Урок в 10 классе на тему: 'Вероятностный подход к определению количества информации'

Урок по информатике в 10 классе

Тема: Вероятностный подход к определению количества информации

Цели: ввести понятие «количество информации»; сформировать у обучающихся понимание вероятности, равновероятных событий, не равновероятных событий; научить находить количество информации.

Требования к знаниям и умениям:

Обучающиеся должны знать:

- какие события являются равновероятными, какие - не равновероятными;

- как найти вероятность события;

- как найти количество информации в сообщении, что произошло одно из равновероятных событий или одно из не равновероятных событий.

обучающиеся должны уметь:

- различать равновероятные и не равновероятные события;

- находить количество информации в сообщении, что произошло одно из равновероятных событий или одно из не равновероятных событий;

- находить количество возможных вариантов того или иного события, если известно количество информации в сообщении о том, что событие произошло.

Программно-дидактическое обеспечение: таблицы.

Ход урока

I. Постановка целей урока

1. Вы можете передать другу килограмм конфет, получить у продавца 3 метра ткани, передать брату немного своего тепла. А как получить или передать некоторое количество информации?

2. «Орел» и «решка». В чем заключено больше информации?

3. Игра «Угадай число». Как угадать число на наименьшее количество попыток?

II. Проверка домашнего задания

III. Изложение нового мат риала

1. Введение понятия «количество информации»

Мы с вами говорили о том, что в основе нашего мира лежат три составляющие - вещество, энергия и информация. А как много в мире вещества, энергии и информации.

- Можно ли измерить количество вещества и как именно? (Вещество можно взвесить (в килограммах, гаммах и т.д.) на весах, определить его длину (в сантиметрах, в метрах и т.д.) с помощью линейки; найти его объем, применив соответствующие измерения и т.д.)

- Можно ли определить количество энергии? (Можно, например, найти количество тепловой энергии в Дж, электроэнергии в кВт/ч, и т.д.)

- Можно ли измерить количество информации и как это сделать? (Полного и правильного ответа на этот вопрос учащиеся не дадут.)

Оказывается, информацию также можно измерять и находить ее количество.

Существуют два подхода к измерению информации.

Один из них называется содержательный или вероятностный. Из названия подхода можно сделать вывод, что количество информации зависит от ее содержания.

Упражнение 1 (устно)

Определите количество информации в следующих сообщениях с позиции «много» или «мало».

1. Столица России - Москва.

2. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

3. Дифракцией света называется совокупность явлений, которые обусловлены волновой природой света и наблюдаются при его распространении в среде с резко выраженной оптической неоднородностью.

4. Эйфелева башня имеет высоту 300 метров и вес 9000 тонн.

Пояснение: попросите учеников пояснять ответы, задавая им наводящие вопросы о том, содержит ли сообщение новые и понятные сведения.

Сообщение несет больше информации, если в нем содержатся новые и понятные сведения. Такое сообщение называется информативным. Необходимо различать понятия информация и информативность.

Содержит ли информацию учебник физики за 10 класс? (Да).

Для кого он будет информативным - для ученика 10 класса или 1 класса? (Для ученика 10 класса он будет информативным, так как в нем содержится новая и понятная ему информация, а для ученика 1 класса она информативной не будет, так как информация для него непонятна.)

Вывод: количество информации зависит от информативности.

Количество информации в некотором сообщении равно нулю, если оно с точки зрения конкретного человека неинформативно. Количество информации в информативном сообщении больше нуля.

Но информативность сообщения сама по себе не дает точного определения количества информации. По информативности можно судить только о том, много информации или мало.

2. Введение понятия вероятностного подхода в измерении информации

Рассмотрим понятие информативности с другой стороны. Если некоторое сообщение является информативным, следовательно, оно пополняет нас знаниями или уменьшает неопределенность наших знаний. Другими словами сообщение содержит информацию, если оно приводит к уменьшению неопределенности наших знаний.

Рассмотрим пример.

Пояснение: пример можно продемонстрировать практически.

Мы бросаем монету и пытаемся угадать, какой стороной она упадет на поверхность. Возможен один результат из двух: монета окажется в положении «орел» или «решка». Каждое из этих двух событий окажется равновероятным, т.е. ни одно из них не имеет преимущества перед другим.

Перед броском монеты мы не знает, как она упадет. Это событие предсказать невозможно, т.е. перед броском существует неопределенность нашего знания (возможно одно событие из двух). После броска наступает полная определенность знания, т.к. мы получаем зрительное сообщение о положении монеты. Это зрительное сообщение уменьшает неопределенность нашего знания в два раза, т.к. из двух равновероятных событий произошло одно.

Если мы кидаем шестигранный кубик, то мы также не знаем перед броском, какой стороной он упадет на поверхность. В этом случае, возможно получить один результат из шести равновероятных. Неопределенность знаний равна шести, т.к. именно шесть равновероятных событий может произойти. Когда после броска кубика мы получаем зрительное сообщение о результате, то неопределенность наших знаний уменьшается в шесть раз.

Упражнение 2 (устно)

Еще один пример. На экзамен приготовлено 30 билетов.

- Чему равно количество событий, которые могут произойти при вытягивании билета? (30)

- Равновероятны эти события или нет? (Равновероятны.)

- Чему равна неопределенность знаний ученика перед тем как он вытянет билет? (30)

- Во сколько раз уменьшится неопределенность знания после того как ученик билет вытянул? (В 30раз.)

- Зависит ли этот показатель от номера вытянутого билета? (Нет, т.к. события равновероятны.)

Приведите свои примеры равновероятных событий с указанием величины неопределенности знаний. Из всех рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод: Чем больше начальное число возможных равновероятных событий, тем в большее количество раз уменьшается неопределенность наших знаний, и тем большее количество информации будет содержать сообщение о результатах опыта.

А каким может быть самое маленькое количество информации? Вернемся к примеру с монетой. Предположим, что у монеты обе стороны «орел».

- Существует ли неопределенность знаний пред броском в этом случае? Почему? (Нет, так как мы заранее знаем, что выпадет в любом случае «орел».)

- Получите вы новую информацию после броска? (Нет, так как ответ мы уже знали заранее.)

- Будет ли информативным сообщение о результате броска? (Нет, так оно не принесло новых и полезных знаний.)

- Чему равно количество информации в этом случае? (Нулю, т.к. оно неинформативно.)

Вывод: мы не получаем информации в ситуации, когда происходит одно событие из одного возможного. Количество информации в этом случае равно нулю. Для того чтобы количество информации имело положительное значение, необходимо получить сообщение о том, что произошло событие как минимум из двух равновероятных. Такое количество информации, которое находится в сообщении о том, что произошло одно событие из двух равновероятных, принято за единицу измерения информации и равно 1 биту.

1 Бит - количество информации, содержащееся в о или 1.

Итак, с помощью битов информация кодируется. С точки зрения кодирования с помощью 1 бита можно закодировать два сообщения, события или два варианта некоторой информации. С точки зрения вероятности 1 бит - это такое количество информации, которое позволяет выбрать одно событие из двух равновероятных. Согласитесь, что эти два определения не противоречат друг другу, а совершено одинаковы, но просто рассмотрены с разных точек зрения.

Еще одно определение 1 бита:

1 бит - это количество информации, уменьшающее неопределенность знаний в два раза.

Игра «Угадай число».

Пояснение: попросите кого-нибудь из учеников загадать число из предложенного вами интервала и отгадайте его, а затем расскажите, как вы это сделали. Интервал необходимо выбрать такой, чтобы он являлся степенью числа 2. Это условие упрощает объяснение материала, так как в этом случае правильная стратегия строится на получении максимального количества информации. Детям это пояснять пока не надо. В случае возникновения вопросов по поводу выбора интервала пояснить, что это связано с правильной стратегией игры.

Стратегия поиска:

Необходимо на каждом шаге в два раза уменьшать неопределенность знания, т.е. задавать вопросы, делящие числовой интервал на два. Тогда ответ «Да» или «Нет» будет содержать 1 бит информации. Подсчитав общее количество битов (ответов на вопросы), найдем полное количество информации, необходимое для отгадывания числа.

Например, загадано число 5 из интервала от 1 до 16.

Вопрос

Ответ

Неопределенность знаний

Полученное количество информации

Число больше 8?

Нет

8

1 бит

Число больше 4?

Да

4

1 бит

Число больше 6?

Нет

2

1 бит

Число 5?

Да

1

1 бит

Итого:

4 бита

Пояснение: подготовьте таблицу заранее; неопределенность знаний перед угадыванием равна 16.

Вывод: количество информации, необходимое для определения одного из 10 чисел, равно 4 бита.

Упражнение 3 (устно)

Загадайте число (например, 8), сообщите детям интервал (например, от 1 до 32) и попросите их угадать число, воспользовавшись выше приведенной стратегией поиска. При этом объявите детям, что вы знаете, какое количество бит информации получится (5 бит), и запишите это количество где-нибудь на листе бумаги, чтобы потом показать детям.

Пояснение: ваш ответ совпадет с ответом учеников, но вы быстрее его получите, т.к. подсчитаете ответ по формуле.

- Почему я быстрее вас получила ответ? (Наверно есть какая-то формула, по которой можно быстро подсчитать количество информации.)

Действительно, существует формула, которая связывает между собой количество возможных событий и количество информации.

N = 2^I; где, N - количество возможных вариантов, I - количество информации.

Пояснение: попросите детей сравнить эту формулу с формулой, которая была дана на прошлом уроке и по которой можно определить, сколько информации можно закодировать с помощью заданного количества бит. Поясните, что формулы одинаковые, только применяются с разных точек зрения - кодирования и вероятности.

Если из этой формулы выразить количество информации, то получится

I = log₂N.

Как пользоваться этими формулами для вычислений:

- если количество возможных вариантов N является целой степенью числа 2, то производить вычисления по формуле N = 2^I достаточно легко.

Вернемся к примеру: N = 32; -> I = 5, т.к. 32 = 2⁵;

- если же количество возможных вариантов информации не является целой степенью числа 2, т.е. если количество информации число вещественное, то необходимо воспользоваться калькулятором или таблицей значений степеней (см. учебник).

Количество информации в сообщении об одном из N равновероятных событий: I = log₂N.

Например: Какое количество информации можно получить при угадывании числа из интервала от 1 до 11? В этом примере N = 11. Чтобы найти I (количество информации), необходимо воспользоваться таблицей. По таблице I = 3,45943 бит.

Решение задач, в условии которых события являются равновероятными

Пояснение: так как задач много, рекомендуется:

- либо ограничить время их решения (7 мин) и задать произвольный темп решения, т.е. часть детей решит задач больше, часть меньше в меру своих возможностей;

- либо выбрать задачи из следующих групп: №1 - №9, №10 - №14, №15 - №18.

Написать на доске формулу для расчета количества информации I = log₂N и формулу для расчета количества возможных вариантов информации N = 2ⁱ.

Вопросы к задачам:

- Почему в задаче события равновероятные?

- Что нужно найти в задаче: количество информации или количество вариантов информации?

- Какую формулу нужно использовать в задаче?

- Чему равно N? Как найти I?

- Чему равно I? Как найти N?

№ 1

«Вы выходите на следующей остановке?» - спросили человека в автобусе. «Нет», - ответил он. Сколько информации содержит ответ?

Решение: человек мог ответить только «Да» или «Нет», т.е. выбрать один ответ из двух возможных. Поэтому N = 2. Значит I = 1 бит.

Ответ: 1 бит.

№2

«Петя! Ты пойдешь сегодня в кино?» - спросил я друга. «Да», - ответил Петя. Сколько информации я получил?

Решение: Петя мог ответить только «Да» или «Нет», т.е. выбрать один ответ из двух возможных. Поэтому N = 2, значит I = 1 бит.

Ответ: 1 бит.

№3

Сколько информации содержит сообщение, уменьшающее неопределенность знаний в 8 раз?

Решение: так как неопределенность знаний уменьшается в 8 раз, следовательно, она было равна 8, т.е. существовало 8 равновероятных событий. Сообщение о том, что произошло одно из них, несет 3 бита информации.

Ответ: 3 бита.

№4

Какой объем информации содержит сообщение, уменьшающее неопределенность в 4 раза?

Решение: так как неопределенность знаний уменьшается в 4 раз, следовательно, она было равна 4, т.е. существовало 4 равновероятных событий. Сообщение о том, что произошло одно из них, несет 2 бита информации (4 = 2²).

Ответ: 2 бита.

№5

Вы подошли к светофору, когда горел желтый свет. После этого загорелся зеленый. Какое количество информации вы при этом получили?

Решение: из двух сигналов (желтого и зеленого) необходимо выбрать один - зеленый. Поэтому N = 2, а I = 1 бит.

Ответ: 1 бит.

№6

Группа школьников пришла в бассейн, в котором 4 дорожки для плавания. Тренер сообщил, что группа будет плавать на дорожке номер 3. Сколько информации получили школьники из этого сообщения?

Решение: из 4 дорожек необходимо выбрать одну, т.е. N = 4. Значит по формуле I = 2, т.к. 4 = 2².

Пояснение: номер дорожки (3) не влияет на количество информации, так как вероятности событий в этих задачах мы приняли считать одинаковыми.

Ответ: 2 бита.

№7

На железнодорожном вокзале 8 путей отправления поездов. Вам сообщили, что ваш поезд прибывает на четвертый путь. Сколько информации вы получили?

Решение: из 8 путей нужно выбрать один. Поэтому N = 8, а I = 3, т.к. 8 = 2\ Пояснение: номер пути (4) не влияет на количество информации, так как вероятности событий в этих задачах мы приняли считать одинаковыми.

Ответ: 3 бита.

№8

В коробке лежат 16 кубиков. Все кубики разного цвета. Сколько информации несет сообщение о том, что из коробки достали красный кубик?

Решение: из 16 равновероятных событий нужно выбрать одно. Поэтому N = 16, следовательно, 1 = 4(16 = 2⁴).

Пояснение: события равновероятны, т.к. всех цветов в коробке присутствует по одному. Ответ: 4 бита.

№9

Была получена телеграмма: «Встречайте, вагон 7». Известно, что в составе поезда 16 вагонов. Какое количество информации было получено?

Решение: так как из 16 вагонов нужно выбрать один, то N = 16, следовательно, 1 = 4(16 = 2⁴).

Ответ: 4 бита.

№ 10

При угадывании целого числа в диапазоне от 1 до N было получено 9 бит информации. Чему равно N? Решение: N = 2⁹ = 512.

Ответ: диапазон чисел имеет значение от 1 до 512.

№ 11

При угадывании целого числа в некотором диапазоне было получено 8 бит информации. Сколько чисел содержит этот диапазон? Решение: N = 2⁸ = 256. Ответ: 256 чисел.

№ 12

Сообщение о том, что ваш друг живет на 10 этаже, несет 4 бита информации. Сколько этажей в доме? Решение: N = 2" = 16 этажей.

Пояснение: события равновероятны, т.к. номера этажей не повторяются. Ответ: 16 этажей.

№ 13

Сообщение о том, что Петя живет во втором подъезде, несет 3 бита информации. Сколько подъездов в доме? Решение: N = 2³ = 8 подъездов.

Пояснение: события равновероятны, т.к. номера подъездов не повторяются.

Ответ: 8 подъездов.

№ 14

В школьной библиотеке 16 стеллажей с книгами. На каждом стеллаже 8 полок. Библиотекарь сообщил Пете, что нужная ему книга находится на пятом стеллаже на третьей сверху полке. Какое количество информации библиотекарь передал Пете?

Решение: существует 16-8 = 128 вариантов местонахождения книги. Из этого количеств вариантов необходимо выбрать один. Следовательно N = 128,а1 = 7,т.к. 128 = 2⁷.

Ответ: 7 бит.

№ 15

Загадано слово из 10 букв. Вы просите открыть пятую букву. Вам ее открыли. Сколько информации вы получили?

Решение: N = 10, следовательно, I = log₂10. Смотрим по таблице и видим, что 1 = 3,32193 бит.

Ответ: 3,3 бит.

№ 16

В коробке лежат 6 разноцветных фломастеров. Какое количество информации содержит сообщение, что из коробки достали синий фломастер?

Решение: N = 6, следовательно, I = log₂6. Смотрим по таблице и видим, что I = 2,58496 бит. Ответ: 2,5 бит.

№ 17

Какое количество информации несет сообщение: «Встреча назначена на май»?

Решение: так как месяцев в году 12, то из этого количества сообщений нужно выбрать одно. Значит N = 16, а I = log₂12. Смотрим по таблице и видим, что I = 3,58496 бит.

Ответ: 3,5 бит.

№ 18

Какое количество информации несет сообщение о том, что встреча назначена на 20 число?

Решение: так как дней в месяце 30 или 31, то из этого количества сообщений нужно выбрать одно. Значит N = 30 или 31, а 1 = log₂30 (или 31). Смотрим по таблице и видим, что I = 4,9 бит.

Ответ: 4,9 бит.

Д/з

1.Какое количество информации будет получено при отгадывании числа из интервала:

• от 1 до 64

• от 1 до 61

• от 1 до 20.

2.Какое количество информации будет получено после первого хода в
игре «крестики-нолики» на поле:

- 3x3

- 4x4.

3.Сколько могло произойти событий, если при реализации одного из
них получилось 6 бит информации.