Разработка урока по теме Непозиционные системы счисления

Тема: Системы счисления

Цели: Познакомить учащихся с историей возникновения и развития систем счисления; указать основные недостатки и преимущества непозиционных систем счисления.

Учащиеся должны знать:

-определение понятий: «цифра», «число», «система счисления», «непозиционная система счисления»

Учащиеся должны уметь:

-записывать числа в непозиционной системе счисления.

ХОД УРОКА.

1. Изложение нового материала.

Человеку издревле приходилось считать различные предметы, нужно было и записывать их количество. Самой первой возникла система записи, при которой числа обозначались соответствующим количеством черточек (или засечек на деревяшке). Такая запись получается очень громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа. Появились разные условные обозначения для различных чисел. Например, многие народы использовали в качестве цифр буквы, к которым добавляли специальные значки. На Руси таким знаком было титло:

В любом случае число изображалось с помощью любых символов, которые называются цифрами.

Цифры - это символы, которые участвуют в записи числа и составляют некоторый алфавит.

Что же такое число?

Число - это некоторая величина.

А получалось число сложением цифр по особым правилам , поэтому система оставалась сложной. Представьте: чтобы пользоваться древнерусской системой счисления, нужно было знать числовое значение 30 букв, а еще несколько особых символов, увеличивавших это значение ("тысяча", "тьма", "легион", "лео" и др - все они получались при приписывании к "единице" -- букве "аз" разных значков). Вычисления же в таких системах были вообще чрезвычайно затруднены.

На разных этапах развития человечества правила записи чисел были различны и поэтому появились разные системы счисления

Система счисления- это способ записи чисел с помощью цифр.

Система счисления делится на следующие виды:

1. непозиционные системы счисления;

2. Позиционные системы счисления.

2. Непозиционные системы счисления

Непозиционной С. С. - называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент (значение) каждой цифры не зависит от её положения (места, позиции) в записи числа.

Например:

К непозиционной системе счисления относится римская система счисления, где цифры обозначаются буквами латинского алфавита:

I - 1; V - 5; X - 10; L - 50;

C - 100; D - 500; M - 1000; …

Рассмотрим римское число VVV - 15. При записи числа использовались одинаковые «цифры» - V. И если сравнить их между собой, то получим абсолютное равенство. Т.е. на каком бы месте ни стояла цифра в записи числа, ее «вес» всегда один и тот же (5).

Для записи римских чисел используется правило: меньшие знаки, поставленные справа от большего, прибавляются к его значению, а меньший знак, поставленный слева от большего, вычитаются из него.

IX обозначает 9,

XI обозначает 11.

Задание: представьте таким образом числа:

1) MMIV

2) LXV

3) 28, 99 ( XXVIII, IC= -1+100)

Недостатки непозиционных С.С.

1. не удобна запись больших чисел

2. невозможно записывать дробные и отрицательные числа

3. сложно выполнять арифметические операции

Развитие римской системе счисления привело к появлению современных позиционных систем счисления.

3. Д. / З.

1. Запишите год, месяц, число своего рождения с помощью римских цифр.

2. Придумайте свою непозиционную систему счисления.

3. Какой числовой эквивалент (значение) имеет цифра 6 в числах 6789, 3650, 16, 69.

4. Запишите с помощью старинной С.С. сумму 2357 руб. 53 коп.

Тема: Позиционные системы счисления.

Цели: Сформировать у учащихся понятие «позиционные системы счисления»

Учащиеся должны знать:

- какая система счисления называется «позиционной» и почему;

- приводить примеры позиционных С.С.

- развернутую форму записи числа в позиционной СС.

Учащиеся должны уметь:

-приводить примеры чисел различных позиционных систем счисления, определять основание СС

- записывать числа в развернутой форме

ХОД УРОКА.

1. Постановка целей урока.

На прошлом занятии мы познакомились с непозиционной СС. Каковы же были предпосылки для создание позиционных СС?

2. Проверка домашнего задания

3. Позиционные системы счисления.

Позиционной С. С. - называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент (значение) каждой цифры зависит от её положения (места, позиции) в коде числа.

Привычной нам системе для записи чисел используются 10 различных знаков (цифры 0-9). Поэтому ее называют десятичной системой счисления. Мы настолько привыкли к нашей десятеричной системе, что даже не задумываемся, насколько гениальной была идея, положенная в ее основу: значение цифры зависит от ее позиции (места) в числе.

Например, число 444 записано тремя одинаковыми цифрами, но каждая из них имеет свое значение: четыре сотни, четыре десятка и четыре единицы. То есть его можно записать вот так:

444 = 4^.100 + 4^.10 + 4^.1.

Достоинства любой позиционной С.С:

1) простота выполнения арифметических действий,

2) нет ограничений в количестве цифр, необходимые для записи числа.

Позиционных систем много, т.к. за основание можно взять любое число не меньше 2.

У каждой С.С. имеется основание. Оно показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.

Основание позиционной системы счисления - это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной системе счисления.

Данные о некоторых системах счисления запишем в таблицу

Задание: Правильно ли указаны основания данных чисел:

123₄ - 4-основание (да)

567₁₀ - 10-основание (да)

125₄ - 4 основание , (нет, т.к. есть цифра 5)

4. Развернутая форма записи числа.

В позиционной системе счисления любое число может быть представлено следующим образом:

А_q=а_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2 + a _n-3 q^n-3 … a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + …a_-m q^-m

А-само число

q - основание системы счисления;

n - число разрядов целой части числа;

m - число разрядов дробной части числа;

a_i - цифры данной системы.

Пример 1: записать в развернутом виде А₁₀= 255, 43

А₁₀= 2 * 10² + 5 * 10¹ + 5 * 10 ⁰+4*10^-1+3*10^-2

Пример 2: записать в развернутом виде А₈= 255, 43

А₈= 2 * 8² + 5 * 8¹ + 5 * 8⁰+4*8^-1+3*8^-2

Пример 3: записать в развернутом виде А₁₆= 2А, F3

А₁₆= 2 * 16¹ + 10 * 16⁰+15*16^-1+3*16^-2

Свернутой формой записи числа называется запись в виде:

А_q=а_n-1 a_n-2 a _n-3 … a₀ a_-1a_-m

Именно такой формой записи мы пользуемся в повседневной жизни.

5. Закрепление пройденного.

Задание 1: представьте следующие числа в развернутом виде:

1. А₁₀=5319,12

А₁₀= 5*10³ + 3*10² + 1*10¹ + 9*10⁰ + 1*10^-1 + 2*10^-2

2. А₅=23415,6 (не правильно)

А₅=2430,21 (А₅=2*5³ + 4*5² + 3*5¹ + 0*5⁰ + 2*5^-1 + 1*5^-2)

3. А₂=101,11 (А₂=1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1 + 1*2^-2)

Задание 2: Сравните числа:

1. 5₁₀ и 5₈ (5₁₀ =5₈ )

2. 1111₂ и 1111₈ (1111₂ < 1111₈)

Задание 3: Запишите в свернутой форме следующие числа:

А₁₀=1*10⁴ + 4*10³ + 3*10² + 5*10¹ + 1*10⁰ + 1*10^-1 (14351,1)

А₈=2*8⁵ + 5*8⁴ + 3*8³ + 5*8² + 1*8¹ + 1*8⁰ (25311)

A₇=4*7² + 8*7¹ + 5*7⁰ + 1*7^-1+ 1*7^-2(485,11)

A₁₆=1*16⁴ + 10*16³ + 3*16² + 11*16¹ + 1*16⁰ + 10*16^-1(1А3В1,А)

Д/З:

Задание 1: Записать в развернутом виде

А₁₀ = 143511,34

А₂=101101

А₉=8881,4

А₈=120,234

А₁₆=2E5A,12,

А₄=100,21

Ответ А16=2*16^3 + 14*16^2 + 5*16^1+10*16^0 + 1*16^-1 + 2*16^-2 = 8192 + 3584 + 80 + 10 + 1/16 + 2/256= 11866,0703125,