выполняется следующий этап синтеза - минимизация, т.к. реализация логической функции по ДСНФ является достаточно сложной ввиду большого размера выражения для f. Цель минимизации - упростить выражение до такого вида, которое далее бы не упрощалось. В результате получается, так называемая, тупиковая форма.

6.6.1. Методы минимизации логических функций

Минимизация может быть выполнена несколькими способами.

1. На основе законов алгебры логики.

Недостаток метода - сложно выбрать из законов подходящий закон для очередного упрощения, трудно наметить путь преобразования, нельзя гарантировать, что полученная упрощенная форма является тупиковой.

2. Метод карт Карно.

Применяется при числе переменных n<5...6.

3. Метод Квайна и его модификации. Является табличным, не имеет ограничений по количеству переменных. Сложный, но хорошо поддаётся

алгоритмизации и исполнению на ЦВМ.

Минимизация с помощью карт Карно

Карта Карно представляет собой прямоугольную таблицу, в которой число клеток равно 2 в степени n. Карта заполняется на основе таблицы истинности или записи логической функции в ДСНФ.

Для приведенного выше примера таблица истинности имеет вид, представленный на рис. 111.

Рис. 111 Рис. 112

Внутри карты Карно записываются значения

логической функции. Значения входных переменных записываются по краям карты. Каждая входная переменная делит поле карты пополам. Для одной половинки поля значения входных переменных равны 1, для другой - 0. При расстановке переменных необходимо соблюдать следующее правило:

соседние столбцы и строки должны различаться только одной переменной. Значение входной переменной, равное 1, принято охватывать скобочкой.

Там, где нет скобочки, значение переменной равно 0. Возможно другое обозначение переменной по краю Карты (рис. 112).

Далее единицы в карте Карно объединяются контурами. Правила нанесения контуров:

1. Каждый контур должен быть прямоугольным.

2. Количество клеток внутри контура должно быть равным 2 в степени k,

где k=1,2,3,...,n.

3. Одни и те же клетки с единицами могут входить в несколько контуров.

4. Размеры контуров должны быть как можно большими, а число контуров

как можно меньшим.

5. Нижняя и верхняя строки, левый и правый столбцы считаются соседними.

Запись минимизированного выражения по карте Карно с нанесенными контурами выполняется по следующим правилам:

1. Количество слагаемых в дизъюнктивной форме равно количеству контуров.

2. Из конъюнкции переменных исчезают те переменные, границы изменения которых пересекаются контуром.

Для рассматриваемого примера:

В этом выражении x1x2 записано из первого контура, x2x3 - из второго контура, x1x3 - из третьего контура.

Реализация по этому выражению имеет вид, представленный на рис.

113. Реализация требует два корпуса микросхем.

Для уменьшения количества корпусов преобразуют полученную логическую функцию по законам Моргана и записывают её в базисе И-НЕ или в базисе ИЛИ-НЕ. Применение законов Моргана позволяет избавиться от "+" в логической функции или от произведений. Один из законов Моргана имеет вид:

Изменим запись закона

Запись справедлива для любого количества элементов. Под a и b можно понимать логические выражения. Применим формулу для нашего выражения:

Реализация по данному выражению показана на рис. 114. Реализация требует два корпуса микросхем.

Рис. 113 Рис. 114

6.6.2. Примеры минимизации, записи функции и реализации

Пример 1 (рис. 115).

Рис. 115

Свойство 5 в Правилах нанесения контуров можно понимать так, что края карты не являются границами. Говорят, что карта Карно представляет собой "бублик". Она может быть соединена по левому и правому краю, образуя цилиндр, а затем по верхнему и нижнему краю, образуя "бублик". Для

нашего примера

f = x3.

Реализация представлена на рис.115.

Пример 2 (рис.116).

Рис. 118

Рис. 116 Рис. 117

Логическая функция имеет вид:

f=x1 + x2 = x1x2.

Реализация - рис.117. Реализация после применения закона Моргана - рис.118.

Пример 3. Рассмотрим типовую функцию, которая называется "Сумматор по модулю 2" или "Исключающее ИЛИ". Таблица истинности

для неё имеет вид (для двух входов), представленный на рис.119. Обозначе-

ние функции "Исключающее ИЛИ": f=x1  x2.

Рис. 119 Рис. 120

Карта Карно для этой функции показана на рис.120.Она показывает, что

нельзя организовать контур с несколькими единицами, т.е. минимизация

невозможна и логическую функцию можно записать только в ДСНФ

.

Обращаем внимание, что . Реализация представлена на рис. 121. Требуется 2 корпуса.

Рис. 121

Пример 4. Вид карты Карно для четырёх входных переменных показан на рис.122.

Рис. 122