Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение

«Колледж автоматизации

и информационных технологий № 20»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Общеобразовательной учебной дисциплины

«Основы теории чисел»

Специальность:

10.02.03 информационная безопасность автоматических систем

уровень подготовки: базовый

Москва

2016

УТВЕРЖДАЮ

Руководитель учебного структурного подразделения «1М»

_____________________________/Мельников С. П./

«_____» ________________________20__ г.

СОГЛАСОВАНО

Зав. учебно-методическим отделением

_____________________________/______________/

«_____» ________________________20__ г.

Разработчик (автор): Филиппова Зоя Михайловна, преподаватель,

высшая квалификационная категория_________________________________

Ф.И.О., должность, квалификационная категория

_____________________________________________________________________________________________

Рецензент:

Внешний: _______________________________________________

(Ф.И.О., место работы, должность, квалификационная категория (ученая степень, звание)

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

1. Паспорт рабочей программы общеобразовательной учебной дисциплины

4

2. Структура и содержание общеобразовательной учебной дисциплины

10

3. Условия реализации рабочей программы общеобразовательной учебной дисциплины

15

4. Контроль и оценка результатов освоения общеобразовательной учебной дисциплины

19

1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ»

1.1. Область применения программы: реализация среднего профессионального образования в пределах ППСЗ по специальности:

10.02.03 информационная безопасность автоматических систем

в соответствии c примерной программой по учебной дисциплине «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ», с учетом профиля получаемого профессионального образования.

1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы.

Дисциплина "Основы теории чисел" относится к базовой части Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования (ФГОС ПО) по направлению 10.02.03 информационная безопасность автоматических систем, являясь частью блока "Алгебра и теория чисел".

Дисциплина "Основы теории чисел" базируется на знаниях, полученных в рамках школьного курса математики.

В ходе изучения дисциплины "Основы теории чисел" студенты должны освоить основные понятия и методы теории чисел. Освоение дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с соответствующими учебниками, учебными пособиями и монографиями.

3. Цели и задачи учебной дисциплины - требования к результатам освоения дисциплины:

Рабочая программа учебной дисциплины «Основы теории чисел» ориентирована на достижение следующих целей:

• овладение студентами математическим аппаратом теории чисел, фундаментальными теоретическими положениями этой науки;

• воспитание и развитие их математической культуры;

• осознание ими прикладного характера математики в целом и теории чисел в частности.

Курс теории чисел должен решать следующие задачи:

• вооружать студентов фундаментальными теоретическими знаниями по теории чисел;

• давать достаточный терминологический и понятийный запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной литературы;

• учить навыкам формулировки разнообразных теоретических и практических задач на языке теории чисел;

• предлагать строгие формальные доказательства основных результатов, развивая культуру мышления студентов;

• демонстрировать наглядность большинства идей излагаемой теории, открывающую дорогу многим приложениям;

• демонстрировать применение теории чисел для решения разнообразных практических задач;

• пополнить алгоритмический запас студентов, позволяющий им решать типовые задачи;

• обеспечить разнообразный материал для самостоятельной работы.

В результате изучения дисциплины "Теория чисел" у студентов формируются навыки в следующих основных видах деятельности, предусмотренные стандартом профессионального образования:

научно-исследовательская и научно-изыскательская:

• применение основных понятий, идей и методов фундаментальных математических дисциплин для решения базовых задач;

• решение математических проблем, соответствующих направленности (профилю) образования, возникающих при проведении научных и прикладных исследований;

• подготовка обзоров, аннотаций, составление рефератов и библиографии по тематике проводимых исследований;

• участие в работе семинаров, конференций и симпозиумов, оформление и подготовка публикаций по результатам проводимых научно-исследовательских работ.

производственно-технологическая:

• использование математических методов обработки информации, полученной в результате экспериментальных исследований или производственной деятельности;

• применение численных методов решения базовых математических задач и классических задач естествознания в практической деятельности;

• сбор и обработка данных с использованием современных методов анализа информации и вычислительной техники.

• Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.

• В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:

• овладение умениями использовать полученные знания по основам теории чисел при шифровании и дешифровании сообщений; оценивать достоверность естественнонаучной информации;

• освоение знаний о фундаментальных теоремах по основам теории чисел, лежащих в основе науки о криптографиях; наиболее важных открытиях в теории чисел, оказавших определяющее влияние на развитие передачи секретных текстов; методах научного познания шифрования информации;

• развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей в процессе приобретения знаний и умений по основам теории чисел с использованием различных источников информации и современных информационных технологий;

• воспитание убежденности в возможности шифрования информации по теремам из теории чисел; использования достижений теории чисел на благо развития человеческой цивилизации; необходимости сотрудничества в процессе совместного выполнения задач, готовности к морально-этической оценке использования научных достижений, чувства ответственности за защиту информации;

• использование приобретенных знаний и умений для решения практических задач повседневной жизни, обеспечения безопасности информации, рационального использования возможностей науки теории чисел для криптографических целей.

• 1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине: Студент, изучивший дисциплину, должен

• ЗНАТЬ

• основные теоретико-числовые понятия;

• основные результаты о делимости целых чисел и теории сравнений;

• основные алгоритмы решения стандартных задач.

• УМЕТЬ

• применять теорему о делении с остатком и свойства делимости к решению различных арифметических задач;

• применять алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя целых чисел, его линейного разложения и наименьшего общего кратного;

• используя "решето" Эратосфена, составлять таблицы простых чисел и решать задачи на применение основной теоремы арифметики и свойств простых чисел.

• находить разложение заданного рационального числа в конечную цепную дробь и разложение заданного иррационального числа в бесконечную цепную дробь, вычислять подходящие дроби и применять свойства подходящих дробей при решении задач;

• применять определение и свойства сравнений по заданному модулю при составлении полной и приведённой систем вычетов;

• вычислять значения функции Эйлера и остатки арифметических выражений от деления на заданное число, используя свойства сравнений и теоремы Эйлера и Ферма.

• решать различными способами линейные сравнения первой степени с одним неизвестным.

• применять для решения задач алгоритмы нахождения показателя и первообразного корня по заданному модулю. Уметь решать двучленные сравнения, используя таблицы индексов.

• применять обобщённый признак делимости Паскаля для конструирования конкретных признаков делимости.

• проверять правильность выполнения простейших арифметических действий с помощью сравнений.

• ВЛАДЕТЬ

• В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть общеучебными компетенциями по 4 блокам:

• самоорганизация - организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях;

• самообучение - осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, заниматься самообразованием;

• информационный блок - использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности;

• коммуникативный блок - быть способным эффективно работать в коллективе и команде, брать на себя ответственность за результат выполнения заданий.

1.4. Профильная составляющая (направленность) дисциплины.

• В программе по основам теории чисел профильную составляющую представляют все разделы.

• Профильное изучение дисциплины осуществляется:

• путем отбора дидактических единиц программы по теории чисел, знание которых будет необходимо при освоении ППСЗ ФГОС и в будущей профессиональной деятельности;

• осуществлением межпредметных связей дисциплины с общетехническими и специальными дисциплинами ППСЗ ФГОС;

• организацией внеаудиторной самостоятельной работы, направленной на расширение и углубление знаний, которые будут необходимы при осуществлении профессиональной деятельности.

1.5. Количество часов, отведенное на освоение программы общеобразовательной дисциплины:

• максимальная учебная нагрузка - 119 часов,

• в том числе:

• обязательная аудиторная учебная нагрузка обучающегося - 79 часов;

• самостоятельная работа обучающегося - 40 часов.

2. СТРУКТУРА И ПРИМЕРНОЕ СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ дИСЦИПЛИНЫ

2.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы

Объем часов

Максимальная учебная нагрузка (всего)

119

Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего)

79

в том числе:

практические и лабораторные занятия

41

контрольная работа

4

Самостоятельная работа обучающегося (всего)

40

в том числе:

1. Решение задач по темам

2. Подготовка к практическим и лабораторным работам. Отчеты.

3. Подготовка сообщений (презентаций).

Итоговая аттестация в форме экзамена.

16

1.

2.2. Тематический план и содержание учебной дисциплины

Наименование разделов и тем

Содержание учебного материала, лабораторные и практические работы, самостоятельная работа обучающегося

Объем часов

Уровень освоения

1

2

3

4

Введение

Содержание учебного материала

2

2

Что изучает дисциплина основы теории чисел.

Раздел 1. Теория делимости в кольце целых чисел

12

Тема 1.1. Делимость целых чисел

Содержание учебного материала

2

2

Теорема о делении с остатком. Делимость нацело и её свойства. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Линейное разложение НОД. Наименьшее общее кратное. Взаимно простые числа и их свойства

Практическая работа № 1 по теме «Делимость целых чисел»

2

2-3

Самостоятельная работа № 1: проработка дополнительной литературы, с использованием рекомендаций преподавателя.

Изготовление мультимедийных презентаций «Взаимно простые числа и их свойства», «Алгоритм Евклида», «Наименьшее общее кратное», «Делимость надело и ее свойства»

2

Тема 1. 2. Основная теорема арифметики

Содержание учебного материала

2

Простые числа и их свойства. Основная теорема арифметики. Описание делителей натурального числа. Количество (n) и сумма (n) делителей натурального числа. Нахождение НОД и НОК с помощью канонических разложений. Бесконечность количества простых чисел в арифметических прогрессиях.^* Решето Эратосфена.

2

Практическая работа № 2 по теме «Нахождение НОД и НОК с помощью канонических разложений»

2

3

Самостоятельная работа № 2: проработка дополнительной литературы, с использованием рекомендаций преподавателя. Подготовка сообщений, конспекта.

Реферат «Евклид выдающийся ученый».

Сообщение «Решето Эратосфена».

Сообщение «Простые числа и их свойства».

2

Тема 1. 3. Цепные дроби

Содержание учебного материала

2

2

Конечные цепные дроби. Подходящие дроби и их основные свойства. Теорема о представлении рациональных чисел конечными цепными дробями. Применение конечных цепных дробей к нахождению линейного разложения НОД.

Практическая работа № 3 по теме «Цепные дроби»

2

3

Самостоятельная работа № 3: проработка дополнительной литературы, с использованием рекомендаций преподавателя. Подготовка сообщений, конспекта.

Решение задач по теме «Конечные цепные дроби».

Презентации: «Конечные цепные дроби», «Признак иррациональности числа и иррациональность числа e», «Бесконечные цепные дроби», «Теорема о представлении иррациональных чисел бесконечными цепными дробями»

2

Раздел 2. Теория сравнений

38

Тема 2. 1. Арифметика остатков, классы вычетов

Содержание учебного материала

4

2

Отношение сравнимости по модулю и его основные свойства. Кольцо Z_n, поле Z_pи группа Z_n^. Полная и приведённая системы вычетов. Мультипликативные функции. Функция Эйлера и её основные свойства. Теоремы Эйлера и Ферма. Китайская теорема об остатках. Структура решений линейного сравнения первой степени. Методы решения. Показатель числа (или класса вычетов) по заданному модулю и его основные свойства. Первообразные корни по заданному модулю. Количество и структура первообразных корней.

Контрольная работа № 1 по теме «Теория делимости в кольце целых чисел. Теория сравнений»

2

3

Практическая работа № 4 «Обобщенная торема Евклида»

2

2

Практическая работа № 5 «Теорема Эйлера»

2

2

Практическая работа № 6 «Малая теорема Ферма»

2

2

Практическая работа № 7 «Китайская теорема об остатках»

2

2

Практическая работа № 8 «Линейные сравнения первой степени»

2

2

Самостоятельная работа № 4: проработка дополнительной литературы, с использованием рекомендаций преподавателя. Презентация «Теорема Евклида», «Китайская теорема об остатках», «Теорема Эйлера», «Теорема Ферма»

5

Тема 2. 2. Квадратичные вычеты

Содержание учебного материала

6

2

Квадратичные вычеты и невычеты. Факторизация.Символ Лежандра и его свойства.

Практическая работа № 9 «Квадратичные вычеты »

2

2

Практическая работа № 10«Факторизация»

2

2

Практическая работа № 11 «Символ Лежандра»

2

2

Контрольная работа № 2 по теме «Квадратичные вычеты»

2

2

Самостоятельная работа № 5 «Квадратичные вычеты»

1. Решение задач на тему«Квадратичные вычеты».

2. Подготовка к практическим работам.

3. Подготовка сообщений (презентации) по темам: «Символ Лежандра», «Факторизация»

7

Тема 2. 3. Дискретный логарифм

Содержание учебного материала

Логарифмирование в конечных полях. Примеры логарифмирование в конечных полях. Сложность алгоритмов логарифмирования в конечных полях.

4

2

Практическая работа № 12«Логарифмирование в конечных полях»

2

2

Практическая работа № 13 «Алгоритмы логарифмирования в конечных полях»

2

2

Самостоятельная работа № 6 «Дискретный логарифм»

1. Решение задач на тему «Дискретный логарифм».

2. Подготовка к практическим работам.

3. Подготовка сообщений (презентации) по темам: «Примеры логарифмирование в конечных полях».

4

Раздел 3 Арифметические приложения теории сравнений

27

Тема 3.1.

Схема шифрования RSA

Содержание учебного материала

4

2

Шифрование с открытым ключем. Схема RSA.шифрования и дешифрования по схеме RSA.Атаки на RSА.Реализация атак на RSA.

Доказательство основной теоремы о схеме RSA. Решение примеров шифрования с использованием схемы RSA.Программирование системы

Практическая работа № 14 «Шифрование с открытым ключом»

2

2

Практическая работа № 15 «Схема RSA»

2

2

Практическая работа № 16 «Шифрование по схемеRSA»

2

2

Практическая работа № 17 «Дешифрование по схемеRSA»

2

2

Практическая работа № 18 «Атаки на схемы RSA»

2

2

Самостоятельная работа № 7 «Схема шифрования RSA»

1. Решение задач на тему «Схема шифрования RSA».

2. Подготовка к практическим работам.

3. Подготовка сообщений (презентации) по темам: «Схема шифрования RSA», «Схема дешифрования RSA», «Атаки на схему шифрования RSA».

7

Тема 3.2

Криптологические протоколы

Содержание учебного материала

4

2

Криптологические протоколы. Практическое использование криптологических протоколов. Системы Диффи и Хеллмана. Схема шифрования ElGamal. Электронная подпись ElGamal

Практическая работа № 19«Криптологические протоколы »

3

2

Самостоятельная работа № 8 «Криптологические протоколы»

1. Решение задач на тему «Криптологические протоколы».

2. Подготовка к практическим работам.

3. Подготовка сообщений (презентации) по темам: «Криптологические протоколы»,

2

Тема 3.3 Алгоритмы шифрования

Содержание учебного материала

Алгоритм DSA (DSS). Программирование DSA. Схемы аутентификации Schnorr-Shamir. Схема аутентификации Feige-Fiat-Shamir

4

2

Практическая работа № 20 «Программирование DSA»

2

2

Самостоятельная работа № 8 «Криптологические протоколы»

1. Решение задач на тему «Криптологические протоколы».

2. Подготовка к практическим работам.

3. Подготовка сообщений (презентации) по темам: «Криптологические протоколы»,

3

Всего:

119 ч.

в т.ч.: аудиторных - 79ч.

практических работ - 41 ч.

внеаудиторных самостоятельных работ -

40 ч.

ььь

Для характеристики уровня освоения учебного материала используются следующие обозначения:

1.- ознакомительный (узнавание ранее изученных объектов, свойств)

2.- репродуктивный (выполнение деятельности по образцу, инструкции и под руководством)

3. -продуктивный (планирование и самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных задач)

2.3. условия реализации программы общеобразовательной УЧЕБНОЙ дисциплины

3.«ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ»

3.1. Требования к минимальному материально-техническому обеспечению реализации общеобразовательной дисциплины

Реализация программы дисциплины требует наличия учебного кабинета.

Оборудование учебного кабинета:

• посадочные места по количеству обучающихся;

• рабочее место преподавателя;

• рабочая доска;

• комплект наглядных пособий по дисциплине (плакаты, таблицы, слайды, видеофильмы);

• комплект учебно-методической документации;

• учебные дидактические материалы.

Технические средства обучения:

• компьютер;

• colorDisplay;

• видеоплеер;

• видеопроектор;

• музыкальный центр;

• акустическая система;

• компьютерный класс:

• микропроцессор не ниже PentiumIV,

• объём ПЗУ не меньше 2-3 ГБ,

• объем ОЗУ не меньше 512 МБ

• операционная система WindowsXP / 7

• текстовым редактором Word - 2003

• среды программирования TurboPascal или Delphi.

слайд-проектор.

3.2.Учебно-методический комплекс учебной дисциплины, систематизированный по компонентам

1. Нормативные документы и методическое обеспечение реализации дисциплины.

2. Сборники задач по теории чисел.

3. Комплекты типовых заданий, тестов, вопросов по теории чисел.

3.3. Информационно-коммуникационное обеспечение обучения

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы

Основные источники:

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. - СПб: Издательство "Лань", 2008.

2. Валицкас А.И. Конспект лекций по теории чисел: Теория делимости в кольце целых чисел. - Тобольск: изд-во ТГПИ, 2002.

3. Виноградов И.М. Основы теории чисел. - СПб.: Издательство "Лань", 2007.

4. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 2008.

5. Нестеренко Ю.В. Теория чисел. - М.: Издательский центр "Академия", 2008.

6. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - СПб: Издательство "Лань", 2008.

Дополнительные источники:

7. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел - М.: Наука, 1985.

8. Валицкас А.И., Евсюкова Е.В., Шаипова А.Я., Шебанова Л.П. Разноуровневые задания по курсу: "Алгебра и теория чисел": Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов. - Тобольск: изд-во ТГПИ, 1998.

9. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В. Алгебра - М.: Просвещение, 1978.

10. Воробьев Н.Н. Признаки делимости - М.: Наука, 1980.

11. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи - М.: Наука, 1978.

12. Воронин С.М. Простые числа - М.: Знание, 1978.

13. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел. - М.: Изд. МГУ, 1984.

14. Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. - Москва-Ленинград, 1940.

15. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.: Просвещение, 1964.

16. Казачек Н.А., Перлатов Г.Н., Виленкин Н.Я., Бородин А.И. Алгебра и теория чисел. Части I, II, III. - М.: Просвещение, 1974.

17. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. - М.: Наука, 1975.

18. Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х ТТ.). - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.

19. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. - М.: Просвещение, 1970.

20. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.

21. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Части I, II - М.: Просвещение, 1978.

22. Михелович Ш.Х. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1967.

23. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. -М.: Наука, 1982.

24. Постников М.М. Введение в аналитическую теорию чисел. - М.: Наука, 1971.

25. Прахар К. Распределение простых чисел. - М.: Мир, 1967.

26. Сирота Е.Р., Евсюкова Е.В. Готовимся к государственному экзамену. Алгебра и теория чисел. - Тобольск: Изд-во ТГПИ, 1995.

27. Степанов С.А. Сравнения. - М.: Знание, 1975.

28. Хинчин А.Я. Цепные дроби. - М.: Едиториал УРСС, 2004.

29. Эльнатанов Б.А. Развитие метода решета. - Душанбе, 1984.

Электронные образовательные ресурсы

1. Теория чисел // Википедия: свободная энциклопедия. - Электрон. дан. - Режим доступа: ru.wikipedia.org/wiki/Теория_чисел

4. Контроль и оценка результатов освоения учебной Дисциплины

4. Контроль и оценка результатов освоения дисциплины осуществляется преподавателем в процессе проведения практичесrb занятий, тематического контроля, тестирования, а также выполнения обучающимися индивидуальных заданий, презентаций.

Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)

Формируемые общеучебные и общие компетенции

Формы и методы контроля и оценки результатов обучения

Обучающиеся должны

уметь:

У1: уверенно пользоваться теоремами, определениями, свойствами при решении задач;

У2: сформировать умение составлять алгоритмы, приводящие к решению поставленных задач и делать выводы;

У3: сформировать умение решать задачи по теории чисел;

У4: применять полученные знания для шифрования и дешифрования серетных сообщений, передаваемых по открытым каналам связи;

У5: сформировать собственную позицию по отношению к шифрованию и дешифрованию информации, получаемой из разных источников;

знать:

З1: смысл понятий по теории чисел: терема, определение, алгоритм, лемма, свойства, программа, языки программирования;

З2: смысл величин по теории чисел: НОД, НОК, факторизация, сравнение, квадратичный вычет, квадратичный невычет, факториал, смвол Лежандра, функция Эйлера, дискретный логарифм,шифрование, дешифрование, матричный процессор, Схема RSA, криптологические протоколы;

З3: смысл основных теорем и алгоритмов теории чисел: Малая теорема Ферма, Теорема Эйлера, алгоритм Евклида, Китайсая теорема об остатках, теорема Чебышева;

З4: роль теории чисел в программировании и криптографии.

Общеучебные компетенции

1.Самоорганизация

Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях.

2.Самообучение

Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, заниматься самообразованием.

3.Информационный блок

Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

4.Коммуникативный блок

Способность эффективно работать в коллективе и команде, брать на себя ответственность за результат выполнения заданий.

Общие компетенции, включающие в себя способность:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

Текущий контроль:

Экспертная оценка результатов деятельности студентов при выполнении и защите практических и лабораторных работ, тематического контроля, тестировании, внеаудиторной самостоятельной работы, устной проверке знаний на учебных занятиях, защите презентаций

и др. видов текущего контроля.

Промежуточный контроль:

Контрольная работа

Итоговый контроль:

экзамен

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Контрольная работа по ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

вариант-ОБРАЗЕЦ

1. Найти НОД трёх чисел: 19074, 13566, 8211.

Решение. Используем свойство (19074, 13566, 8211) = ((19074, 13566), 8211).

Сначала находим НОД(19074, 13566) = 102, а затем НОД(102, 8211) = 51.

Таким образом, НОД(19074, 13566, 8211) = 51.

Ответ: НОД(19074, 13566, 8211) = 51.

2. Найти все x = 5^7^11^ со свойством  (x) = 2310000.

Решение. Если  0,  0,  0, то  (5^7^11^) = (5^)(7^)(11^) = = 5^-147^-1611^-110 = 2⁴35^7^-111^-1.

С другой стороны, 2310000 = 2⁴35⁴711. Из равенства 2⁴35^7^-111^-1 = = 2⁴35⁴711 находим (используя единственность канонического разложения), что  = 4,  = 2,  = 2, т.е. x = 5⁴7²11².

Исследуем теперь случаи, когда некоторые из показателей , , нулевые. Из предыдущих вычислений видно, что 3, 7,11 участвуют в каноническом разложении числа 2310000 = 2⁴35⁴711, так что  0,  0. Если  = 0, то (x) = =  (7^11^) = (7^)(11^) = 7^-1611^-110 = 2²357^-111^-1и равенство (x) = = 2310000 = 2⁴35⁴711невозможно.

Таким образом, найденное выше решение единственно.

Ответ: x = 5⁴7²11².

2. Найти количество натуральных чисел x со свойствами:

x< 450 и НОД(x, 450) = 15.

Решение. Любое число xс указанными в условии свойствами имеет вид x = = 15y, где 1y< 30 (т.к. 15 x< 450). При этом условие НОД(x, 450) = 15означает, что НОД(y, ) = 1, т.е. НОД(y, 30) = 1. Таким образом, задача сводится к отысканию всех чисел yсо свойствами 1y< 30и НОД(y, 30) = 1. Таких чисел (30) = (235) = (2)(3)(5) = 124 = 8.

Ответ: 8 чисел.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 10х  12 (mod 14),

б) методом цепных дробей 101х  130 (mod113).

Решение.а)Метод подбора.Сравнение 10х  12 (mod 14)имеет два класса решений по модулю 7, т.к. НОД(10, 14) = 2 | 12. При этом исходное сравнение равносильно 5x 6 (mod 7), в котором НОД(5, 7) = 1, так что это сравнение имеет единственный класс решений по модулю 7.

Последовательно подставляя в сравнение 5x 6 (mod 7)значения x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, находим 50 = 0 6 (mod 7), 51 = 5 6 (mod 7), 52 = 10  3 6 (mod 7), 53 = 15  1 6 (mod 7), 54 = 20  6 (mod 7). Таким образом, решением сравнения 5x 6 (mod 7)будет класс x 4 (mod 7), а решениями исходного сравнения - классы x 4+07 = 4 (mod 14), x 4+17 = 11 (mod 14).

Ответ: x  4 (mod 14), x 11 (mod 14).

Искусственный приём.Так же как и выше, вначале решаем сравнение 5x 6 (mod 7). Для этого будем искать xв виде x(mod 7), где tвыбирается так, чтобы дробь принимала целое значение. Перебирая t = 0, 1, 2, находим t = 2и x 4 (mod 7).Выписываем решения исходного решения: x 4+07 = 4(mod 14), x 4+17 = 11 (mod 14).

Ответ: x  4 (mod 14), x 11 (mod 14).

Метод Эйлера.Сравнение 10х  12 (mod 14)имеет два класса решений по модулю 7, т.к. НОД(10, 14) = 2 | 12. При этом исходное сравнение равносильно 5x 6 (mod 7), в котором НОД(5, 7) = 1, так что это сравнение имеет единственный класс решений по модулю 7.

Поскольку 5^(7) 1 (mod 7), то умножая обе части сравнения 5x 6 (mod 7)на 5^(7)-1, получим x5^(7)-15x5^(7)-16  5^6-16 5²5²56  442  22 = 4 (mod 7). Таким образом, решением сравнения 5x 6 (mod 7)будет класс x 4 (mod 7), а решениями исходного сравнения - классы x 4+07 = 4 (mod 14), x 4+17 = 11 (mod 14).

Ответ: x  4 (mod 14), x 11 (mod 14).

б)Метод цепных дробей.Сравнение 101х  130 (mod113) имеет единственный класс решений, т.к НОД(101, 113) = 1 | 130. При этом исходное сравнение равносильно 101х  17 (mod113), которое и будем решать.

Разлагаем дробь в конечную цепную дробь:

Таким образом, = [1; 8, 2, 2, 2] - конечная цепная дробь порядка 4. Вычислим её значение, составив таблицу:

Таким образом, 10147 - 11342 = 1 и значит, 10147  1 (mod 113), так что решением рассматриваемого сравнения 101х  17 (mod113) будет x 4717 = = 799  8 (mod 113).

Ответ: x 8 (mod 113).

3. Решить сравнение с помощью индексов: 40х ¹⁰ 3 (mod 17).

Решение. Упростим сравнение: 6х ¹⁰ 3 (mod 17)и поскольку НОД(3, 17) = 1, последнее сравнение равносильно (после сокращения на 3) сравнению 2х ¹⁰ 1 (mod 17), которое и будем решать.

Переходя к индексам по модулю (17) = 16, получимind(2) + 10ind(x) ind(1) (mod 16) или (вычисляяind(2) с помощью таблиц индексов)10ind(x) ind(1) - ind(2)  0 - 14  2 (mod 16).

Сравнение 10ind(x) 2 (mod 16)имеет два класса решений по модулю 16, т.к. НОД(10, 16) = 2 | 2.Это сравнение равносильно сравнению 5y 1 (mod 8), которое имеет единственный класс решений y 5 (mod 8). Значит сравнение 10ind(x) 2 (mod 16)имеет следующие решения: ind(x₁)  5+08 = 5 (mod 16), ind(x₂) 5+18 = 13 (mod 16).

По таблице антииндексов находим соответствующие решения x 5 (mod 17)и x 12 (mod 17).

Ответ: x 5 (mod 17) и x 12 (mod 17).

3. Найти остаток от деления (15728 + 19 ³⁰)⁷ на 57.

Решение.1. Находим остаток от деления 15728 на 57:

15728  53 -4 (mod 57).

2. Находим остаток от деления 19 ³⁰на 57: 19 ³⁰ = (19 ²) ¹⁵ = = 361 ¹⁵ 19 ¹⁵ = (19 ²)⁷19  19 ⁷19  (19 ²) ⁴ 19 ⁴ (19 ²) ² 19 ² 19 (mod 57).

3. Имеем (15728 + 19 ³⁰)⁷ (-4 + 19) ⁷ = 15 ⁷ (mod 57).

4. Вычислим 15 ⁷ = (15 ²) ³15  54 ³15  (-3) ³15 = - 2715 = = -405  -6  51 (mod 57):

Ответ: остаток равен 51.

3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Решение.1.Находим каноническое разложение знаменателя: 10500 = 105100 = = 2 ²5 ³37 = 2 ²5 ³21.

2. Находим длину предпериода: (длина предпериода) = max{2, 3} = 3.

3. Находим длину периода P₂₁(10): 10¹ = 10 1 (mod 21), 10 ² = 100 -5 1 (mod 21), 10 ³ 10(-5)  -8 1 (mod 21), 10 ⁴ (-5) ²4 1 (mod 21), 10 ⁵ 104 -2 1 (mod 21), 10 ⁶ 10(-2) 1 (mod 21).

Таким образом, (длина периода) = 6.

Ответ: длина предпериода равна 3, а длина периода - 6.

5.Вариант 0

1. Найти НОД трёх чисел: 2226, 3213, 6489.

2. Решить уравнение:  (7 ^х) = 294.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 7х  6 (mod 9),

б) методом цепных дробей 88х  324 (mod404).

4. Решить сравнение с помощью индексов: 25х ⁷ -7 (mod 31).

5. Найти остаток от деления 11 ⁸⁰² на 1000.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 1

1. Найти НОД трёх чисел: 3445, 4225, 5915.

2. Найти все x = 5^7^11со свойством  (x) = 42000.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 3х  1 (mod 11),

б) методом цепных дробей 365х  50 (mod 395).

4. Решить сравнение с помощью индексов: 8х⁹ -17 (mod 41).

5. Найти остаток от деления 19 ²⁴⁰² на 100.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 2

2. Найти НОД трёх чисел: 1073, 3683, 34481.

3. Найти количество натуральных чисел xсо свойствами:

x< 975 и НОД(x, 975) = 13.

2. Решить сравнение: а) тремя способами 18х  12 (mod 30),

б) методом цепных дробей 91х  143 (mod 222).

2. Решить сравнение с помощью индексов: 7х¹³ + 23  0 (mod 47).

3. Найти остаток от деления 1967 ¹⁹⁶⁸ на 11.

4. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 3

1. Найти НОД трёх чисел: 1012, 1474, 4598.

2. Решить уравнение:  (11 ^х) = 13310.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 39х  5 (mod 11),

б) методом цепных дробей 27х  25 (mod 119).

4. Решить сравнение с помощью индексов: 9х¹¹ + 1  0 (mod 43).

5. Найти остаток от деления 109 ³⁴⁵ на 14.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 4

1. Найти НОД трёх чисел: 988, 2014, 42598.

2. Найти все x = 5^711^ со свойством  (x) = 330000.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 37х  16 (mod 11),

б) методом цепных дробей 82х  14 (mod 202).

4. Решить сравнение с помощью индексов: 19х⁵ + 13  0 (mod 53).

5. Найти остаток от деления 293 ²⁷⁵ на 48.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 5

1. Найти НОД трёх чисел: 7975, 2585, 13915.

2. Найти количество натуральных чисел, не превосходящих 120 и не взаимно простых с числом 30.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 62х  5 (mod 13),

б) методом цепных дробей 243х  271 (mod 317).

4. Решить с помощью индексов: 32 ^х 15 (mod 37).

6. Найти остаток от деления: 117 ⁵³ на 11.

7. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 6

1. Найти НОД трёх чисел: 874, 1518, 20142.

2. Решить уравнение (15^x) = 9000.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 11х  15 (mod 24),

б) методом цепных дробей 92х  20 (mod 284).

4. Решить сравнение с помощью индексов: х² 54 (mod 67).

5. Найти остаток от деления 5 ⁸⁰ + 7 ¹⁰⁰ на 13.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 7

1. Найти НОД трёх чисел: 9911, 952, 2227.

2. Найти все x = 5^7^со свойством (x) = 147000.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 6х  8 (mod 10),

б) методом цепных дробей 221х  111 (mod 360).

4. Решить сравнение с помощью индексов: х² 37 (mod 41).

5. Найти остаток от деления 2 ¹⁰⁰ + 3 ¹⁰⁰ на 5.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 8

1. Найти НОД трёх чисел: 1253, 406, 252.

2. Найти количество натуральных чисел xсо свойствами:

x< 2476и НОД(x, 2476) = 619.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 8х  14 (mod 18),

б) методом цепных дробей 113х  89 (mod 311).

4. Найти сравнение с помощью индексов: х² 58 (mod 61).

5. Найти остаток от деления 11 ¹⁸⁴¹ на 7.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 9

1. Найти НОД трёх чисел: 2743, 3587, 6963.

2. Найти количество натуральных чисел не превосходящих 2272 и взаимно простых с числом 568 .

3. Решить сравнение: а) тремя способами 10х  4 (mod 14),

б) методом цепных дробей 95х  59 (mod 308).

4. Решить сравнение с помощью индексов: х¹⁵ 38 (mod 59).

5. Найти остаток от деления 23 ²³⁴² на 14.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

</ ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Контрольная работа по ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

вариант-ОБРАЗЕЦ

3. Найти НОД трёх чисел: 19074, 13566, 8211.

Решение. Используем свойство (19074, 13566, 8211) = ((19074, 13566), 8211).

Сначала находим НОД(19074, 13566) = 102, а затем НОД(102, 8211) = 51.

Таким образом, НОД(19074, 13566, 8211) = 51.

Ответ: НОД(19074, 13566, 8211) = 51.

4. Найти все x = 5^7^11^ со свойством  (x) = 2310000.

Решение. Если  0,  0,  0, то  (5^7^11^) = (5^)(7^)(11^) = = 5^-147^-1611^-110 = 2⁴35^7^-111^-1.

С другой стороны, 2310000 = 2⁴35⁴711. Из равенства 2⁴35^7^-111^-1 = = 2⁴35⁴711 находим (используя единственность канонического разложения), что  = 4,  = 2,  = 2, т.е. x = 5⁴7²11².

Исследуем теперь случаи, когда некоторые из показателей , , нулевые. Из предыдущих вычислений видно, что 3, 7,11 участвуют в каноническом разложении числа 2310000 = 2⁴35⁴711, так что  0,  0. Если  = 0, то (x) = =  (7^11^) = (7^)(11^) = 7^-1611^-110 = 2²357^-111^-1и равенство (x) = = 2310000 = 2⁴35⁴711невозможно.

Таким образом, найденное выше решение единственно.

Ответ: x = 5⁴7²11².

2. Найти количество натуральных чисел x со свойствами:

x< 450 и НОД(x, 450) = 15.

Решение. Любое число xс указанными в условии свойствами имеет вид x = = 15y, где 1y< 30 (т.к. 15 x< 450). При этом условие НОД(x, 450) = 15означает, что НОД(y, ) = 1, т.е. НОД(y, 30) = 1. Таким образом, задача сводится к отысканию всех чисел yсо свойствами 1y< 30и НОД(y, 30) = 1. Таких чисел (30) = (235) = (2)(3)(5) = 124 = 8.

Ответ: 8 чисел.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 10х  12 (mod 14),

б) методом цепных дробей 101х  130 (mod113).

Решение.а)Метод подбора.Сравнение 10х  12 (mod 14)имеет два класса решений по модулю 7, т.к. НОД(10, 14) = 2 | 12. При этом исходное сравнение равносильно 5x 6 (mod 7), в котором НОД(5, 7) = 1, так что это сравнение имеет единственный класс решений по модулю 7.

Последовательно подставляя в сравнение 5x 6 (mod 7)значения x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, находим 50 = 0 6 (mod 7), 51 = 5 6 (mod 7), 52 = 10  3 6 (mod 7), 53 = 15  1 6 (mod 7), 54 = 20  6 (mod 7). Таким образом, решением сравнения 5x 6 (mod 7)будет класс x 4 (mod 7), а решениями исходного сравнения - классы x 4+07 = 4 (mod 14), x 4+17 = 11 (mod 14).

Ответ: x  4 (mod 14), x 11 (mod 14).

Искусственный приём.Так же как и выше, вначале решаем сравнение 5x 6 (mod 7). Для этого будем искать xв виде x(mod 7), где tвыбирается так, чтобы дробь принимала целое значение. Перебирая t = 0, 1, 2, находим t = 2и x 4 (mod 7).Выписываем решения исходного решения: x 4+07 = 4(mod 14), x 4+17 = 11 (mod 14).

Ответ: x  4 (mod 14), x 11 (mod 14).

Метод Эйлера.Сравнение 10х  12 (mod 14)имеет два класса решений по модулю 7, т.к. НОД(10, 14) = 2 | 12. При этом исходное сравнение равносильно 5x 6 (mod 7), в котором НОД(5, 7) = 1, так что это сравнение имеет единственный класс решений по модулю 7.

Поскольку 5^(7) 1 (mod 7), то умножая обе части сравнения 5x 6 (mod 7)на 5^(7)-1, получим x5^(7)-15x5^(7)-16  5^6-16 5²5²56  442  22 = 4 (mod 7). Таким образом, решением сравнения 5x 6 (mod 7)будет класс x 4 (mod 7), а решениями исходного сравнения - классы x 4+07 = 4 (mod 14), x 4+17 = 11 (mod 14).

Ответ: x  4 (mod 14), x 11 (mod 14).

б)Метод цепных дробей.Сравнение 101х  130 (mod113) имеет единственный класс решений, т.к НОД(101, 113) = 1 | 130. При этом исходное сравнение равносильно 101х  17 (mod113), которое и будем решать.

Разлагаем дробь в конечную цепную дробь:

Таким образом, = [1; 8, 2, 2, 2] - конечная цепная дробь порядка 4. Вычислим её значение, составив таблицу:

Таким образом, 10147 - 11342 = 1 и значит, 10147  1 (mod 113), так что решением рассматриваемого сравнения 101х  17 (mod113) будет x 4717 = = 799  8 (mod 113).

Ответ: x 8 (mod 113).

3. Решить сравнение с помощью индексов: 40х ¹⁰ 3 (mod 17).

Решение. Упростим сравнение: 6х ¹⁰ 3 (mod 17)и поскольку НОД(3, 17) = 1, последнее сравнение равносильно (после сокращения на 3) сравнению 2х ¹⁰ 1 (mod 17), которое и будем решать.

Переходя к индексам по модулю (17) = 16, получимind(2) + 10ind(x) ind(1) (mod 16) или (вычисляяind(2) с помощью таблиц индексов)10ind(x) ind(1) - ind(2)  0 - 14  2 (mod 16).

Сравнение 10ind(x) 2 (mod 16)имеет два класса решений по модулю 16, т.к. НОД(10, 16) = 2 | 2.Это сравнение равносильно сравнению 5y 1 (mod 8), которое имеет единственный класс решений y 5 (mod 8). Значит сравнение 10ind(x) 2 (mod 16)имеет следующие решения: ind(x₁)  5+08 = 5 (mod 16), ind(x₂) 5+18 = 13 (mod 16).

По таблице антииндексов находим соответствующие решения x 5 (mod 17)и x 12 (mod 17).

Ответ: x 5 (mod 17) и x 12 (mod 17).

3. Найти остаток от деления (15728 + 19 ³⁰)⁷ на 57.

Решение.1. Находим остаток от деления 15728 на 57:

15728  53 -4 (mod 57).

2. Находим остаток от деления 19 ³⁰на 57: 19 ³⁰ = (19 ²) ¹⁵ = = 361 ¹⁵ 19 ¹⁵ = (19 ²)⁷19  19 ⁷19  (19 ²) ⁴ 19 ⁴ (19 ²) ² 19 ² 19 (mod 57).

3. Имеем (15728 + 19 ³⁰)⁷ (-4 + 19) ⁷ = 15 ⁷ (mod 57).

4. Вычислим 15 ⁷ = (15 ²) ³15  54 ³15  (-3) ³15 = - 2715 = = -405  -6  51 (mod 57):

Ответ: остаток равен 51.

3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Решение.1.Находим каноническое разложение знаменателя: 10500 = 105100 = = 2 ²5 ³37 = 2 ²5 ³21.

2. Находим длину предпериода: (длина предпериода) = max{2, 3} = 3.

3. Находим длину периода P₂₁(10): 10¹ = 10 1 (mod 21), 10 ² = 100 -5 1 (mod 21), 10 ³ 10(-5)  -8 1 (mod 21), 10 ⁴ (-5) ²4 1 (mod 21), 10 ⁵ 104 -2 1 (mod 21), 10 ⁶ 10(-2) 1 (mod 21).

Таким образом, (длина периода) = 6.

Ответ: длина предпериода равна 3, а длина периода - 6.

6.Вариант 0

7. Найти НОД трёх чисел: 2226, 3213, 6489.

8. Решить уравнение:  (7 ^х) = 294.

9. Решить сравнение: а) тремя способами 7х  6 (mod 9),

б) методом цепных дробей 88х  324 (mod404).

10. Решить сравнение с помощью индексов: 25х ⁷ -7 (mod 31).

11. Найти остаток от деления 11 ⁸⁰² на 1000.

12. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 1

7. Найти НОД трёх чисел: 3445, 4225, 5915.

8. Найти все x = 5^7^11со свойством  (x) = 42000.

9. Решить сравнение: а) тремя способами 3х  1 (mod 11),

б) методом цепных дробей 365х  50 (mod 395).

10. Решить сравнение с помощью индексов: 8х⁹ -17 (mod 41).

11. Найти остаток от деления 19 ²⁴⁰² на 100.

12. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 2

2. Найти НОД трёх чисел: 1073, 3683, 34481.

3. Найти количество натуральных чисел xсо свойствами:

x< 975 и НОД(x, 975) = 13.

2. Решить сравнение: а) тремя способами 18х  12 (mod 30),

б) методом цепных дробей 91х  143 (mod 222).

2. Решить сравнение с помощью индексов: 7х¹³ + 23  0 (mod 47).

3. Найти остаток от деления 1967 ¹⁹⁶⁸ на 11.

4. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 3

8. Найти НОД трёх чисел: 1012, 1474, 4598.

9. Решить уравнение:  (11 ^х) = 13310.

10. Решить сравнение: а) тремя способами 39х  5 (mod 11),

б) методом цепных дробей 27х  25 (mod 119).

11. Решить сравнение с помощью индексов: 9х¹¹ + 1  0 (mod 43).

12. Найти остаток от деления 109 ³⁴⁵ на 14.

13. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 4

7. Найти НОД трёх чисел: 988, 2014, 42598.

8. Найти все x = 5^711^ со свойством  (x) = 330000.

9. Решить сравнение: а) тремя способами 37х  16 (mod 11),

б) методом цепных дробей 82х  14 (mod 202).

10. Решить сравнение с помощью индексов: 19х⁵ + 13  0 (mod 53).

11. Найти остаток от деления 293 ²⁷⁵ на 48.

12. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 5

5. Найти НОД трёх чисел: 7975, 2585, 13915.

6. Найти количество натуральных чисел, не превосходящих 120 и не взаимно простых с числом 30.

7. Решить сравнение: а) тремя способами 62х  5 (mod 13),

б) методом цепных дробей 243х  271 (mod 317).

8. Решить с помощью индексов: 32 ^х 15 (mod 37).

6. Найти остаток от деления: 117 ⁵³ на 11.

14. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 6

7. Найти НОД трёх чисел: 874, 1518, 20142.

8. Решить уравнение (15^x) = 9000.

9. Решить сравнение: а) тремя способами 11х  15 (mod 24),

б) методом цепных дробей 92х  20 (mod 284).

10. Решить сравнение с помощью индексов: х² 54 (mod 67).

11. Найти остаток от деления 5 ⁸⁰ + 7 ¹⁰⁰ на 13.

12. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 7

7. Найти НОД трёх чисел: 9911, 952, 2227.

8. Найти все x = 5^7^со свойством (x) = 147000.

9. Решить сравнение: а) тремя способами 6х  8 (mod 10),

б) методом цепных дробей 221х  111 (mod 360).

10. Решить сравнение с помощью индексов: х² 37 (mod 41).

11. Найти остаток от деления 2 ¹⁰⁰ + 3 ¹⁰⁰ на 5.

12. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 8

7. Найти НОД трёх чисел: 1253, 406, 252.

8. Найти количество натуральных чисел xсо свойствами:

x< 2476и НОД(x, 2476) = 619.

9. Решить сравнение: а) тремя способами 8х  14 (mod 18),

б) методом цепных дробей 113х  89 (mod 311).

10. Найти сравнение с помощью индексов: х² 58 (mod 61).

11. Найти остаток от деления 11 ¹⁸⁴¹ на 7.

12. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 9

7. Найти НОД трёх чисел: 2743, 3587, 6963.

8. Найти количество натуральных чисел не превосходящих 2272 и взаимно простых с числом 568 .

9. Решить сравнение: а) тремя способами 10х  4 (mod 14),

б) методом цепных дробей 95х  59 (mod 308).

10. Решить сравнение с помощью индексов: х¹⁵ 38 (mod 59).

11. Найти остаток от деления 23 ²³⁴² на 14.

12. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

9