«Булева Алгебра. Логические основы ЭВМ»

Тема «Булева Алгебра. Логические основы ЭВМ»

Джордж Буль (2 ноября 1815, Линкольн - 8 декабря 1864,) - английский математик и логик. Профессор математики Королевского колледжа Корка (ныне Университетский колледж Корк) с 1849. Один из предтеч математической логики.

Алгебра логики - это раздел математической логики, значение всех элементов которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.

Высказывание - это повествовательное предложение, про которое можно определенно сказать истинно оно или ложно (истина (логическая 1), ложь (логический 0)).

Логические операции - мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объема понятий, а также образование новых понятий.

Логическое выражение - устное утверждение или запись, в которое, наряду с постоянными величинами, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных величин (объектов) логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: истина (логическая 1) или ложь (логический 0).

Сложное логическое выражение - логическое выражение, состоящее из одного или нескольких простых логических выражений (или сложных логических выражений), соединенных с помощью логических операций.

Логические операции и таблицы истинности.

1) Логическое умножение или конъюнкция:

Конъюнкция - это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное соложеное выражение ложно.

Обозначение: А и В, А^В, А&В, А*В, A AND В

Таблица истинности для конъюнкции

2) Логическое сложение или дизъюнкция:

Дизъюнкция - это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения ложны.

Обозначение: А или В, А\/В, А|В, A OR В

Таблица истинности для дизъюнкции

3) Логическое отрицание или инверсия:

Инверсия - это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Обозначение: НЕ A, A, NOT А

Таблица истинности для инверсии

4) Логическое следование или импликация:

Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.

Обозначение: А -> В, А=>В

Таблица истинности для импликации

</ 5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

Обозначение: А = В, А <=> В, А ~ В

Таблица истинности для эквивалентности

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении.

1. Инверсия;

2. Конъюнкция;

3. Дизъюнкция;

4. Импликация;

5. Эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

Таблица истинности для формулы :

X^(YvZ):

X

Y

Z

X

Y v Z

X^(YvZ)

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

построить таблицу истинности.

Решение