- Учителю
- Санау жүйелері. Сандарды бір санау жүйесінен басқа санау жүйесіне ауыстыру.
Санау жүйелері. Сандарды бір санау жүйесінен басқа санау жүйесіне ауыстыру.
Пән: Информатика
Cынып: 8 «А», «Б», «В», «Г»
Сабақ тақырыбы: . Санау жүйелері. Сандарды бір санау жүйесінен басқа санау жүйесіне ауыстыру.
Сабақ мақсаты:
Білімділік:
Санау жүйесі арқылы есеп шығаруға үйрету, дағдыландыру. Программада бағдарлай білу, өз бетінше іздей білу, талдай, таңдай білу, өзгерте білу, сақтай білу, білім мен ақпараттық технолгиялармен, компьютерлік технологиялармен техникалық обьектілердің көмегімен жеткізуді жүзеге асыра білу білігі.
Дамытушылық:
Ойлау, жобалау қабілеттерін, логикалық қабілеттерін дамыту.
Тәрбиелік:
ДК жұмыс істегенде тәртіпке, тазалыққа, адамгершілікке тәрбиелеу
Пән аралық байланыс: математика, тарих
Сабақтың құрылымы:
1. Үй тапсырмасын сұрау
2. Жаңа тақырыппен жұмыс
3. Қорытынды
4. Компьтермен жұмыс. Есеп шығару. Слайдпен жұмыс.
5. Бекіту. Үй тапсырмасын беру.
6. Бағалау
Жаңа сабақ: Санау жүйесі
Ақпаратты кодтау барысында санау жүйесі түсінігімен кездескенбіз. Бұл бөлімде біз, сан ұғымының, компьютердегі атқаратын кызметі маңызды болғандықтан санау жүйесін жан-жақты карастырамыз.
Сан түсінігі - математикадағы сияқты информатикада да негізгі ұғым. Бірақ, егер математикада сандарды өңдеу өдістеріне көп көңіл бөлінетін болса, онда информатикада сандарды ұсыну әдістерін айналып өтуге болмайды, өйткені тек осы арқылы ғана жадының қажетті көлемі, есептелу жылдамдығы мен жіберетін қатесі анықталады.
Санау жүйесі туралы түсінік
Сандарды цифр деп аталатын арнайы символдардың көмегімен бейнелеу қабылданған.
Сандардың аталу және жазылу тәсілін санау жүйесі деп атайды.
Санау жүйесі екі топқа бөлінеді: позициялық және позициялық емес.
Позициялық емес санау жүйесінде әрбір цифрдың мәні оның алатын орнына байланысты емес. Мұндай санау жүйесінің мысалы ретінде римдік жүйені алуға болады. Осы жүйеде жазылған XXX санында X цифры кез келген позицияда 10-ды (онды) білдіреді.
Позициялық емес санау жүйесінде арифметикалық әрекеттерді орындау біраз қиын болғандықтан, бүкіл дүние жүзі біртіндеп позициялық санау жүйесіне ауысты.
Позициялық санау жүйесінде цифрдың мәні оның орнына (позициясына) байланысты болды. Позициялық санау жүйесінің негізі деп жүйедегі пайдаланылатын цифрлар санын айтады.
Ондық санау жүйесі
Біз сандармен жұмыс істегенде тек қана бір ондық санау жүйесін қолдануға дағдыландық. "Ондық" деп аталуы былай түсіндіріледі: бұл жүйенің негізінде он негізі жатыр. Бұл жүйеде санды жазу үшін он цифр қолданылады: - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткені ондық санды жазуда цифрдың мәні оның позициясына немесе санда орналасқан орнына байланысты.
Санның цифрына бөлінетін позицияны разряд деп атайды.
Мысалы, 425 жазуы 4 жүздіктен, 2 ондықтан және 5 бірліктен тұратын сан екенін білдіреді. 5 цифры - бірліктер разрядында, 2 - ондықтар разрядында, 4 - жүздіктер разрядында тұрады.
Егер осы цифрларды басқа ретте жазатын болсақ, мысалы, 524, онда сан 5 жүздіктен, 2 ондықтан және 4 бірліктен тұрады.
Бұл кезде 5 үлкен болады және санның үлкен цифры деп аталады, ал 4 цифры кіші болады да, осы санның кіші цифры деп аталады. Егер 524 санын қосынды түрінде жазатын болсақ:
5*102+2*101 +4*10°
оның цифрлары салмағының айырмашылығы айқын болады, бұл жазудағы 10 саны санау жүйесінің негізі. Санның әрбір цифры үшін 10 негізі цифрдың орнына байланысты дәрежеленеді және осы цифрға көбейтіледі. Бірліктер үшін дәрежелеу негізі - нөлге, ондықтар үшін - бірге, жүздіктер үшін екіге тең және т.с.с.
Егер ондық сан бөлшек болса, онда ол да қосынды түрінде оңай жазылады. Әрбір цифрдың бөлшек бөлігі үшін дәреже негізі теріс және - 1-ге тең - бђл бөлшек бөліктің үлкен цифры үшін, ал бөлшек бөліктің келесі цифры үшін -2 тең және т.с.с.
Мысалы, 384,9506 ондық, саны мынадай қосындымен белгіленеді:
384,9506=3*102 +8*101 +4*10°+9*10-1 +5*10-2+0*10-3+6*10-4
Осылайша, ондық санның кез келген цифры - онның белгілі бір бүтін дәрежесі, ал дәреженің мәнін сәйкес цифрдың позициясы көрсетеді.
Сұрақтар мен тапсырмалар:
1 . Санау жүйесі деп нені айтады?
2. Позициялық санау жүйесі позициялық емес санау жүйесінен немен ерекшеленеді?
3 . Позициялық санау жүйесінің негізі деп нені айтады?
4. Санның негізін дәрежесінің қосындысы түрінде ұсыныңыз:
а) 3678,89810;
б) 7,2908310;
в) 37000,000110;
г) 0,003210.
Екілік санау жүйесі
Компьютерде, әдетте, ондық емес, позициялық екілік санау жүйесі, яғни негізі 2 болатын санау жүйесі қолданылады.
Екілік жүйеде кез келген сан екі 0 және 1 цифрларының, көмегімен жазылады және екілік сан деп аталады.
Тек қана 0 және 1 цифрларынан тұратын екілік санды ондық саннан ажырату үшін екілік санды жазуда екілік санау жүйесінің индексіне белгі қосылады, мысалы, 110101,1112 .
Екілік санның әрбір разрядын (цифрын) бит деп атайды. Екілік жүйенің маңызды құндылығы - цифрларды физикалық берудің қолайлылығы (мысалы, 1 цифрына электр кернеуінің бар болуы, ал 0 цифрына электр кернеуінің жоқ болуы сәйкес келуі мүмкін) және екілік сандармен арифметикалық және логикалық операцияларды орындауға арналған компьютер аппаратурасының, дәлірек айтқанда, арифметикалық және логикалық құрылғысының күрделілігінде болып табылады.
Ондық сандар тәрізді, кез келген екілік санды екілік санға кіретін цифрлар салмағының айырмашылығын анық бейнелейтін қосынды түрінде жазуға болады. Бұл қосындыда негізі ретінде 2 санын қолдануға болады. Мысалы, 1010101, 101 екілік саны үшін қосындыны төмендегідей өрнектеуге болады:
1*26 +0*25 +1*24 +0*23+1*22+0*21+1*20+1*2-1 +0*2-2+1*2-3
Бұл қосынды ондық сан үшін жазылған қосындының ережесі бойынша жазылады. Берілген мысалда екілік сан жеті таңбалы бүтін саннан, үш таңбалы бөлшек бөліктерінен тұрады. Сондықтан, бүтін бөліктің үлкен цифры, яғни бірлік 27-1=26-не көбейтіледі, бүтін бөліктің нөлге тең келесі цифры, 25-не көбейтіледі және т.с.с., екінің дәрежесі кемуі бойынша ең төменгі дәрежеге дейін, үшінші цифрдың бөлшек бөлігі 23-не көбейтіледі. Осы қосындыда ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық амалдарды орындай отырып, 85,625 санын аламыз. Осылайша, 1010101,101 екілік саны 85,625 ондық санына сәйкес келеді, немесе 1010101,1012= 85,62510.
Сандарды көшіру ережесі. Екілік жүйенің елеулі кемшілігі - мұнда санды жазу үшін 0 және 1 цифрлары көп пайдаланылады. Бұл адамның екілік санды қабылдауын қиындатады. Мысалы, 156 ондық санының екілік жүйедегі түрі мынадай: 10011100. Сондықтан екілік жүйе әдетте компьютердің "ішкі кажеттілігі" үшін қолданылады, ал адамның компьютермен жұмыс істеуі үшін үлкен санау жүйесі тандалады. Бұл кезде сегіздік немесе он алтылық жүйелер жиі қолданылады, өйткені кейін көрсетілетіндей, осы екі жүйелердің және екілік жүйенің арасында санды бір жүйеден басқаға ауыстыруды жеңілдететін карапайым байланыс бар.
Әрбір коэффициент пен екінің дәрежесінің көбейтінділерінің қосындысын табу қажет.
Тапсырма:
1. Санды негізгі дәрежесінің қосындысы түрінде көрсетіңіз:
а) 1001,0122;ә) 1,100012;
б) 0,0001012;в) 1000, 00012
2. Сандарды екілік санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстырыңыз:
а) 101000112; в) 11010112;
ә) 110110012; г) 111012;
б) 10010012; д) 11101112.
Он алтылық санау жүйесі
Екілік санау жүйесін компьютерден тыс жерде қолдану өте қолайсыз екенін атап өттік. Мысалы, 89512810=110110101000100110002.
Екілік санды жазуды қысқарту үшін негізі 16 болатын санау жүйесі қолданылады. Бұл жүйені он алтылық санау жүйесі деп атайды.
Он алтылық позициялы санау жүйесінде санды жазу үшін ондық санау жүйесінің цифрлары 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 және жетпейтін алты цифрды белгілеу үшін ондық сандарының мәні 10, 11, 12, 13, 14 және 15 болатын сәйкес латын алфавитінің алғашқы үлкен әріптері: A, B, C, D, E, F қолданылады. Осылайша ондық жүйенің барлық цифрлары және сонымен қатар, латынның алты әріптері он алтылық жүйенің -"цифрлары" болып табылады.
Он алтылық жүйенің барлық цифрларын келтірейік: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B C, D, E, F. Он алтылық санау жүйесінде F санынан кейін F+1 саны келеді, ал ондық санау жүйесіндегі 15 санынан кейін 15+1=16 саны келеді деген жазуға сәйкес келеді.
Сондықтан, он алтылық санның түрі, мысалы, 3E5A1 болуы мүмкін. Осы санды негізі 16 болатынын ескеріп, қосындысы түрінде есептеп жазсақ, мынаны аламыз:
ЗЕ5А116=3*164+E*163 +5*162 +A*161+1*16°
Ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық амалдарды орындай отырып және А=10, Е=14 ескерсек, ЗЕ5А116=25539310 санын аламыз. Ондық жүйеге қарағанда он алтылық жүйедегі санның ықшамды екендігін байқауға болады.
Тапсырма:
1. Сандарды он алтылық санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстырыңыз:
а) 9116; в) 23516;
ә) 4016; г) 7С3116;
б) 5А16; д) Ғ54І6;
Сегіздік санау жүйесі
Сегіздік санау жүйесі, яғни негізі 8 болатын санау жүйесінде сандар сегіз цифрдың көмегімен өрнектеледі: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7. Мысалы, 357 сегіздік санында жеті бірлік, бес сегіз және үш сегіздің квадраты бар, яғни 3578=3*82+5*8'+7*8°, мұнда 357 санының индексі "8" санау жүйесін білдіреді. Жазылған қосындыда ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық әрекеттерді орындай отырып, 3578=23910 аламыз, яғни 357 сегіздік саны 239 ондық санға сәйкес келеді.
Тапсырма:
1. Сандарды сегіздік санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстырыңыз:
а) 5558; в) 2358;
ә) 6368; г) 7318;
б) 2378; д) 3548.
Сандарды бір санау жүйесінен басқа санау жүйесіне ауыстыру
Сандарды бір санау жүйесінен басқа санау жүйесіне ауыстыру қажеттілігі жиі туындайды. Санды екілік, сегіздік немесе он алтылық жүйеден ондық жүйеге ауыстыру жоғарыда көрсетілген.
Бүтін ондық сандарды екілік санау жүйесіне ауыстыру
Ондық санды екілікке ауыстырған кезде осы санды 2-ге бөлу қажет. Мысалы, 891 санын ондық жүйеден екілік санау жүйесіне аудару. Шешімі:
891:2=445, қалдық 1
445:2=222, калдық 1
222:2= 111,қалдық 0
111:2=55, қалдық 1
55:2=27, қалдық 1
27:2=13, қалдық 1
13:2=6, қалдық 1
6:2=3, қалдық 0
3:2=1, қалдық 1
1:2=0, қалдық 1 (екілік санның үлкен цифры).
Бір қатарға соңына бөліндіні, одан кейін соңғысынан бастап барлық қалдықтарды жазамыз: Жауап: 89110=11011110112.
Ауыстыру ережесі. Бүтін оң ондық санды екілік санау жүйесіне ауыстыру үшін осы санды 2-ге бөлу қажет. Алынған бөлінді 2-ден кіші болғанша бөліндіні қайтадан 2-ге бөле береді. Нәтижені бір қатарға соңғы бөліндіні, одан кейін соңғысынан бастап барлық қалдықтарды жазу керек.
Тапсырма:
1. Сандарды ондық санау жүйесінен екілік санау жүйесіне ауыстырыңыз:
а) 322; 6)150;
в)283; г)428;
д)315; е)181;
ж) 176.
Ондық бөлшектерді екілік санау жүйесіне ауыстыру
Ондық бөлшектерді екілік санау жүйесіне ауыстыру үшін оны 2-ге көбейтіп, бүтін бөліктерді іздеу керек.
Мысал. 0,625 ондық бөлшегін екілік санау жүйесіне ауыстырайық.
Екілік бөлшектің үтірден кейінгі бірінші цифрын табу үшін берілген санды 2-ге көбейтіп және көбейтіндінің бүтін бөлігін бөліп алу қажет.
Шешуі:
0,625*2=1,250, бүтін бөлігі 1-ге тең.
0,250*2=0,500, бүтін бөлігі 0-ге тең.
0,500*2=1,000, бүтін бөлігі 1-ге тең.
Соңғы көбейтіндінің бөлшек бөлігі нөлге тең. Ауыстыру аяқталды. Бір қатарға алынған бүтін бөліктің бірінші цифрынан бастап жазамыз. Жауап: 0,62510=0,1012.
2-ге көбейткенде әрқашан ондық санның тек қана бөлшек бөлігі қатысады.
Ауыстыру ережесі. Оң ондық бөлшекті екілік санау жүйесіне ауыстыру үшін бөлшекті 2-ге көбейту қажет. Көбейтіндінің бүтін бөлігі екілік бөлшектің үтірден кейінгі бірінші цифры ретінде алынады да, бөлшек бөлігі екіге көбейтіледі. Екілік бөлшектің келесі цифры ретінде осы көбейтіндінің бүтін бөлігін алады, ал көбейтіндінің бөлшек бөлігін қайтадан 2-ге көбейтеді және т.с.с.
Ақырғы ондық бөлшекті екілік санау жүйесіне ауыстырған кезде периодты бөлшек алынуы мүмкін.
Мысалы, 0,3 ондық бөлшегін екілік санау жүйесіне келтірейік.
Шешуі:
0,3*2=0,6 бүтін бөлігі 0-ге тең;
0,6*2=1,2 бүтін бөлігі 1-ге тең;
0,2*2=0,4 бүтін бөлігі 0-ге тең;
0,4*2=0,8 бүтін бөлігі 0-ге тең;
0,8*2=1,6 бүтін бөлігі 1-ге тең;
0,6*2=1,2 бүтін бөлігі 1-ге тең
0,6 бөлшек бөлік есептеудің екінші катарында болған еді. Сондықтан есепте қайталана бастайды. Демек, екілік санау жүйесінде 0,3 периодты бөлшек түрінде ұсынылады.
Жауап: 0,310=0,0(1001)2.
Практикада осы операциялар үтірден кейін берілген цифр саны алынғанша жалғасады.
Тапсырма:
1. Ондық бөлшектерді екілік санау жүйесіне ауыстырыңыз.
а) 0,322; ә) 150,7006; б) 283,245;
в) 315,075; г) 181,369; ғ) 176,526.
Ондық сандарды он алтылық санау жүйесіне ауыстыру
Ондық санды он алтылық санау жүйесіне ауыстыру үшін санды 8-дің орнына 16-ға бөлу қажет.
Мысалы, 891 санын ондық жүйеден он алтылық санау жүйеге ауыстырайық.
Шешуі:
891:16=55, қалдық 11-ге тең, он алтылық жүйеде "11 саны" латынның В әріпімен белгіленеді;
55:16=3, қалдық 7-ге тең;
3:16=0, қалдық 3-ке тең (он алтылық санның үлкен цифры);
Жауап: 89110=37В16.
Тапсырма:
1. Ондық сандарды он алтылық санау жүйесіне ауыстырыңыз.
а) 322; ә) 150,7006; б) 283,245; в) 428;
г) 315,075; ғ) 181; д) 176,526; е) 369
Сандарды екілік жүйеден сегіздік санау жүйесіне ауыстыру
Екілік санды сегіздік немесе он алтылық санға түрлендіру процесі өте қарапайым.
Кез келген цифрды сегіздік сан түрінде жазу үшін үш екілік цифрлар қажет. Сондықтан түрленетін екілік санды оңнан солға қарай екілік цифрлар тобына үштен бөледі, сол жақтағы цифрлар тобы ең аз болуы тиіс. Мысалы, 011 екілік цифры сегіздік санау жүйесіндегі үш цифры болып табылады. Содан кейін екілік цифрдың әрбір тобын кестеде көрсетілген цифр түрінде көрсетеді.
Сандарды екілік жүйеден он алтылық санау жүйесіне ауыстыру
Екілік жүйеден он алтылық санау жүйесіне жоғарыдағыға ұқсас түрленеді, тек қана айырмашылығы - әрбір түрленетін екілік сан төрт екілік сан бойынша топқа бөлінеді, өйткені он алтылық санның кез келген цифрын жазу үшін төрт екілік цифр қажет.
Сондықтан алдыңғы мысалда қолданылған 1101111011 екілік саны төрт екілік цифр бойынша топқа бліп, 11 0111 1011 түрінде жазуға болады және әрбір топты он алтылық цифрдың біреуімен жазып болғаннан кейін, 37В он алтылық санды аламыз.
Тапсырма:
Екілік санды кесте бойынша он алтылық санау жүйесіне ауыстырыңыз.
а) 111101100112; ғ) 110Л1Д10Д12;
ә) 11011010010012; д) 10101110111012;
б) 1001101010012; е) 11101111010112;
в) 100100102; ж) 10100101,01112.
г) 10011000,000101012
Екілік сандармен орындалатын арифметикалық әрекеттер
Екілік санау жүйесінде арифметикалық амалдар ондық жүйедегі ереже бойынша орындалады, тек кана айырмашылығы - санау жүйесінің негізі екіге тең және тек екі цифр қолданылады.
ҚОСУ
Қосу амалын карастырайық. Екілік санды қосу тасымалдау арқылы сәйкес разрядтарды қосуға әкеледі.
Екі екілік санды қосу кезінде мынадай төрт ереже қолданылады:
0+0=0
1+0= 1
0+1= 1
1+1= 10 бірліктері көрші (үлкен) разрядқа тасымалданады.
Мысалы, 101+11 (ондық жүйеде 5+3=8) екі екілік санды қосуды орындаймыз. Жетпейтін нольдерді қосып, амалды бағанада орындаған жөн.
101 + 011 Қосу процесін кезеңмен қарастырайық:
1) Кіші разрядта қосу орындалады: 1 + 1=10. Кіші разрядта қосынды 0 жазылады және бірлік келесі үлкен разрядқа тасымалданады.
2) Келесі сол жақ разрадтың цифрлары және тасымалдың бірлігі қосылады: 0+1+1=10. Бұл разрядта қосынды 0 жазылады және бірлік тағы да келесі үлкен разрядқа тасымалданады.
3) Сол жақ разрядтың үшінші цифрлары және тасымалдың бірлігі қосылады 0+1 + 1=10. Бұл разрядта қосынды 0 жазылады және бірлік тағы да келесі үлкен разрядқа тасымалданады, т.с.с.
4) Нәтижеде:101
+ 011
1000 алынады.
Сонымен, 10002=810.
Осы ережелерді пайдаланып, мына екілік сандарды қосыңыз және жауабын тексеріңіз.
0110 1101 11001 1010 0101 10001 1000
+0110 +0110 + 10111 +0111 +0010 + 11011 + 1001
Қосу - екілік арифметикадағы маңызды амал. Компьютердегі екілік сандармен жүзеге асатын басқа үш амал - азайту, көбейту, бөлу әдетте қосудың көмегімен орындалады.
АЗАЙТУ
Екілік санды азайту кезінде:
0-0=0
1-0=1
0-1=1 бірлікті көрші (үлкен) разрядтан аламыз
1-1=0
екенін ескеру қажет.
Мысалы, 1010-101 екілік санның айырмасын табу. Кіші разрядтан бастап азайтуды бағанмен орындаймыз:
1010
- 101 Азайту процесін кезеңімен қарастырайық:
1) Кіші разряд үшін 0-1 бар. Сондықтан үлкен разрядтан бірлікті аламыз және 10-1=1 -ді табамыз.
2) Келесі разрядта 0- 0= 0 болады.
3) Сол жақтағы разрядта тағы да 0-1 болады. Үлкен разрядтан 1-ді аламыз және 10-1=1 -ді табамыз.
4) Келесі разрядта 0 қалады.
5) Нәтижеде: 1010
- 101
101 алынады.
Осы ережелерді пайдаланып, екілік санды азайтуды орындаңыз, және жауабымен тексеріңіз.
Тапсырма: Слайдпен жұмыс.
Азайтуды орындаңыз:
11010 1101 1101 1010 0101 10001 1000
-01101 -0110 - 111 -0111 -0010 - 1011 -0001
V.Бекіту. Үй тапсырмасын беру.
VI. Бағалау. Қорытындылау.