классика в гидростатике

Классика в гидростатике

В статье пойдет речь о законе Архимеда и его применении в задачах на плавание тел погруженных в цилиндрический сосуд с вертикальными стенками. Формулировка закона известна с древних времен. На целиком погруженное в жидкость или газ тела действует выталкивающая сила модуль которой равен весу жидкости или газа в объеме погруженной части тела. За такое большое время придумали огромное количество задач, и несколько приемов их решения. остановимся на классическом решении которое применяют большинство учеников использующих условие плавания тел и то что объем жидкости изначально налитой в сосуд не изменяется. Рассмотрим как реализуют этот прием в решении конкретных задач предлагаемых в различные вузы.

Задача 1. В цилиндрический сосуд с водой опустили железную коробочку, из-за чего уровень воды в сосуде поднялся на 2 см. На сколько опустится уровень воды, если коробочку утопить.

Сделаем рисунок, на котором укажем развитие ситуации. Был объем воды SH стал SH₁-V_ж где V_ж объем жидкости вытесненнной плавающим телом найдем его из условия плавания mg = ₀gV_ж

Получим Для первого и третьего рисунка где объем железной коробочки. Перепишем эти выражения

(1)

(2)

Разделив первое на второе получим откуда

и ∆h = ∆h₁ - ∆h₂

Задача 2. В одном из двух одинаковых заполненных водой цилиндрических сообщающихся сосудах плавает шарик (рис). Масса шарика m, площадь сечения дна каждого сосуда S. На сколько изменится уровень воды, если вынуть шарик?

В решении изменим условие. Пусть шарик плавает

в цилиндрическом сосуде, изобразим как развивалось ситуация. Объем жидкости в сосуде не меняется

SH₁ = SH₂ - V_ж

V_ж - объем жидкости вытесненный погруженной частью тела. Из условия плавания

mg = ₀gV_ж

Для нашей задачи очевидно

Задача 3. В прямой цилиндрический сосуд, площадь основания которого 100см², налили 1л соленой воды плотностью 1,15 г/см³ и опустили льдинку из пресной воды массой 1кг. Определите, как изменится уровень воды в сосуде, если половина льдинки растает. Считать, что при растворении соли в воде объем жидкости не изменится.

Найдем плотность воды после таяния льда ₂ если до этого ее плотность была по условию

₁ =1,15 г/см³

₂ =1,1 г/см³

Изобразим развитие действия

Объем воды не меняется Из условия плавания mg = ₁ gV_ж

Для второго случая

Задача 4. В цилиндрическом сосуде площадью сечения 11см² находится кубик льда массой 11г при температуре -10⁰С. Какое минимальное количество теплоты нужно сообщить льду для того, чтобы уровень воды в сосуде не изменялся. При расчете принять, что при плавлении лед сохраняет форму куба.

Уровень вод в сосуде не будет меняться в процессе плавления льда когда он плавает так как в этом случае объем содержимого не меняется и давление на дно остается постоянным. Количество теплоты идет на нагревание и частичное плавление льда Q =cm∆t + ∆m; ∆m масса растаявшего льда ∆m = m -m₁;

m₁ масса плавающего льда. Изобразим процесс на рисунке. В момент плавания льда m₁g = ₀gV_ж =₀gHa² Объем воды равен . Заменим Н в последнем выражении раскрыв скобки получим с другой стороны m₁=a³ Заменим а отсюда Окончательно

Упражнения

1. В цилиндрическом стакане с водой плавает льдинка, притянутая нитью ко дну. Когда льдинка растаяла, уровень воды изменился на ∆h. Каково было натяжение нити? Площадь дна стакана S

(Ответ T =₀gS∆h)

2. Дубовый цилиндр высотой 12см плавает в стакане с водой, как изменится уровень воды в стакане, если поверх воды налить слой керосина толщиной 2 см. Площадь поперечного сечения стакана в четыре раза больше площади цилиндра. Плотность керосина и дуба равна 0,8 г/см³

(Ответ ∆Н = 4мм)

3. В двух цилиндрических сообщающихся сосудах имеющих одинаковые поперечные сечения 11,5см², находится ртуть. В один из сосудов поверх ртути наливают один литр воды, в другой один литр масла. На какое расстояние переместится уровень ртути в сосудах? Каков будет ответ, если в воду опустить плавать тело массой 150г? _m = 800кг/м³

(Ответ: 0,64см, 1,2см)

4. В сосуд с водой цилиндрической формы, отпустили кусок льда, в который был вморожен осколок стекла. В результате уровень воды в сосуде поднялся на 11мм, а лед стал плавать целиком погрузившись в воду. На сколько опустится уровень воды в сосуде за время таяния льда? Плотность стекла 2г/см³

(Ответ ∆h =1мм)

5. В цилиндрический сосуд радиусом 10см налили воду до уровня 15см. В сосуд бросили губку массой 60г которая впитала в себя часть воды, но продолжала плавать на поверхности. Найдите установившийся уровень воды в сосуде

(Ответ 15,3см)