Численное интегрирование. Формула трапеций.

Численное интегрирование: Формула трапеций.

Цель:

• Научиться применять численные методы (формулу трапеций) интегрирования для вычисления определенных интегралов от функций, заданных аналитическим выражением;

• оценить точность метода;

• составить программу для вычисления определенных интегралов.

Количество аудиторных часов, отводимых на работу: 1

Теория

Необходимо вычислить площадь фигуры ограниченной функцией f(x) и прямыми a, b и осью Ох. Разобьём [а, b] на n равных частей а =x₀, x₁, x₂, …, x_n =b. Рассмотрим [x₀; x₁].

Правило трапеций (n=1): заменяем график функции f(x) прямой, проходящей через две точки (х₀,у₀) и (x₁,у₁), где x₁=x₀+h ,и вычисляем значение элемента интегральной суммы как площадь трапеции

где h - шаг интегрирования, у₀ - значение функции в точке х=х₀ у(х₀)=у_0, у(х₀+h)=у_{1 .}

Геометрически это означает, что площадь криволинейной фигуры подменяется площадью трапеции.

Распространяя эту формулу на все отрезки разбиения, получим общую формулу трапеций для отрезка [a; b]

Оценка погрешности метода интегрирования по формуле трапеций вычисляется:

, где

Упражнение

1. Составить программу вычисления интеграла , в соответствии с вашим вариантом, по формуле трапеций, разделив отрезок [a;b] на 10 равных частей.

Блок схема программы.</</p>

2. Оценить погрешность полученного результата и сравнить его со значением, полученным по формуле Ньютона-Лейбница.

Контрольные вопросы:

1. Чем объясняется название формулы трапеции?

2. В чёт геометрический смысл формулы трапеции?

3. Возможно ли применение формулы для оценки погрешности интегрирования по формуле трапеций в случае, когда подынтегральная функция задана таблицей?