Задачи по теме 'Оптимальное планирование' 11 класс

Пусть совхоз занимается возделыванием только двух культур: зерновых и картофеля и располагает следующими ресурсами:

пашня - 5000 га,

труд - 300 тыс. чел/час.

возможный объем тракторных работ - 28 000 условных га.

Цель производства - получение максимального объема валовой продукции (в стоимостном выражении).

Найдите оптимальное сочетание посевных площадей культур.

Решение.

Этап I. Для составления математической модели воспользуемся нормативами затрат и выхода продукции для данного совхоза.

Затраты на 1 га посева

труда, чел/час

тракторных работ, усл. га

Стоимость валовой продукции с 1 га, р.

Зерновые Картофель

30

150

4

12

400

1000

Критерием оптимальности является максимум стоимости валовой продукции. Этот максимум должен достигаться в условиях использования ограниченных ресурсов пашни, труда и механизированных работ.

Для поиска оптимального решения задачи обозначим через х₁ -га площадь, отводимую под зерновые, а через х₂ га - площадь, отводимую под картофель. Тогда стоимость зерновых составит 400 х₁ р., а стоимость картофеля - 1000 х₂ р. Отсюда стоимость всей валовой продукции составит ( 400 х₁ + 1000 х₂) р. Обозначим это выражение через у и назовем его целевой функцией:

у = 400 х₁ + 1000 х₂

Нам надо найти максимум этой целевой функции при соблюдении следующих условий:

а) общая площадь зерновых и картофеля не должна превышать 5000 га, т. е. х₁ + х₂≤5000;

б) общие затраты труда не должны превосходить 300 тыс. человеко-часов, т. е. 30 х₁ + 150 х₂≤ 300 000;

в) общий объем механизированных работ не должен превосходить 28 000 усл. га, т. е. 4 х₁ + 12 х₂≤28 000;

г) площади, отводимые под зерновые и картофель, могут принимать только неотрицательные значения: х₁≥0 и х₂ ≥0.

Таким образом, условия задачи выражаются следующей системой неравенств

Требуется найти такие значения х₁ и х₂, при которых целевая функция у = 400 х₁ + 1000 х₂ принимает наибольшее значение.

Задача про рекламу

Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четырех средств: телевизора, радио, газет и рекламных плакатов. Маркетинговые исследования показали, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 5, 7 и 4 доллара в расчете на 1 доллар, затраченный на рекламу.

Распределение рекламного бюджета по различным видам рекламы подчинено следующим ограничениям:

a) Полный бюджет составляет 500000 долларов;

b) Следует расходовать не более 40% бюджета на телевидение и не более 20% бюджета на рекламные щиты;

с) Вследствие привлекательности для молодежной части населения различных музыкальных каналов на радио по этой позиции следует расходовать по крайней мере половину того, что планируется на телевидение.

Сформулировать и решить задачу распределения средств по различным источникам для получения максимальной прибыли от рекламы;

План производства

Постановка задачи.
Предприятие имеет запасы 4-х видов ресурсов (мука, жиры, сахар, финансы), с которых производится 2 виды продуктов (хлеб и батон). Известны:

Ресурсы

Хлеб

Батон

запасы

Мука

0,6

0,5

120

Жиры

0,05

0,08

70

Сахар

0,2

0,6

65

финансы

0,2

0,24

50

цена

0,99

1,21

Спрос макс

150

Спрос мин

120

• нормы расходов ресурсов на производство единицы продукции;

• запасы ресурсов;

• цены продуктов;

• спрос на хлеб.

Найти оптимальный план производства, при котором доход от реализации произведенной продукции должен быть максимальный.