ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Конспект лекций

Министерство образования и науки Донецкой Народной Республики

Государственное профессиональное образовательное учреждение

«Донецкий электрометаллургический техникум»

ЦК «Металлургических дисциплин»

ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Конспект лекций

2015

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. ………... …………… .. 4

ГЛАВА 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ………... ……………. . 5

1.1. Исходные положения. Основные понятия и определения . . ………… .. …………….5

1.2. Основной закон электростатики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ……….. . ……………..6

1.3. Электростатическое поле. Напряженность поля . . . . . . . . . ………………………... . 7

1.4. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Потенциал поля . .10

1.5. Связь между силовой и энергетической характеристиками электростатического

поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………… . ……………………………………….. . 12

1.6. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме . . ………… ……………...13

1.7. Диэлектрики в электростатическом поле.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике ………………………..14

1.8. Проводники в электростатическом поле. Конденсаторы . . . ……………………….. 19

1.9. Энергия электростатического поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………………. ..23

Краткие выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………......................... 24

Вопросы для самоконтроля и повторения . . . . . . . . . . . . . . . . . ……….... . ……………...26

Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………....................... ..27

Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……….........................29

ГЛАВА 2. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК . . . . . . . . . ………......................... 30

2.1. Электрический ток и его характеристики . . . . . . . . . . . . . . . ………......................... . .30

2.2. Закон Ома в дифференциальной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………………. ..32

2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников.

Электроизмерительные приборы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …….…........................... 34

2.4. Работа и мощность тока. Закон Джоуля - Ленца . . . . . . . . ….. ……. . ……………... 37

2.5. Закон Ома в интегральной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……. …………………. 38

2.6. Расчет разветвленных цепей постоянного тока . . . . . . . . . . .. ……… ……………….39

Краткие выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …….. …………………. . 40

Вопросы для самоконтроля и повторения . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. ………………………..42

Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …….. . ………………….42

Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………………… 44

ГЛАВА 3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …….. …………………. 47

3.1. Магнитное поле и его характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ….……………………. 47

3.2. Закон Био - Савара - Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………………….. 49

3.3. Магнитное поле движущегося заряда. Сила Лоренца . . . . . ……. .. ………………... 51

3.4. Проводник с током в магнитном поле. Закон Ампера . . . . . ………………………… 52

3.5. Циркуляция вектора индукции магнитного поля в вакууме ……………………….. 53

3.6. Теорема Гаусса для магнитного поля в вакууме . . . . . . . . . . ………………………...54

3.7. Магнитные свойства вещества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………………... .55

Краткие выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………………... 58

Вопросы для самоконтроля и повторения . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………………….59

Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …….. ………………….59

Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………. ………………….61

ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ . . . . . . . . . . . . . ………………………...62

4.1. Закон электромагнитной индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………………… .62

4.2. Явление самоиндукции. Индуктивность контура . . . . . . . . . . ……………………….64

4.3. Взаимная индукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……… . ……………… .65

4.4. Энергия магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……. …………………66

4.5. Практическое применение электромагнитной индукции . . . . ……………………… 67

Краткие выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………………… 69

Вопросы для самоконтроля и повторения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……. …………………69

Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………………...70

Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………………….. 71

ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ . . …………….. . 72

5.1. Вихревое электрическое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………………… 72

5.2. Ток смещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………………. 73

5.3. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля . . . . . . . . ……………………… 75

Краткие выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………………… 76

Вопросы для самоконтроля и повторения . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………………….. 77

Приложение 1. Некоторые знаменательные события в истории

развития электродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………………….. 78

Приложение 2. Элементы векторной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………………. 79

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………………. 80

Предисловие

Учение об электричестве и магнетизме (электродинамика) является одним из важнейших разделов курса общей физики. Оно рассматривает взаимодействия между материальными телами, осуществляемые посредством электромагнитного поля.

Рождению электродинамики как науки предшествовали многочисленные открытия и эксперименты. В 1785 г. французский физик Ш. Кулон экспериментально установил закон взаимодействия неподвижных точечных зарядов. В 1820 г. датский физик Х. Эрстед показал, что вокруг любого проводника с током создается магнитное поле. Вслед за ним А. Ампер, Ж. Био и Ф. Савар определили силу воздействия магнитного поля на проводник с током. В 1831 г. М. Фарадей открыл явление электромагнитной индукции - основной закон электротехники. Фундаментом электродинамики стала теория английского ученого Д. Максвелла (1865), показавшего, что в природе существует единое электромагнитное поле, взаимосвязанными сторонами которого являются электрическое и магнитное поля.

Данный конспект лекций предназначен в первую очередь для студентов дневного отделения, но будет полезен и студентам заочной формы обучения.

Изложение материала ведется без громоздких математических выкладок, основное внимание уделяется физической сущности явлений и описывающих их законов. В конце каждой главы пособия даются краткие выводы по теме, вопросы для самоконтроля и повторения, примеры решения задач, а также задачи для самостоятельной подготовки студентов.

Предлагаемый краткий курс охватывает как по объему, так и глубине весь материал, предусмотренный программой дисциплины. Однако для приобретения более полных и глубоких знаний, а также практических навыков решения задач по физике студенту необходимо пользоваться дополнительными источниками. Список некоторых рекомендуемых учебников и пособий приведен в конце конспекта.

ГЛАВА 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

План

1. Исходные положения. Основные понятия и определения

2. Основной закон электростатики

3. Электростатическое поле. Напряженность поля

4. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Потенциал поля

5. Связь между силовой и энергетической характеристиками электростатического поля

6. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

7. Диэлектрики в электростатическом поле. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

8. Проводники в электростатическом поле. Конденсаторы

9. Энергия электростатического поля

1.1. Исходные положения. Основные понятия и определения

Взаимодействие между электрически заряженными частицами или телами осуществляется посредством электромагнитного поля, которое представляет собой совокупность двух взаимосвязанных силовых полей - электрического и магнитного. Раздел физической науки, в котором изучаются законы электромагнитного поля, называется электродинамикой.

Характерной особенностью электрического поля является то, что оно действует как на неподвижные, так и на движущиеся заряженные тела. Характерная особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся заряженные частицы (сила Лоренца, сила Ампера).

Электрическое поле неподвижных заряженных тел, осуществляющее взаимодействие между ними, называется электростатическим полем. Соответственно теория такого поля рассматривается в разделе электродинамики, называемом электростатикой. Силы, действующие на заряженные частицы со стороны электростатического поля, называются электростатическими силами.

Для того чтобы количественно охарактеризовать способность тел вступать в электрическое взаимодействие, в электродинамике введено понятие электрического заряда. Электрический заряд - это физическая величина, характеризующая свойство тел или частиц вступать в электрическое взаимодействие. Это понятие в электродинамике является основным, первичным (подобно точке в геометрии, алгоритму в информатике).

В природе существуют два рода электрических зарядов - положительные и отрицательные. Разноименно заряженные тела притягиваются, а одноименно заряженные отталкиваются друг от друга.

Опытным путем установлено, что электрический заряд обладает свойством дискретности, т.е. заряд любого тела состоит из целого числа элементарных зарядов, приближенно равных (). Носителями элементарного отрицательного и положительного зарядов являются соответственно электрон (масса покоя ) и протон (масса покоя ). Электроны и протоны входят в состав всех атомов и молекул. Элементарный заряд впервые был измерен Р.Э. Милликеном в 1909 г.

Система тел или частиц называется электрически изолированной или замкнутой, если между нею и внешними телами отсутствует обмен электрическими зарядами. В результате обобщения опытных данных был установлен фундаментальный закон природы - закон сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов любой электрически замкнутой системы остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы, т.е. , (1.1)

где n - количество зарядов в системе. Другими словами, в замкнутой системе могут образовываться или исчезать электрически заряженные частицы; однако при этом одновременно рождаются или исчезают частицы, заряды которых противоположны по знаку и в сумме равны нулю. Например, при ионизации нейтрального атома образуется пара частиц - свободный электрон и положительный ион, однако алгебраическая сумма зарядов остается неизменной.

Существующие в природе вещества можно разделить на две большие группы, отличающиеся друг от друга по своим электрическим качествам. Одни из них называются проводниками, а другие диэлектриками или изоляторами.

В атомах проводников (например, металлов) некоторые электроны слабо связаны с ядрами и поэтому могут легко покидать атомы. Такие электроны называются свободными. Свободные электроны постоянно перемещаются и находятся в беспорядочном движении внутри проводника. В процессе этого движения электроны сталкиваются с атомами, в результате чего ими выбиваются новые свободные электроны; места вылетевших электронов занимают электроны, вызвавшие это явление и т.д. Таким образом, проводниками называются вещества, по которым могут перемещаться свободные электрические заряды (электроны, положительные и отрицательные ионы). Хорошими проводниками электричества являются металлы, уголь, водные растворы солей и кислот.

Диэлектрики - вещества, в которых практически отсутствуют свободные электрические заряды. К ним относятся стекло, фарфор, резина, различные масла, некоторые виды пластмасс.

Кроме этих двух крайних по электрическим свойствам групп веществ имеются такие, которые занимают промежуточное положение - полупроводники. К ним относятся германий, кремний, селен, закись меди и др.

Во многих задачах электродинамики пользуются моделью точечного электрического заряда. Точечный электрический заряд - это заряженное тело, размерами и формой которого можно пренебречь в рассматриваемой задаче. Например, изучая электростатическое взаимодействие двух заряженных тел, их можно считать точечными зарядами, если размеры этих тел рамного меньше расстояния между ними.

Единица электрического заряда в СИ - кулон (Кл): 1 Кл - это электрический заряд, проходящий за 1 с через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А.

1.2. Основной закон электростатики

Закон взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов экспериментально установлен в 1785 г. французским физиком Ш. Кулоном с помощью крутильных весов. Поэтому силы электростатического взаимодействия часто называют кулоновскими силами. Этот закон формулируется следующим образом: сила взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна произведению модулей этих зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль соединяющей их прямой.

Закон Кулона в векторной форме записывается в виде

или (1.2)

где сила, действующая на заряд со стороны заряда ; радиус-вектор, соединяющий заряд с зарядом ; ; коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц физических величин. На заряд со стороны заряда действует сила , т.е. взаимодействие электрических точечных зарядов подчиняется третьему закону Ньютона (рис. 1.1).

В скалярной форме закон Кулона имеет следующий вид:

Коэффициент пропорциональности k в СИ равен

где , или электрическая постоянная. Тогда Закон Кулона в СИ обычно записывают в виде

(1.3)

Если взять два точечных электрических заряда по 1 Кл и расположить их на расстоянии 1 м в вакууме, то, пользуясь (1.3), получим:

Отсюда можно дать следующее определение единице электрического заряда кулону: 1 Кл - это такой точечный электрический заряд, который действует в вакууме на равный ему точечный заряд, расположенный на расстоянии 1 м, с силой Н. Следовательно, 1 Кл - это очень большой по величине заряд; в опытах имеют дело с телами, заряды которых составляют милликулон (мКл), микрокулон (мкКл), нанокулон (нКл).

Если неподвижные точечные электрические заряды взаимодействуют в какой-либо среде (масле, керосине и т.п.), то сила взаимодействия между ними определяется выражением

(1.4)

где диэлектрическая проницаемость среды (); сила взаимодействия между теми же зарядами в вакууме. Следовательно, это безразмерная физическая величина, показывающая, во сколько раз кулоновское взаимодействие между двумя точечными электрическими зарядами в данной среде меньше, чем в вакууме.

1.3. Электростатическое поле. Напряженность поля

Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести другой заряд, то между ними возникнет кулоновское взаимодействие. Следовательно, в пространстве, окружающем электрические заряды, существует силовое поле, в данном случае электрическое поле, являющееся средой взаимодействия между зарядами. Так как рассматриваются неподвижные заряды, то поле, создаваемое ими, называется электростатическим.

Для обнаружения и исследования электростатического поля используется пробный заряд - такой точечный положительный заряд, который не искажает исследуемое поле, т.е. не вызывает в нем перераспределения зарядов (собственным полем пробного заряда пренебрегают). Если в поле, создаваемое зарядом , в разных точках помещать пробный заряд , то на него будет действовать сила , различная в этих точках поля и согласно (1.3) пропорциональная величине пробного заряда (рис. 1.2). Однако отношение не зависит от и характеризует электрическое поле в точке, куда помещен пробный заряд. Эта величина называется напряженностью и является силовой характеристикой электростатического поля.

Таким образом, напряженность электростатического поля в данной точке есть векторная физическая величина, определяемая силой, действующей со стороны поля на неподвижный единичный пробный заряд, помещенный в эту точку поля:

(1.5)

Как следует из формул (1.5) и (1.2), напряженность поля точечного электрического заряда в вакууме

.

или в скалярной форме

(1.6)

Направление вектора совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом (рис. 1.3), то вектор направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор направлен к заряду.

Из формулы (1.5) следует, что единица напряженности электростатического поля - ньютон на кулон (Н/Кл): 1 Н/Кл - напряженность такого поля, которое на точечный заряд в 1 Кл действует с силой 1 Н.

Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности - линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора (рис. 1.4). Силовым линиям поля приписывается направление, совпадающее с направлением вектора напряженности. Так как в каждой данной точке пространства вектор имеет лишь одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются. Густотой силовых линий характеризуют напряженность поля: в местах, где напряженность поля меньше, линии проходят реже. Примеры простейших электростатических полей приведены на рис. 1.5, а - в.

Электрическое поле называется однородным, если во всех его точках напряженность поля одинакова по модулю и направлению (). Примером такого поля может быть электростатическое поле плоского конденсатора вдали от краев его обкладок.

Рассмотрим метод определения значения и направления вектора напряженности в каждой точке электростатического поля, создаваемого системой неподвижных точечных зарядов находящейся в вакууме.

Опытным путем доказано, что к кулоновским силам применим принцип независимости действия сил, рассмотренный в механике, т.е. результирующая сила , действующая со стороны поля на пробный заряд , равна векторной сумме сил , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов системы: (1.7)

Согласно (1.5) и , где напряженность результирующего поля, напряженность поля, создаваемого зарядом . Подставляя последние выражения в (1.7), получим: или (1.8)

Формула (1.8) выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность результирующего поля, создаваемого в данной точке пространства системой зарядов или заряженных тел, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым из зарядов системы в отдельности.

Применим принцип суперпозиции для расчета электростатического поля электрического диполя. Электрический диполь - это система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов, расстояние между которыми значительно меньше расстояний до рассматриваемых точек поля.

Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя (рис. 1.6). Вектор

(1.9)

совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению величины заряда на плечо, называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом.

Согласно принципу суперпозиции (1.8) напряженность поля диполя в произвольной точке где напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами диполя. В качестве примера рассчитаем напряженность поля на продолжении оси диполя (в точке А на рис. 1.7). Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через r, на основании формулы (1.6) для вакуума можно записать:

В данном случае вектор напряженности результирующего поля в точке А направлен по оси диполя и по модулю равен

Согласно определению диполя , поэтому

1.4. Циркуляция вектора напряженности электростатического

поля. Потенциал поля

Если в электростатическом поле точечного заряда из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд (рис. 1.8), то кулоновская сила , приложенная к заряду, совершает работу. Работа, совершаемая силой на элементарном перемещении равна:

Так как то

Работа при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 определяется выражением:

(1.10)

т.е. не зависит от траектории перемещения заряда, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а кулоновские силы - консервативными силами.

Из формулы (1.10) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е. (1.11)

Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на перемещении будет равна где проекция вектора на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (1.11) можно записать в виде

(1.12)

Этот интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойством (1.12), является потенциальным. Из обращения в нуль циркуляции вектора следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются и оканчиваются на зарядах (положительных и отрицательных) или же уходят в бесконечность.

Формула (1.12) справедлива только для электростатического поля; для электрического поля движущихся зарядов циркуляция вектора напряженности отлична от нуля.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, в частности, в электростатическом поле, обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа. Поэтому работу кулоновских сил (формула (1.10)) можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд в начальной и конечной точках поля заряда :

(1.13)

Таким образом, потенциальная энергия заряда в поле заряда равна

где С - постоянная интегрирования, которая определяется из граничных условий. При потенциальная энергия и . Следовательно, потенциальная энергия заряда , находящегося в поле заряда на расстоянии r от него, равна: (1.14)

Если поле создается системой из n точечных зарядов то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом , равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия заряда , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий в полях, создаваемых каждым из зарядов в отдельности: (1.15)

Из формул (1.14) и (1.15) можно выделить отношение , которое называется потенциалом и является энергетической характеристикой электростатического поля:

(1.16)

Таким образом, потенциал в какой-либо точке электростатического поля есть физическая скалярная величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Из формулы (1.16) с учетом (1.14) следует, что потенциал точки поля точечного заряда (1.17)

где r - расстояние от заряда до заданной точки.

Работа, совершаемая силами электростатического поля по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 (выражение (1.13)) может быть представлена как

(1.18)

т.е. работа кулоновских сил численно равна произведению величины перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках поля. Из формулы (1.18) следует, что разность потенциалов двух точек электростатического поля - это физическая скалярная величина, определяемая работой, совершаемой кулоновскими силами при перемещении единичного положительного заряда из одной точки в другую.

Если перемещать заряд из произвольной точки за пределы поля, т.е. в бесконечность, где по условию потенциал равен нулю, то согласно (1.18) работа сил электростатического поля откуда (1.19)

Таким образом, потенциал - это физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.

Единица потенциала - вольт (В): 1 В - это потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией в 1 Дж (см. формулу (1.16)):

Из формул (1.15) и (1.16) вытекает, что если электростатическое поле создается несколькими зарядами, то потенциал точки поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

1.5. Связь между силовой и энергетической характеристиками

электростатического поля

Напряженность и потенциал - различные характеристики одной и той же точки поля. Следовательно, между ними должна существовать однозначная связь.

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х на элементарное расстояние равна . С другой стороны, эту работу можно выразить через разность потенциалов на концах отрезка , т.е. . Приравнивая оба выражения для работы, получим , откуда где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по оси х. Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z, можем найти вектор (1.20)

где единичные векторы координатных осей x, y и z (орты).

В математике вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции П, называется градиентом (обозначается ). Таким образом, формулу (1.20) можно представить в виде (1.21)

т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала со знаком «минус». Это означает, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону убывания потенциала.

В случае однородного поля (например, поля плоского конденсатора) модуль напряженности определяется по формуле (1.22)

где d - расстояние, разность потенциалов между обкладками конденсатора. Из формулы (1.22) следует, что напряженность электрического поля можно выражать в вольтах на метр (В/м).

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение. Если поле создается точечным зарядом (рис. 1.9), то его потенциал равен Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы, охватывающие заряд. С другой стороны, линии напряженности поля точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Можно доказать, что силовые линии поля всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности Это означает, что электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормали к эквипотенциальным поверхностям, следовательно, вектор всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям и поэтому линии напряженности ортогональны этим поверхностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Обычно их проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках: там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше.

1.6. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Вычисление напряженности поля большой системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно существенно упростить, используя теорему Гаусса. Эта теорема определяет поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора напряженности через эту поверхность определяется выражением (1.23)

где проекция вектора на нормаль к площадке dS (рис. 1.10); вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали к площадке ().

Рассмотрим сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд q, находящийся в ее центре (рис. 1.11). В соответствии с формулой (1.23) поток вектора напряженности сквозь эту поверхность будет равен:

(1.24)

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы: если окружить рассматриваемую сферу произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Рассмотрим теперь общий случай произвольной замкнутой поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции напряженность поля, создаваемого всеми зарядами, равна векторной сумме напряженностей полей, обусловленных каждым зарядом в отдельности; поэтому поток вектора напряженности результирующего поля будет равен:

Согласно (1.24) каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен . Следовательно, (1.25)

т.е. поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную.

Применим теорему Гаусса для определения напряженности поля равномерно заряженной бесконечной плоскости. В этом случае ее поверхностная плотность заряда

одинакова в любом месте плоскости. Это означает, что линии напряженности перпендикулярны плоскости в любой точке, т.е. поле заряженной плоскости однородно (рис. 1.12).

Мысленно выделим в пространстве цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости и одно из оснований проходит через интересующую нас точку. Согласно теореме Гаусса,

С другой стороны, так как линии напряженности пересекают только основания цилиндра, поток вектора можно выразить через напряженность электрического поля у обоих оснований цилиндра, т.е.

Тогда откуда (1.26)

Приведем (без вывода) выражения для расчета напряженности электростатического поля, образованного некоторыми другими заряженными телами:

1. Напряженность поля, создаваемого разноименно заряженными параллельными бесконечно протяженными плоскостями (поле плоского конденсатора) (1.27)

2. Напряженность поля, образованного заряженным шаром (1.28)

где заряд шара радиуса ; расстояние от центра шара до точки поля ().

3.Напряженность поля равномерно заряженной бесконечно длинной нити (цилиндра) (1.29)

где линейная плотность заряда на нити (заряд, приходящийся на единицу длины); расстояние от нити до точки поля.

1.7. Диэлектрики в электростатическом поле.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

Диэлектриками называют вещества, которые при обычных условиях практически не проводят электрический ток. Согласно представлениям классической физики в диэлектриках в отличие от проводников нет свободных зарядов - заряженных частиц, которые могли бы

прийти под действием электрического поля в упорядоченное движение и образовать электрический ток. К диэлектрикам относятся все газы, если они не подвергаются ионизации, некоторые жидкости (бензол, растительные и синтетические масла) и твердые вещества (фарфор, стекло, парафин, кварц и др.). Удельное электрическое сопротивление диэлектриков ρ~ Ом·м, тогда как у металлических проводников ρ~ Ом·м.

Все молекулы диэлектрика электрически нейтральны, т.е. суммарный заряд электронов и атомных ядер, входящих в состав молекулы, равен нулю. Тем не менее, молекулы обладают электрическими свойствами. Приближенно молекулу можно рассматривать как электрический диполь с электрическим моментом где суммарный положительный заряд всех атомных ядер в молекуле; вектор, проведенный из «центра тяжести» электронов в молекуле в «центр тяжести» положительных зарядов атомных ядер.

Чтобы понять, как незаряженный диэлектрик создает электрическое поле, рассмотрим электрические свойства нейтральных атомов и молекул.

Атомы и молекулы состоят из положительно заряженных ядер и отрицательно заряженных электронов. Если рассмотреть простейший атом - атом водорода, то у него положительный заряд сосредоточен в ядре, вокруг которого с большой скоростью вращается электрон (рис. 1.13, а). Один оборот вокруг ядра он делает за время порядка 10^-15 с. Поэтому, например, за время 10^-9 с электрон успевает совершить миллион оборотов (), т.е. миллион раз побывать в двух любых точках 1 и 2, расположенных симметрично относительно ядра. Следовательно, можно считать, что в среднем по времени центр распределения отрицательного заряда приходится на середину атома, т.е. совпадает с центром распределения положительного ядра.

Диэлектрик называется неполярным, если в отсутствие внешнего электрического поля центры распределения положительных и отрицательных зарядов в молекулах совпадают () и дипольные моменты равны нулю.

Если поместить неполярный диэлектрик (бензол, парафин, полиэтилен, N₂, H₂, O₂ и др.) во внешнее электрическое поле напряженностью , то происходит деформация электронных оболочек атомов и молекул (рис. 1.13, б): положительные и отрицательные заряды молекул смещаются в противоположные стороны и центры распределения этих зарядов перестают совпадать (). Такие деформированные молекулы можно рассматривать как электрические диполи, оси которых направлены вдоль поля.

Таким образом, неполярная молекула диэлектрика приобретает во внешнем электрическом поле индуцированный (наведенный) дипольный момент , пропорциональный напряженности внешнего поля

где поляризуемость молекулы, зависящая только от ее объема. Неполярная молекула подобна упругому диполю, длина плеча которого пропорциональна растягивающей силе, т.е. пропорциональна напряженности внешнего электрического поля.

Рассмотрим теперь молекулу поваренной соли NaCl. Атом Na имеет во внешнем

электронном слое один валентный электрон, у атома Cl семь валентных электронов. При образовании молекулы единственный валентный электрон Na захватывается атомом Cl и оба нейтральных атома превращаются в систему из двух ионов с противоположными знаками. Положительный и отрицательный заряды не распределены теперь симметрично по объему молекулы (рис. 1.14, а).

Диэлектрик называется полярным, если он состоит из молекул, у которых центры распределения положительных и отрицательных зарядов не совпадают даже в отсутствие внешнего электрического поля (). К полярным диэлектрикам относятся фенол, нитробензол и др.

Во внешнем электрическом поле напряженностью полярная молекула диэлектрика также деформируется, однако эта деформация незначительна и можно считать, что полярная молекула по своим свойствам подобна жесткому диполю, у которого имеется постоянный по модулю электрический момент ().

В однородном внешнем поле (рис. 1.14, б) на жесткий диполь действует пара сил и , момент которой по модулю равен

Вектор момента пары сил Этот момент стремится развернуть диполь так, чтобы его электрический момент совпал по направлению с вектором напряженности поля . Такая ориентация диполя соответствует состоянию его устойчивого равновесия в однородном электростатическом поле.

Помимо рассмотренных двух групп различают кристаллические диэлектрики, имеющие ионную структуру, или слабополярные диэлектрики. К ним относятся KCl, CsCl и др.

Смещение положительных и отрицательных зарядов диэлектрика во внешнем электрическом поле называется поляризацией. Другими словами, при внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле в любом макроскопически малом объеме вещества возникает отличный от нуля суммарный дипольный электрический момент молекул. Диэлектрик, находящийся в таком состоянии, называется поляризованным.

В зависимости от строения молекул диэлектрика различают три вида поляризации.

1. Электронная (деформационная) поляризация. Она наблюдается у неполярных диэлектриков. Под действием внешнего поля у молекул диэлектриков этого типа возникают индуцированные дипольные моменты направленные вдоль поля, т.е. по направлению вектора (рис. 1.13, б). Время установления этой поляризации порядка 10^-15 с.

2. Дипольная (ориентационная) поляризация. Она наблюдается у полярных диэлектриков. Внешнее электрическое поле стремится ориентировать дипольные моменты полярных молекул - жестких диполей - по направлению вектора напряженности поля. Этому препятствует хаотическое тепловое движение молекул, вызывающее беспорядочный разброс диполей. В итоге совместного действия поля и теплового движения возникает преимущественная ориентация дипольных электрических моментов вдоль поля, возрастающая с увеличением напряженности и с уменьшением температуры. Эта поляризация устанавливается за время порядка 10^-10 с.

3. Ионная поляризация. Она происходит в твердых диэлектриках, имеющих ионную кристаллическую решетку. Внешнее электрическое поле вызывает в таких диэлектриках смещение всех положительных ионов в направлении вектора напряженности поля, а всех отрицательных ионов - в противоположную сторону. Это происходит за время порядка 10^-13 с.

Количественной мерой поляризации диэлектрика служит вектор , называемый поляризованностью или вектором поляризации, равный отношению дипольного момента малого объема диэлектрика к этому объему: (1.30)

где электрический дипольный момент i-молекулы; n - общее количество молекул в объеме . Этот объем должен быть столь малым, чтобы в его пределах электрическое поле можно было считать однородным.

В пределах малого объема все молекулы неполярного диэлектрика приобретают в электрическом поле одинаковые индуцированные электрические моменты . Поэтому поляризованность неполярного диэлектрика в электрическом поле напряженностью равна (1.31)

где n₀ - концентрация молекул (); безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью неполярного диэлектрика (). Поляризованность полярного диэлектрика

где среднее значение вектора дипольного момента для всех n молекул, содержащихся в малом объеме диэлектрика. Векторы молекул - жестких диполей - одинаковы по модулю и отличаются только ориентациями в поле. В очень сильном электрическом поле и при достаточно малой температуре электрические моменты всех молекул располагаются практически параллельно вектору . При этом поляризованность полярного диэлектрика достигает максимального значения: В результате поляризации на гранях диэлектрика появляются заряды, не компенсированные соседними диполями. Это приводит к тому, что на одной его поверхности возникают положительные заряды, а на другой - отрицательные. Эти электрические заряды называют связанными.

Внесем в однородное внешнее электростатическое поле , создаваемое двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями, пластинку из однородного диэлектрика (рис. 1.15). Под влиянием поля диэлектрик поляризуется, т.е. происходит смещение зарядов - положительные смещаются вдоль поля, отрицательные - против поля. В результате на правой грани диэлектрика будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью , на левой грани - избыток отрицательного заряда с поверхностной плотностью . Так как поверхностная плотность связанных зарядов меньше плотности свободных зарядов плоскостей, то не все поле компенсируется поем зарядов диэлектрика: часть линий напряженности пройдет сквозь диэлектрик, другая же часть обрывается на связанных зарядах. Таким образом, поляризация диэлектрика вызывает ослабление в нем поля по сравнению с первоначальным внешним полем. Вне диэлектрика поле

Следовательно, появление связанных зарядов приводит к возникновению дополнительного поля напряженностью (поля, создаваемого связанными зарядами), которое направлено против внешнего поля (поля, создаваемого свободными зарядами) и ослабляет его. Модуль напряженности результирующего поля внутри диэлектрика

Напряженность поля, создаваемого двумя протяженными заряженными плоскостями, определяется по формуле (1.27), поэтому (1.32)

Определим поверхностную плотность связанных зарядов . С одной стороны, согласно (1.30) полный дипольный момент пластинки диэлектрика где площадь пластинки, ее толщина. С другой стороны, полный дипольный момент равен произведению связанного заряда каждой грани на расстояние между ними, т.е. Таким образом, или (1.33)

т.е. поверхностная плотность связанных зарядов равна поляризованности.

Подставив в (1.32) выражение (1.33) и учитывая формулу (1.31), получим:

откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

(1.34)

где безразмерная величина (1.35)

называется диэлектрической проницаемостью среды. Из (1.34) следует, что показывает, во сколько раз электрическое поле ослабляется диэлектриком, количественно характеризуя свойство диэлектрика поляризоваться во внешнем поле. Диэлектрическая проницаемость некоторых веществ приведена в табл. 1.1.

Таблица 1.1Как следует из формулы (1.34) напряженность электростатического поля зависит от свойств среды: в однородной изотропной среде напряженность поля обратно пропорциональна . Вектор напряженности , переходя через границу диэлектриков, изменяется скачком, создавая затруднения при расчете электростатических полей. Поэтому помимо вектора напряженности поле характеризуется еще вектором электрического смещения (электрической индукции) , который связан с вектором напряженности в электрически изотропной среде соотношением: (1.36)

Так как в (1.36) то , т.е. электрическое смещение внутри диэлектрика совпадает с электрическим смещением внешнего поля .

Что характеризует вектор электрического смещения? Электрическое поле в диэлектрике создается как свободными, так и связанными зарядами. Вектор напряженности характеризует результирующее поле. Однако первичным источником электрического поля в диэлектрике являются свободные заряды, так как поле связанных зарядов возникает в результате поляризации диэлектрика при помещении его в поле системы свободных зарядов. В свою очередь, поле связанных электрических зарядов может вызвать перераспределение свободных зарядов и соответственно изменить их поле. Поэтому вектор характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами, но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Поле графически изображается линиями электрического смещения - линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором электрического смещения. Линии вектора могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах - свободных и связанных, в то время как линии вектора - только на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии электрического смещения проходят не прерываясь.

Как следует из рис. 1.16, линии напряженности претерпевают разрыв на границе диэлектрик - вакуум (а), а линии электрического смещения остаются непрерывными (б). Непрерывность линий электрического смещения облегчает вычисление при заданном распределении зарядов.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике формулируется следующим образом: поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов, т.е.

(1.37)

1.8. Проводники в электростатическом поле. Конденсаторы

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле, то это поле будет действовать на свободные заряды проводника, в результате чего они начнут перемещаться - положительные вдоль поля, отрицательные - против поля (рис. 1.17, а). На одном конце проводника будет накапливаться избыток положительного заряда, на другом конце - избыток отрицательного заряда. Процесс происходит до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника обращается в нуль (рис. 1.17, б).

Отсутствие поля внутри проводника () означает, что потенциал во всех точках внутри проводника постоянен, т.е. поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной. Отсюда же вытекает, что вектор поля направлен по нормали к каждой точке поверхности проводника.

Таким образом, нейтральный проводник, внесенный в электростатическое поле, разрывает часть линий напряженности: они заканчиваются на отрицательных наведенных зарядах и вновь начинаются на положительных зарядах. Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией.

Рассмотрим уединенный проводник, т.е. проводник, который удален от других проводников, тел и зарядов. Его потенциал согласно формуле (1.17) прямо пропорционален заряду проводника. Опыт показывает, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать

(1.38)

где коэффициент пропорциональности (1.39)

называют электрической емкостью (емкостью) проводника. Емкость уединенного проводника есть физическая скалярная величина, характеризующая способность проводника накапливать электрические заряды.

Так как заряды распределяются на внешней поверхности проводника, емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния и наличия полостей внутри проводника.

Единицей емкости в СИ является фарад (Ф): 1 Ф - это емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.

Согласно (1.17) потенциал уединенного шара радиуса R, находящегося в однородной среде с диэлектрической проницаемостью , равен

Используя формулу (1.39), можно найти емкость шара:

Отсюда следует, что емкостью в 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус

что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электрическая емкость Земли примерно 0,7 миллифарад). Следовательно, фарад - очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы фарада: 1 мкФ = 10^-6 Ф, 1 нФ = 10^-9 Ф, 1 пФ = 10^-12 Ф.

Как следует из рассмотренного примера, для того, чтобы проводник обладал значительной электроемкостью, он должен иметь очень большие геометрические размеры. На практике, однако, необходимы устройства, обладающие способностью накапливать значительные по величине заряды при малых размерах и небольших потенциалах. Такие устройства называются конденсаторами.

Допустим, что уединенный проводник А имеет форму шара. Так как он уединенный, его заряд равномерно распределен по поверхности и напряженность поля в точке М равна (рис. 1.18, а). Поместим теперь справа от А незаряженный проводник В. Под действием поля шара в В произойдет перераспределение свободных носителей заряда: на ближнем к А конце проводника В индуцируется поверхностный заряд противоположного знака, а на дальнем конце - одноименного с знака (рис. 1.18, б). В свою очередь перераспределяется по поверхности шара А и заряд так, чтобы скомпенсировать внутри него поле зарядов, индуцированных на теле В. В результате перераспределения зарядов в проводниках А и В напряженность поля в точке М уменьшится:. Это соотношение справедливо для всех точек, лежащих на прямой ОМ слева от А. Поскольку и потенциал проводника понижается, что приводит к увеличению его емкости ().

Таким образом, конденсатор работает по принципу: электроемкость неуединенного проводника всегда больше электроемкости того же проводника, когда он уединен.

Конденсатор представляет собой систему двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияние окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют: а) две плоские пластины; б) два соосных цилиндра; в) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от геометрии обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности поля начинаются на одной обкладке и кончаются на другой. Поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноименными зарядами.

Емкостью конденсатора называется физическая величина, равная отношению заряда , накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов между его обкладками: (1.40)

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды и . Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то поле между обкладками можно считать однородным и его напряженность согласно (1.27) равна

Учитывая связь между напряженностью поля и потенциалом (), разность потенциалов между пластинами, расстояние между которыми d, равна

(1.41)

Заменяя в формуле (1.40) , с учетом (1.41) получим:

(1.42)

Приведем без вывода формулы для расчета емкости конденсаторов других конструкций:

- емкость цилиндрического конденсатора

где R и r - радиусы коаксиальных цилиндров, L - длина образующей цилиндров;

- емкость сферического конденсатора

где R и r - радиусы сфер.

Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением - такой разностью потенциалов между обкладками, при которой происходит пробой - электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Величина пробивного напряжения зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.

Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений конденсаторы соединяют в батареи. Различают два вида соединений - параллельное и последовательное.

При параллельном соединении (рис. 1.19, а) разность потенциалов между обкладками всех конденсаторов одинакова и составляет . Если емкости отдельных конденсаторов то их заряды равны

Общий заряд батареи равен сумме зарядов всех конденсаторов

Полная емкость батареи (1.43)

т.е. при параллельном соединении конденсаторов электрическая емкость батареи равна сумме емкостей входящих в нее конденсаторов. Пробивное напряжение такой батареи равно пробивному напряжению того из конденсаторов, у которого оно наименьшее.

При последовательном соединении (рис. 1.19, б) заряды всех конденсаторов одинаковы и равны заряду батареи. Разность потенциалов на зажимах батареи равна сумме разностей потенциалов на обкладках каждого из конденсаторов где

С другой стороны, откуда

или (1.44)

т.е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные емкостям входящих в батарею конденсаторов. При таком соединении электрическая емкость батареи всегда меньше наименьшей емкости конденсатора, используемого в батарее. Преимущество последовательного соединения конденсаторов состоит в том, что на каждый конденсатор приходится лишь часть разности потенциалов между клеммами батареи, что уменьшает вероятность пробоя конденсаторов.

1.9. Энергия электростатического поля

Электростатические силы взаимодействия консервативны, следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией.

Пусть имеется уединенный проводник, заряд емкость и потенциал которого соответственно равны , и . Увеличим заряд этого проводника на . Это связано с совершением работы по преодолению кулоновских сил отталкивания между одноименными зарядами. Совершаемая работа идет на увеличение электрической энергии заряженного проводника. Следовательно, элементарная работа , совершаемая внешними силами при переносе малого заряда из бесконечности на уединенный проводник, равна

где потенциал проводника, начало отсчета которого выбрано в бесконечно удаленной точке.

Работа, совершаемая при увеличении потенциала проводника от 0 до , т.е. при сообщении проводнику заряда , равна

(1.45)

Энергия заряженного уединенного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник, т.е.

(1.46)

Определим энергию заряженного конденсатора. Если заряд конденсатора, а разность потенциалов между его обкладками, то для переноса малого заряда с одной обкладки на другую внешние силы должны совершить работу

Следовательно, работа по увеличению заряда конденсатора от 0 до равна:

Соответственно, энергия заряженного конденсатора

(1.47)

Учитывая, что конденсатор - это система из двух проводников 1 и 2, заряды которых и , формулу (1.47) можно переписать в следующем виде:

Отсюда вытекает, что энергия системы из n неподвижных заряженных проводников

(1.48)

где заряд i - проводника; потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд , всеми зарядами, кроме i - го.

Используя выражение (1.47), можно определить механическую силу, с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х между обкладками меняется на величину dx. Тогда действующая сила совершает работу за счет уменьшения потенциальной энергии системы

откуда где

Тогда искомая механическая (пондеромоторная) сила будет равна

где знак «минус» указывает, что сила F является силой притяжения.

Преобразуем выражение (1.47), подставив в него и . Тогда получим формулу, связывающую энергию электростатического поля плоского конденсатора с напряженностью: (1.49)

где объем конденсатора.

Объемная плотность энергии (энергия единицы объема) электростатического поля определяется как (1.50)

Краткие выводы

• Электрическое поле - это особая форма существования материи, связанная с электрическими зарядами и осуществляющая взаимодействие между заряженными телами. Электрический заряд является физической величиной, определяющей интенсивность электромагнитных взаимодействий.

• Суммарный заряд электрически изолированной системы не изменяется (закон сохранения электрического заряда). Электрические заряды не создаются и не исчезают, они лишь передаются от одного тела к другому или перераспределяются внутри данного тела.

• Раздел электродинамики, в котором изучается взаимодействие неподвижных электрических зарядов, называется электростатикой. Такое взаимодействие осуществляется посредством электростатического поля.

• Неподвижные точечные электрические заряды взаимодействуют в вакууме с силой, определяемой законом Кулона:

• Силовой характеристикой электростатического поля является напряженность. Она численно равна силе, действующей со стороны поля на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля:

• Напряженности полей, создаваемых отдельными зарядами, складываются геометрически (принцип суперпозиции):

• Электростатическое поле является потенциальным, т.е. работа, совершаемая при перемещении заряда, не зависит от траектории, а определяется лишь начальным и конечным положениями заряда. Эта работа численно равна изменению потенциальной энергии:

• Энергетической характеристикой поля является потенциал. Он характеризует потенциальную энергию, которой обладал бы единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля:

• Потенциал в какой-либо точке электрического поля, образованного системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом системы:

• Разность потенциалов - это скалярная физическая величина, определяемая работой, совершаемой кулоновскими силами при перемещении единичного положительного заряда из одной точки поля в другую:

• Силовая и энергетическая характеристики поля связаны между собой соотношением т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала со знаком «минус». Это означает, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону убывания потенциала. В случае однородного поля (например, поля плоского конденсатора) модуль напряженности определяется по формуле

• Вычисление напряженности поля большой системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно упростить, используя теорему Гаусса:

т.е. поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную.

• При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле происходит его поляризация. Поляризованный диэлектрик создает собственное поле, которое внутри диэлектрика ослабляет внешнее электрическое поле в раз:

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике формулируется следующим образом: поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов, т.е.

• Способность проводника накапливать электрические заряды характеризуется электрической емкостью:

Электрическая емкость не зависит от заряда проводника, а определяется его геометрическими размерами и формой, расположением относительно других проводников и электрическими свойствами окружающей среды.

• Емкостью конденсатора называется физическая величина, равная отношению заряда , накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов между его обкладками: Электрическая емкость плоского конденсатора

• Заряженный конденсатор обладает энергией

• Энергия конденсатора сосредоточена в электрическом поле. Объемная плотность энергии электростатического поля определяется следующим образом:

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Что представляет собой электрическое поле и какими свойствами оно обладает? Какое поле называют электростатическим?

2. Что такое электрический заряд? Какой электрический заряд называют точечным?

3. Сформулируйте закон сохранения электрического заряда.

4. Сформулируйте закон Кулона.

5. Что называют напряженностью электрического поля? Какое поле называется однородным? Сформулируйте принцип суперпозиции полей.

6. Что называют циркуляцией вектора напряженности электростатического поля?

7. Что является энергетической характеристикой электрического поля? Как связаны напряженность и потенциал электростатического поля?

8. Сформулируйте теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме. С какой целью она применяется?

9. Какие вещества называют диэлектриками? В чем состоит явление поляризации диэлектрика?

10. Что характеризует электрическая емкость проводника, от чего она зависит?

11. Что представляет собой конденсатор? Из каких соображений выбирается геометрия его обкладок? Как рассчитывается емкость батареи конденсаторов при их параллельном и последовательном соединениях?

Примеры решения задач

Задача 1. Два шарика массой по 1 г каждый подвешены на нитях, верхние концы которых соединены вместе. Длина каждой нити 10 см. Какие одинаковые заряды надо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол 60⁰?

Дано:

Найти:

Решение

Условие равновесия шариков имеет вид (рис. 1.20): где кулоновская сила, сила натяжения нити. В проекциях на оси Оx и Оy это условие примет вид:

откуда или

где .

Искомый заряд

Подставляя числовые данные, получим

Ответ: .

Задача 2. Два точечных электрических заряда и находятся в воздухе на расстоянии друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке А (рис. 1.21), если и .

Дано: ; ; ; ; ; . Найти:

Решение

Напряженность результирующего поля в точке А равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых зарядами и , т.е.

На рисунке вектор направлен от заряда , так как этот заряд положительный, вектор направлен в сторону заряда , так как этот заряд отрицательный. Вектор напряженности результирующего поля определяется как геометрическая сумма и .

Модуль этого вектора найдем по теореме косинусов , где

Подставляя исходные числовые данные в указанные формулы, получим .

Потенциал результирующего поля, созданного двумя зарядами и , равен алгебраической сумме потенциалов:

где

Потенциал является положительным, так как поле создано положительным зарядом ; потенциал является отрицательным, так как поле создано отрицательным зарядом . Подставляя числовые данные, получим:

Ответ:

Задача 3. На металлической сфере радиусом 15 см находится заряд 2 нКл. Определить напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии 10 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии 20 см от центра сферы. Построить график зависимости напряженности от расстояния.

Дано:

Найти:

Решение

Согласно теореме Гаусса . Тогда: а) при

б) при откуда

в) при откуда

Подставляя числовые данные, получим График приведен на рис. 1.22.

Ответ:

Задача 4. Определить эквивалентную емкость в цепи, изображенной на рис. 1.23.

Дано:

Найти:

Решение

В задачах подобного типа можно использовать метод, связанный с определением точек цепи, в которых потенциалы равны. Тогда схему можно упростить, соединив эти точки (рис. 1.24, а) или исключив конденсаторы, присоединенные к этим точкам (рис. 1.24, б), так как они не могут накапливать заряды и, следовательно, не играют роли при их распределении.

В заданной схеме вследствие симметрии и равенства емкостей пар конденсаторов поэтому

Найдем эквивалентную емкость цепи двумя способами:

а) согласно схеме на рис. 1.24, а

откуда

б) согласно схеме на рис. 1.24, б

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

1. Расстояние между зарядами и равно 10 см. Определить силу, действующую на заряд , отстоящий на 12 см от заряда и на 10 см от заряда . (Ответ: 51 мН).

2. Расстояние между зарядами и равно 55 см. Определить напряженность поля в точке, потенциал в которой равен нулю, если точка лежит на прямой, проходящей через заряды. (Ответ: 3960 В/м и 2170 В/м).

3. Электрический диполь образован двумя равными по величине и противоположными по знаку зарядами и , находящимися на расстоянии 0,5 см друг от друга. Определить напряженность электрического поля в точке, лежащей на перпендикуляре к середине оси диполя на расстоянии 1 м от него. (Ответ: 0,45 В/м).

4. Определить модуль и направление силы F взаимодействия положительного заряда Q и диполя с плечом d. Заряд Q находится в точке, расположенной на одинаковом расстоянии r от каждого из зарядов диполя. (Ответ: ).

5. В трех вершинах квадрата со стороной а находятся одинаковые положительные заряды q. Найти напряженность электрического поля в четвертой вершине. (Ответ: ).

6. Два одинаковых одноименно заряженных шарика, подвешенные на нитях одинаковой длины, опускают в жидкий диэлектрик, плотность которого и диэлектрическая проницаемость . Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы углы расхождения нитей в воздухе и в диэлектрике были одинаковыми? (Ответ:).

7. Сосуд с маслом, диэлектрическая проницаемость которого , помещен в вертикальное однородное электростатическое поле. В масле находится во взвешенном состоянии алюминиевый шарик диаметром , имеющий заряд Определить напряженность внешнего электрического поля Е, если плотность алюминия , плотность масла . (Ответ: ).

8. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе находится в равновесии заряженная капелька ртути при напряженности поля 600 В/м. Заряд капли равен . Определить радиус капли. Плотность ртути 13600 кг/м³. (Ответ: 0,44 мкм).

9. Поверхностная плотность заряда бесконечно протяженной вертикальной плоскости равна К плоскости на нити подвешен одноименно заряженный шарик массой 1 г и зарядом 1 нКл. Какой угол с плоскостью образует нить, на которой висит шарик? (Ответ: 13^о).

10. Электростатическое поле создается сферой радиусом 5 см, равномерно заряженной с поверхностной плотностью 1 нКл/м². Определить разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях и от центра сферы. (Ответ: ).

11. Радиус центральной жилы коаксиального кабеля 1,5 см, радиус оболочки 3,5 см. Между центральной жилой и оболочкой приложена разность потенциалов 2,3 кВ. Определить напряженность электрического поля на расстоянии 2 см от оси кабеля. (Ответ: 136 кВ/м).

12. Два конденсатора емкостью соответственно и соединены последовательно. Разность потенциалов на зажимах этой батареи 9 В. Определить заряды и разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора.

(Ответ: ).

13. Определить емкость батареи конденсаторов, изображенной на рисунке. Емкость каждого конденсатора 1 мкФ. (Ответ: 0,286 мкФ).

14. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов 500 В. Площадь пластин 200 см², расстояние между ними . Пластины раздвинули до расстояния . Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин, если источник напряжения перед раздвижением: 1) отключался; 2) не отключался. (Ответ:1) ; 2) ).

ГЛАВА 2. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

План

1. Электрический ток и его характеристики

2. Закон Ома в дифференциальной форме

3. Последовательное и параллельное соединение проводников. Электроизмерительные приборы

4. Работа и мощность тока. Закон Джоуля - Ленца

5. Закон Ома в интегральной форме

6. Расчет разветвленных цепей постоянного тока

2.1. Электрический ток и его характеристики

Электрическим током называют упорядоченное движение заряженных частиц или заряженных макроскопических тел. Различают два вида электрических токов - токи проводимости и конвекционные токи.

Током проводимости называют упорядоченное движение в веществе или вакууме свободных заряженных частиц - электронов проводимости (в металлах), положительных и отрицательных ионов (в электролитах), электронов и положительных ионов (в газах), электронов проводимости и дырок (в полупроводниках), пучков электронов (в вакууме). Этот ток обусловлен тем, что в проводнике под действием приложенного электрического поля напряженностью происходит перемещение свободных электрических зарядов (рис. 2.1, а).

Конвекционным электрическим током называют ток, обусловленный перемещением в пространстве заряженного макроскопического тела (рис. 2.1, б).

Для возникновения и поддержания электрического тока проводимости необходимы следующие условия:

1) наличие свободных носителей тока (свободных зарядов);

2) наличие электрического поля, создающего упорядоченное движение свободных зарядов;

3) на свободные заряды, помимо кулоновских сил, должны действовать сторонние силы неэлектрической природы; эти силы создаются различными источниками тока (гальваническими элементами, аккумуляторами, электрическими генераторами и др.);

4) цепь электрического тока должна быть замкнутой.

За направление электрического тока условно принимают направление движения положительных зарядов, образующих этот ток.

Количественной мерой электрического тока является сила тока I - скалярная физическая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение S проводника в единицу времени: (2.1)

Ток, сила и направление которого не изменяются с течением времени, называется постоянным (рис. 2.2, а).

Для постоянного тока

Электрический ток, изменяющийся с течением времени, называется переменным. Примером такого тока является синусоидальный электрический ток, применяемый в электротехнике и электроэнергетике (рис. 2.2, б).

Единица силы тока - ампер (А). В СИ определение единицы силы тока формулируется следующим образом: 1 А - это сила такого постоянного тока, который при протекании по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, создает между этими проводниками силу, равную на каждый метр длины.

Для характеристики направления электрического тока проводимости в разных точках поверхности проводника и распределения силы тока по этой поверхности вводится плотность тока.

Плотностью тока называют векторную физическую величину, совпадающую с направлением тока в рассматриваемой точке и численно равную отношению силы тока dI, проходящего через элементарную поверхность, перпендикулярной направлению тока, к площади этой поверхности: (2.2)

Единица плотности тока - ампер на квадратный метр (А/м²).

Плотность постоянного электрического тока одинакова по всему поперечному сечению однородного проводника. Поэтому для постоянного тока в однородном проводнике с площадью поперечного сечения S сила тока равна

2.2. Закон Ома в дифференциальной форме

Если в цепи на носители тока действуют только силы электростатического поля, то происходит перемещение зарядов от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом. Это приводит к выравниванию потенциалов во всех точках цепи и к исчезновению тока. Поэтому для поддержания постоянного электрического тока в цепи необходимо наличие устройства, способного создавать и поддерживать разность потенциалов за счет работы некоторых сторонних сил. Такие устройства называют источниками тока.

Под действием сторонних сил носители тока движутся внутри источника электрической энергии против сил электростатического поля (против кулоновских сил, вызывающих соединение разноименных зарядов, а следовательно, выравнивание потенциалов и исчезновение тока), так что на концах внешней цепи поддерживается постоянная разность потенциалов и в цепи протекает постоянный электрический ток.

Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов. Физическая величина, определяемая работой сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС) источника:

(2.3)

Единица ЭДС - вольт (В).

Сторонняя сила, действующая на заряд , может быть выражена через напряженность поля сторонних сил

Тогда работа сторонних сил по перемещению заряда на замкнутом участке цепи будет равна: (2.4)

Разделив (2.4) на и учитывая (2.3), получим выражение для ЭДС, действующей в цепи: т.е. ЭДС, действующая в замкнутой цепи, есть циркуляция вектора напряженности поля сторонних сил. Как частный случай, ЭДС на участке 1-2 цепи будет равна: (2.5)

На заряд помимо сторонних сил действуют также силы электростатического поля (кулоновские силы) Таким образом, результирующая сила, действующая в цепи на заряд , определяется следующим образом:

Тогда работа, совершаемая этой силой над зарядом на участке 1-2 цепи, равна

Используя выражение (2.5) и ранее полученное соотношение , можем записать: (2.6)

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю, поэтому в такой цепи

Разделив (2.6) на , получим (2.7)

т.е. напряжением на участке цепи называется физическая величина, определяемая работой, совершаемой суммарным полем кулоновских и сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда.

Таким образом, напряжение является более общим понятием, чем разность потенциалов: напряжение на участке цепи равно разности потенциалов только в том случае, если на этом участке не действует ЭДС, т.е. сторонними силами не совершается работа. Такой участок электрической цепи называется однородным.

Немецкий физик Г. Ом (1787-1854) экспериментально установил, что сила тока в однородном проводнике пропорциональна разности потенциалов на его концах и обратно пропорциональна сопротивлению проводника (закон Ома для участка цепи): (2.8)

где R - электрическое сопротивление проводника, определяющее упорядоченность перемещения свободных носителей тока.

Электрическое сопротивление металлического проводника обусловлено тем, что свободные электроны при своем движении взаимодействуют (соударяются) с положительными ионами кристаллической решетки. Поэтому сопротивление проводников зависит прежде всего от материала проводника, т.е. строения его кристаллической решетки. Для однородного цилиндрического проводника длиной l и площадью поперечного сечения S сопротивление определяется по формуле (2.9)

где удельное сопротивление (сопротивление однородного цилиндрического проводника, имеющего единичную длину и единичную площадь поперечного сечения), характеризующее материал проводника.

Единица сопротивления - ом: 1 Ом - сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток силой 1 А.

Величина обратная сопротивлению, называется электрической проводимостью. Единица проводимости - сименс: 1 См - электрическая проводимость проводника сопротивлением 1 Ом.

Удельное электрическое сопротивление проводника зависит не только от рода вещества, но и от температуры: (2.10)

где удельное сопротивление при 0^оС; t - температура (по шкале Цельсия); температурный коэффициент сопротивления, характеризующий относительное изменение сопротивления проводника при его нагревании на 1 ^оС или 1 К:

Температурные коэффициенты сопротивления веществ различны при разных температурах. Однако для многих металлов изменение с температурой невелико. Для всех чистых металлов

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Подставив выражение для сопротивления (2.9) в закон Ома (2.8), получим: или

где величина называется удельной проводимостью (См/м). Учитывая, что напряженность электрического поля в проводнике, а плотность тока, последнее выражение можно записать в следующем виде:

Так как в изотропном проводнике носители тока в каждой точке движутся в направлении вектора , то направления и совпадают. Поэтому в окончательном виде (2.11)

Выражение (2.11) представляет собой закон Ома в дифференциальной форме, который связывает плотность тока в любой точке внутри проводника с напряженностью электрического поля в этой же точке. Это соотношение справедливо и для переменных полей.

2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников.

Электроизмерительные приборы

Электрическая цепь представляет собой совокупность различных проводников и источников тока. В общем случае цепь является разветвленной и содержит участки, где проводники могут соединяться последовательно и параллельно.

При последовательном соединении проводников (рис. 2.3, а):

а) сила тока во всех частях цепи одинакова ();

б) напряжение на зажимах цепи равно сумме падений напряжений на отдельных участках ().

Учитывая эти положения и используя закон Ома для однородного участка, найдем общее (эквивалентное) сопротивление цепи:

или (2.12)

Таким образом, общее сопротивление цепи, состоящей из последовательно соединенных проводников, равно сумме сопротивлений отдельных проводников.

При параллельном соединении проводников (рис. 2.3, б):

а) сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов, протекающих в разветвленных участках цепи ();

б) падения напряжения в параллельно соединенных участках цепи одинаковы и равны напряжению на зажимах цепи ().

С учетом этих положений и на основании закона Ома для однородного участка цепи найдем общее (эквивалентное) сопротивление цепи:

или (2.13)

Таким образом, при параллельном соединении проводников складываются величины, обратные сопротивлениям отдельных участков цепи (проводимости ветвей).

Электроизмерительным прибором (ЭИП) называется устройство, предназначенное для измерения различных электрических величин.

Электроизмерительные приборы классифицируются в основном по двум признакам - по назначению (по роду измеряемой величины) и по принципу действия.

По назначению ЭИП подразделяются на:

• приборы для измерения силы тока (амперметры, миллиамперметры, гальванометры);

• приборы для измерения напряжения (вольтметры, милливольтметры);

• приборы для измерения электрической мощности (ваттметры);

• приборы для измерения электрической энергии (счетчики электроэнергии);

• приборы для измерения электрического сопротивления (омметры);

• приборы для измерения частоты переменного тока (частотомеры).

По принципу действия ЭИП классифицируются на:

• магнитоэлектрические;

• электромагнитные;

• электродинамические;

• тепловые, индукционные, электростатические и др.

Магнитоэлектрические приборы пригодны только для измерения в цепях постоянного тока. Их работа основана на взаимодействии постоянного магнитного поля подковообразного магнита и подвижного проводника (катушки) с током. Магнитоэлектрические приборы отличаются высокой чувствительностью и точностью показаний. Шкала этих приборов равномерная, собственное потребление энергии невелико.

Электромагнитные приборы пригодны для измерения как в цепях постоянного, так и переменного тока. Их работа основана на взаимодействии магнитного поля катушки, по которой протекает ток, с ферромагнитным сердечником. К достоинствам электромагнитных приборов относится простота конструкции и нечувствительность к кратковременным перегрузкам. Вместе с тем отклонение стрелки не пропорционально возрастанию тока в катушке, поэтому шкала прибора неравномерна. Точность измерения электромагнитных приборов меньше, чем магнитоэлектрических, показания зависят от внешних магнитных полей.

Электродинамические приборы пригодны для измерения в цепях постоянного и переменного токов. Их работа основана на взаимодействии магнитных полей, которые создаются двумя катушками с током. Если прибор действует как амперметр, то катушки соединяются параллельно; в вольтметрах этой системы катушки включены последовательно. Электродинамические приборы применяются также для измерения мощности. Приборы этой системы обладают высокой точностью, однако имеют неравномерную шкалу, подвержены влиянию внешних электромагнитных полей, чувствительны к перегрузкам.

Тепловые приборы могут быть использованы в цепях постоянного и переменного токов. Их устройство основано на удлинении проводника при нагревании его протекающим током. Степень удлинения проводника позволяет судить о силе тока. Тепловые приборы не подвержены влиянию внешних магнитных полей, устойчивы к перегрузкам.

Измерение силы тока производится амперметрами, миллиамперметрами или микроамперметрами в зависимости от порядка измеряемой величины. Чтобы измерить силу тока в цепи, надо пропустить через измерительный прибор весь ток, поэтому амперметр подключается в цепь последовательно. Сопротивление амперметра должно быть очень малым, так как в противном случае включение его повлекло бы за собой уменьшение силы тока в цепи.

Каждый измерительный прибор рассчитан на определенную максимальную для него силу тока или на предельное для него напряжение. Однако существуют способы расширения пределов измерения данным прибором.

Для измерения токов большей силы, чем та, на которую рассчитан амперметр, применяют шунты. Шунт - это сопротивление, которое включается параллельно амперметру (рис. 2.4). Для того чтобы через амперметр прошла меньшая часть измеряемого тока, сопротивление шунта должно быть меньше сопротивления амперметра. Расчет сопротивления шунта производится в зависимости от того, какую часть тока необходимо пропустить через прибор. Если нужно, чтобы через амперметр прошел ток I_A в n раз меньше измеряемого тока I, то сопротивление шунта можно определить следующим образом:

тогда где R_Ш, R_A - сопротивления соответственно шунта и амперметра.

Шунты монтируются либо внутри корпуса амперметра, либо подключаются снаружи. Для расширения диапазона измерения силы тока амперметр часто снабжают несколькими шунтами. Такой многопредельный амперметр может быть использован для измерения различных по величине токов.

Измерение напряжения производится вольтметрами, милливольтметрами или микровольтметрами. Вольтметр подключается параллельно тому участку цепи, где необходимо определить напряжение. Для того чтобы вольтметр не повлиял на распределение токов в цепи, его сопротивление должно быть значительно больше, чем измеряемое сопротивление участка схемы.

Для расширения пределов измерения вольтметра к нему последовательно подключается известное добавочное сопротивление (рис. 2.5). Добавочное сопротивление необходимо для того, чтобы через прибор проходил ток, не превышающий допустимой величины. Величина добавочного сопротивления может быть найдена следующим образом:

тогда где R_Д, R_V - соответственно добавочное сопротивление и сопротивление вольтметра; n - число, показывающее, во сколько раз измеряемое напряжение больше того напряжения, на которое рассчитан прибор.

Добавочное сопротивление обычно монтируется в корпусе прибора, и вольтметр градуируется с учетом этого сопротивления. Если внутрь вольтметра вмонтировать несколько соединенных последовательно добавочных сопротивлений, то таким прибором можно измерять напряжение в широких пределах. Переключая вольтметр на разные пределы измерения, необходимо каждый раз находить цену деления шкалы прибора.

Для регулирования силы тока в цепи служат реостаты. Наибольшее применение получили реостаты со скользящим контактом. На реостате обычно указываются величина сопротивления и максимальное значение силы тока, на которую он рассчитан. Реостат включается последовательно с участком цепи, силу тока в котором необходимо регулировать (рис. 2.6).

Для регулирования напряжения, подаваемого на участок электрической цепи, применяются потенциометры или делители напряжения. Простейшим делителем напряжения служит реостат со скользящим контактом, включенный по схеме, приведенной на рис. 2.7. Изменяя положение скользящего контакта, можно на участок цепи подавать напряжение в пределах 0 - U_max, где U_max =  - значение ЭДС источника тока.

2.4. Работа и мощность тока. Закон Джоуля - Ленца

Рассмотрим однородный проводник, по концам которого приложено напряжение . За время dt через поперечное сечение проводника переносится заряд . Так как ток представляет собой перемещение заряда dq под действием электрического поля, работа тока есть (2.14)

Используя закон Ома для однородного участка цепи, формулу (2.14) можно представить в виде (2.15)

Мощность электрического тока - это быстрота совершения работы, т.е.

(2.16)

Единица мощности - ватт: 1 Вт - мощность, выделяемая в проводнике за 1 с при протекании тока силой 1 А.

Если ток протекает по неподвижному металлическому проводнику, то вся работа тока затрачивается на его нагревание и по закону сохранения энергии

Таким образом, с учетом (2.14) и (2.15) получим:

(2.17)

Количество теплоты, выделяющееся за конечный промежуток времени от 0 до t при прохождении постоянного тока силой I найдем, интегрируя выражение (2.17): (2.18)

Таким образом, количество теплоты, которое выделяется в проводнике с током, пропорционально квадрату силы тока, времени его протекания и сопротивлению проводника. Выражение (2.18) есть закон Джоуля-Ленца для участка цепи постоянного тока. Он был установлен экспериментально Д. Джоулем (1841) и независимо от него Э.Х. Ленцем (1842).

Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем (ось цилиндра совпадает с направлением тока). Сопротивление этого элементарного объема Тогда по закону Джоуля-Ленца за время dt в этом объеме выделится теплота:

Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, называется удельной тепловой мощностью электрического тока:

Используя дифференциальную форму закона Ома (2.11) и соотношение , получим: (2.19)

Формула (2.19) является обобщенным выражением закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, пригодным для любого проводника.

2.5. Закон Ома в интегральной форме

Д

+ля однородного участка цепи, т.е. для участка, на котором не действуют сторонние силы, закон Ома записывается в форме (2.8). Рассмотрим теперь неоднородный участок цепи 1-2 (рис. 2.8), где действует ЭДС источника и на концах которого приложена разность потенциалов .

На рассматриваемом участке работа всех приложенных сил (сторонних и электростатических), совершаемая над носителями тока, согласно (2.6) равна:

В этой формуле ЭДС берется либо с положительным, либо с отрицательным знаком. Если ЭДС способствует движению положительных зарядов в направлении обхода (в направлении 1-2), т.е. внутри источника обход совпадает с перемещением зарядов от катода к аноду, то (рис. 2.8, а). Если ЭДС препятствует движению положительных зарядов в направлении обхода, то (рис. 2.8, б).

По закону сохранения и превращения энергии работа равна теплоте, выделяющейся на участке 1-2 за время t (эта теплота определяется согласно закону Джоуля - Ленца): (2.20)

Приравнивая (2.6) и (2.20), получим: (2.21)

или (2.22)

где R - суммарное сопротивление, включающее в себя внутреннее сопротивление r источника тока и сопротивление внешней цепи.

Выражение (2.21) или (2.22) есть закон Ома в интегральной (обобщенной) форме для цепи постоянного тока.

Действительно, если на данном участке цепи источник тока отсутствует (), то из (2.22) приходим к закону Ома для однородного участка цепи:

Если электрическая цепь замкнута (точки 1 и 2 совпадают), то . Тогда из (2.22) получаем закон Ома для замкнутой цепи:

Наконец, если цепь разомкнута, то и из (2.22) получаем, что , следовательно, для экспериментального определения ЭДС источника тока необходимо измерить разность потенциалов на его зажимах при разомкнутой нагрузке (режим холостого хода цепи).

2.6. Расчет разветвленных цепей постоянного тока

Закон Ома в интегральной форме позволяет рассчитывать практически любую электрическую цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих замкнутые контуры, достаточно сложен. Эта задача упрощается при использовании правил Кирхгофа (нем. физик, XIX в.).

Любая точка разветвленной электрической цепи, в которой сходится не менее трех проводников тока, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла - отрицательным (рис. 2.9).

Первое правило Кирхгофа сформулировано для узла электрической цепи: алгебраическая сумма сил токов в узле электрической цепи равна нулю, т.е. где n - число проводников, сходящихся в узле.

Таким образом, при указанных на рис. 2.9 направлениях токов в проводниках первое правило Кирхгофа запишется в виде

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда.

Второе правило Кирхгофа вытекает из закона Ома в интегральной форме для разветвленных цепей. Выделим в сложной электрической цепи замкнутый контур, состоящий из трех участков (рис. 2.10). Условимся обходить контур по часовой стрелке. Все токи, совпадающие по направлению с выбранным направлением обхода контура, считаются положительными. ЭДС источников считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к отдельным участкам контура закон Ома, запишем:

Складывая почленно эти уравнения, получим:

Таким образом, второе правило Кирхгофа гласит: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС источников равна алгебраической сумме падений напряжений на отдельных участка этого контура, т.е.

где n - количество источников тока в контуре; m - число участков в контуре.

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа следует придерживаться следующих рекомендаций:

1. Произвольно выбирают направления токов в ветвях цепи. Действительные направления токов в схеме определяются после завершения расчетов: если искомый ток получился положительным, то его направление было выбрано правильно, если отрицательным - его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбирают направления обхода замкнутых контуров цепи (по часовой или против часовой стрелке). Произведение положительно, если ток на данном участке совпадает по направлению с направлением обхода; ЭДС, действующие по направлению обхода, считаются положительными, против направления обхода - отрицательными.

3. Составляют столько уравнений, чтобы их число было равно числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей в схеме. По первому правилу Кирхгофа составляют n-1 уравнений, где n - число узлов в схеме. Остальные уравнения составляют по второму правилу Кирхгофа.

4. Для проверки расчетов составляют баланс мощности в цепи: алгебраическая сумма мощностей источников тока равна сумме мощностей, рассеиваемых в ветвях схемы, т.е. где n- число источников тока в цепи; m - количество ветвей в схеме.

Краткие выводы

• Электрический ток - это упорядоченное движение электрически заряженных частиц. Количественными характеристиками тока являются сила тока и плотность тока

Ток, сила и направление которого не изменяются с течением времени, называется постоянным.

• Для возникновения и поддержания электрического тока необходимо: а) наличие свободных электрических зарядов; б) наличие электрического поля; в) присутствие в цепи устройств (источников тока), способных поддерживать разность потенциалов за счет работы сторонних сил.

• ЭДС - физическая скалярная величина, определяемая работой сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда:

• Напряжение на участке цепи - физическая скалярная величина, определяемая работой суммарного поля кулоновских и сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда на данном участке:

Напряжение на концах участка цепи равно разности потенциалов, если участок не содержит источника тока (), т.е. является однородным.

• Электрическое сопротивление линейных металлических проводников зависит от материала, длины и площади поперечного сечения:

С увеличением температуры сопротивление таких проводников увеличивается:

• Проводники в электрической цепи могут соединяться последовательно и параллельно:Закон Ома в дифференциальной форме связывает плотность тока в любой точке проводника с напряженностью электрического поля в той же точке:

  • Участок цепи, содержащий источник тока, называется неоднородным. Закон Ома для неоднородного участка цепи (закон Ома в интегральной форме)

  В зависимости от конфигурации участка цепи или режима из этого закона получаем:

  

  Закон Ома для неоднородного участка цепи

  2

  Цепь замкнута:

  

  Закон Ома для замкнутой цепи

  3

  Режим холостого хода цепи:

  

  ЭДС источника в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на его зажимах

  • Количество теплоты, которое выделяется в проводнике при протекании электрического тока, определяется законом Джоуля - Ленца:

  Закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме связывает удельную тепловую мощность тока с напряженностью электрического тока:

  • Мощность электрического тока - физическая величина, определяемой работой, совершенной током за единицу времени:

  • Одним из методов расчета разветвленных электрических цепей является расчет с использованием правил Кирхгофа.

  Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов в узле электрической цепи равна нулю, т.е.

  Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС источников равна алгебраической сумме падений напряжений на отдельных участка этого контура, т.е.

  
  
  

  Вопросы для самоконтроля и повторения

  
  
  

  1. Что понимают под электрическим током? Каковы условия возникновения и поддержания электрического тока проводимости?

  2. Что называют силой тока, плотностью тока? Каковы их единицы?

  3. Какова физическая природа электрического сопротивления проводника? От чего зависит сопротивление металлического проводника?

  4. Какова связь между сопротивлением и проводимостью, удельным сопротивлением и удельной проводимостью? Каковы их единицы?

  5. Какой участок электрической цепи называют однородным, неоднородным? Выведите закон Ома в дифференциальной форме.

  6. Какова физическая сущность ЭДС источника тока, разности потенциалов, напряжения?

  7. Как определяется эквивалентное сопротивление проводников при их последовательном и параллельном соединении?

  8. Сформулируйте закон Ома в интегральной форме. Какие частные законы можно из него получить?

  9. Что называют мощностью электрического тока? Сформулируйте закон Джоуля-Ленца.

  10. Выведите закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Что называют удельной тепловой мощностью тока?

  11. Сформулируйте правила Кирхгофа и запишите их математические выражения.

  12. Изложите сущность метода расчета разветвленной электрической цепи с использованием правил Кирхгофа.

  
  
  

  Примеры решения задач

  
  
  

  Задача 1. Определить ток короткого замыкания источника ЭДС, если при внешнем сопротивлении ток в цепи 0,2 А,

  а при ток 0,1 А (рис. 2.11).

  Дано: , .

  Найти:

  Решение

  По закону Ома для замкнутой цепи

  В режиме короткого замыкания источника тока

  так как сопротивление закоротки бесконечно мало.

  Используя данные для нормальных режимов цепи, получим систему уравнений откуда

  Тогда искомый ток короткого замыкания источника

  

  Ответ:

  
  
  

  Задача 2. В схеме на рис. 2.12 перед замыканием ключа К конденсатор емкостью С не был заряжен. Ключ замыкают на некоторое время, в течение которого конденсатор зарядился до напряжения U. Какое количество теплоты выделится к этому моменту времени на резисторе сопротивлением R? ЭДС источника , его внутреннее сопротивление r.

  Дано:

  Найти:

  Решение

  По закону сохранения энергии где энергия источника тока.

  Согласно закону Джоуля-Ленца тогда откуда Следовательно,

  откуда, учитывая, что получим:

  

  Ответ:

  Задача 3. При заданных параметрах цепи, схема которой изображена на рис. 2.13, определить токи во всех ветвях. Внутренними сопротивлениями источников пренебречь.

  Дано:

  

  Найти:

  
  
  

  Решение

  Выберем направления токов в ветвях, как они показаны на рис. 2.13, и условимся обходить контуры I-III по часовой стрелке.

  Составим уравнения по правилам Кирхгофа (всего шесть уравнений):

  - по первому правилу Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3 соответственно

  

  - по второму правилу Кирхгофа для контуров I, II и III имеем:

  

  Из уравнений (4)-(6) выразим токи и, подставив их в формулы (1)-(3), с учетом заданных числовых значений получим систему уравнений с тремя неизвестными:

  Эту систему можно решить обычными приемами линейной алгебры (методом Гаусса, по формулам Крамера и др.). Воспользовавшись формулами Крамера, найдем:

  Из формул (4)-(6) определяем недостающие токи:

  

  Для проверки расчета составим баланс мощностей в схеме: алгебраическая сумма мощностей источников тока равна сумме мощностей, рассеиваемых в ветвях, т.е.

  

  Для данной задачи левая часть баланса:

  

  правая часть баланса:

  

  Баланс мощностей в цепи выполняется, следовательно, расчет токов в ветвях выполнен верно.

  Ответ:

  .

  
  
  

  Задачи для самостоятельного решения

  
  
  

  1. Какой заряд пройдет через поперечное сечение проводника за время от 5 с до 10 с, если сила тока изменяется со временем по закону (Ответ: 142,5 Кл).

  2. Два резистора сопротивлением 2 Ом и 5 Ом соединены последовательно и включены в сеть постоянного напряжения. Какая мощность выделяется на сопротивлении 5 Ом, если на сопротивлении 2 Ом выделяется мощность 30 Вт? (Ответ: 75 Вт).

  3. На рис. 2.15 Определить ЭДС источника тока, пренебрегая его внутренним сопротивлением, если заряд на конденсаторе (Ответ: 220 В).

  4. Определить падение напряжения на резисторе Ом (рис. 2.14), если вольтметр, подключенный к резистору Ом показывает 25 В. (Ответ: 37,5 В).

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  5. Батарея состоит из параллельно соединенных источников тока. При силе тока во внешней цепи 2 А полезная мощность равна 7 Вт. Определить число элементов в батарее, если ЭДС каждого элемента равна 5,5 В, в внутреннее сопротивление 5 Ом. (Ответ: 5).

  6. Определить напряжения на конденсаторах и (рис. 2.16), если известно, что при коротком замыкании резистора сопротивлением R сила тока через источник возрастает в 3 раза. ЭДС батареи равна .

  (Ответ: ).

  7. При силе тока в цепи 4 А на внешнем сопротивлении R потребляется мощность 10 Вт, а при силе тока 2 А мощность 8 Вт. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока. (Ответ: 5,5 В, 0,75 Ом).

  8. Электрический чайник имеет две спирали. При включении одной из них вода в чайнике закипает через 15 мин, при включении другой - через 30 мин. Через какое время закипит вода в чайнике, если спирали включить параллельно? (Ответ: 10 мин).

  9. Имеется прибор с ценой деления мкА. Шкала прибора имеет n=100 делений, внутреннее сопротивление прибора Ом. Как из этого прибора сделать миллиамперметр с пределом измерения силы тока мА (определить величину сопротивления шунта)? (Ответ: 0,0626 Ом).

  10. Определить разность потенциалов между точками А и В (рис. 2.17), если Внутренними сопротивлениями источников можно пренебречь. (Ответ: 2,67 В).

  11. В схеме на рис. 2.18 определить ЭДС источников и токи, протекающие через резисторы и . Исходные данные:

  

  (Ответ: 24 В, 12 В, 1,2 А, 0,3 А).12. Имеется прибор с ценой деления мкА. Шкала прибора имеет n=100 делений, внутреннее сопротивление прибора Ом. Как из этого прибора сделать вольтметр с пределом измерения напряжения В (определить величину добавочного сопротивления)? (Ответ: 2·10⁵ Ом).

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  

  13. В схему включены два микроамперметра и два одинаковых вольтметра (рис. 2.19). Показания микроамперметров: и; показание вольтметра Найти показание вольтметра (Ответ: U₂ = 0,1 В).

  14. Чему равно показание вольтметра в схеме, изображенной на рис. 2.20? Вольтметр считать идеальным, т.е. имеющим очень большое сопротивление. Внутренним сопротивлением источников пренебречь.

  (Ответ: ).

  15. Электрическая цепь собрана из одинаковых резисторов и одинаковых вольтметров (рис. 2.21). Первый вольтметр показывает ,

  а третий . Что покажет второй вольтметр? (Ответ: ).

  
  
  

  
  
  

  16. Электромотор питается от батареи с ЭДС . Какую мощность развивает мотор при протекании по его обмотке тока силой , если при полном затормаживании якоря по цепи течет ток силой ? (Ответ: ).

  17. Аккумулятор с ЭДС и внутренним сопротивлением замкнут на внешнее сопротивление и выделяет на нем мощность . Определить разность потенциалов на клеммах аккумулятора. (Ответ: ).

  
  
  

  
  
  

  ГЛАВА 3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

  
  
  

  План

  
  
  

  1. Магнитное поле и его характеристики

  2. Закон Био-Савара-Лапласа

  3. Магнитное поле движущегося заряда. Сила Лоренца

  4. Проводник с током в магнитном поле. Закон Ампера

  5. Циркуляция вектора индукции магнитного поля в вакууме

  6. Теорема Гаусса для магнитного поля в вакууме

  7. Магнитные свойства вещества

  
  
  

  3.1. Магнитное поле и его характеристики

  
  
  

  О

  Iпыт показывает, что подобно тому, как в пространстве, окружающем электрические заряды, возникает электрическое поле (являющее

  ся средой взаимодействия между ними), так в пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным. Наличие такого поля обнаруживается по силовому воздействию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты. Название «магнитное поле» связывают с ориентацией магнитной стрелки под действием силового поля, создаваемого током. Это явление впервые было обнаружено датским физиком Х. Эрстедом в 1820 г.

  При пропускании по прямолинейному горизонтальному проводнику постоянного тока силой I находящаяся под ним магнитная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси, стремясь расположиться перпендикулярно проводнику с током (рис. 3.1). Ось стрелки тем точнее совпадает с этим направлением, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля Земли. Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса (N) стрелки под действием электрического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике.

  В дальнейшем экспериментально исследовалось действие на магнитную стрелку электрического тока, протекающего по проводникам различной формы. Во всех случаях проводники с током оказывали ориентирующее действие на магнитную стрелку. Таким образом, при прохождении по проводнику электрического тока вокруг него возникает магнитное поле, действующее на помещенную в него магнитную стрелку.

  Опыты показывают, что вокруг всякого движущегося заряда помимо электрического поля существует также и магнитное поле. Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся заряды. Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды. Характер воздействия магнитного поля на ток зависит от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника в силовом поле и от направления тока. Следовательно, чтобы охарактеризовать магнитное поле, надо рассмотреть его действие на определенный электрический ток.

  Подобно тому, как при исследовании электростатического поля использовались точечные электрические заряды, для обнаружения и исследования магнитного поля используется замкнутый плоский контур с током - рамка с током, размеры которой малы по сравнению с расстоянием до токов, создающих магнитное поле. Ориентация контура в пространстве характеризуется направлением нормали к плоскости рамки. В качестве положительного направления нормали принимается направление, связанное стоком правилом буравчика: за положительное направление нормали принимается направление поступательного движения винта, рукоятка (головка) которого вращается в направлении тока, текущего в рамке (рис. 3.2).

  Если поместить рамку с током в магнитное поле, то поле будет оказывать на рамку ориентирующее воздействие, поворачивая ее соответствующим образом. Это связано с определенным направлением магнитного поля. За направление магнитного поля принимается направление, вдоль которого располагается положительная нормаль к рамке. За направление магнитного поля может быть также принято направление, совпадающее с направлением силы, действующей на северный полюс магнитной стрелки, помещенной в данную точку. Так как оба полюса стрелки лежат в близких точках поля, то силы, действующие на оба полюса, равны друг другу. Следовательно, на магнитную стрелку действует пара сил, поворачивающая ее так, чтобы ось стрелки, соединяющая S-N, совпадала с направлением поля.

  Рамкой с током можно воспользоваться и для количественного описания магнитного поля. Так как рамка испытывает на себе ориентирующее действие поля, на нее в магнитном поле действует пара сил. Вращающий момент сил зависит от свойств магнитного поля в данной точке и от параметров самой рамки: (3.1)

  где вектор индукции магнитного поля, являющийся силовой характеристикой поля; вектор магнитного момента рамки с током. Для плоской рамки, по которой протекает ток силой I,

  где S - площадь поверхности контура; единичный вектор нормали к поверхности рамки. Направление совпадает, таким образом, с направлением положительной нормали.

  Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с различными магнитными моментами, то на них будут действовать различные по величине вращающие моменты, однако отношение для всех контуров будет одним и тем же и поэтому может служить количественной характеристикой магнитного поля, называемой магнитной индукцией: (3.2)

  Таким образом, магнитная индукция в данной точке однородного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна к направлению поля (аналог ).

  Так как магнитное поле является силовым, его, по аналогии с электрическим полем, изображают с помощью линий магнитной индукции - линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора . Их направление определяется правилом буравчика: рукоятка винта, ввинчиваемого по направлению тока, вращается в направлении линий магнитной индукции.

  Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с токами или постоянные магниты. Этим они отличаются от линий напряженности электростатического поля, которые являются разомкнутыми (начинаются на положительных зарядах, обрываются на отрицательных и вблизи поверхности заряженного тела направлены перпендикулярно к ней).

  Согласно предположению французского физика А. Ампера, в любом теле существуют микроскопические (молекулярные) токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Эти токи создают свое магнитное поле и могут поворачиваться в магнитных полях макроскопических токов (токов, текущих в проводниках). Так, если вблизи какого-то тела (среды) поместить проводник с током, т.е. макроток, то под действием его магнитного поля микротоки в атомах тела определенным образом ориентируются, создавая тем самым дополнительное магнитное поле. Поэтому вектор магнитной индукции характеризует результирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками, т.е. при одном и том же токе I и прочих равных условиях вектор в различных средах будет иметь разные значения.

  Магнитное поле, создаваемое макротоками, характеризуется вектором напряженности . Для однородной изотропной среды связь между векторами индукции и напряженности магнитного поля определяется выражением (3.3)

  где магнитная постоянная, магнитная проницаемость среды (безразмерная величина), показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков усиливается за счет поля микротоков данной среды.

  Единица напряженности магнитного поля - ампер на метр: 1 А/м - напряженность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4π·10^-7 Тл.

  
  
  

  3.2. Закон Био-Савара-Лапласа

  
  
  

  После опытов Эрстеда начались интенсивные исследования магнитного поля постоянного тока. Французские физики Био и Савар в первой четверти XIX в. изучали магнитные поля, создаваемые в воздухе прямолинейным током, круговым током, катушкой с током и т.п. На основании многочисленных экспериментов они пришли к выводу, что магнитная индукция поля проводника с током пропорциональна силе тока, зависит от формы и размеров проводника, а также от расположения рассматриваемой точки поля относительно проводника.

  Био и Савар попытались получить закон, который позволял бы рассчитывать индукцию в каждой точке магнитного поля, создаваемого током в проводнике любой формы. Однако формализовать данную задачу они не смогли. По их просьбе этой задачей занялся французский физик и математик Лаплас. Он учел векторный характер магнитной индукции и высказал гипотезу, что для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции, т.е. принцип независимости действия полей: (3.4)

  где индукция магнитного поля малого элемента проводника с током, а интегрирование проводится по всей длине проводника.

  Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током I, элемент которого создает в некоторой точке А индукцию поля записывается в виде: (3.5)

  где вектор, по модулю равный длине проводника и совпадающий по направлению с током; радиус-вектор, проведенный от элемента проводника в точку А поля; модуль радиуса-вектора. Направление перпендикулярно и , т.е. перпендикулярно плоскости, проведенной через эти векторы и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление находится по правилу буравчика.

  Коэффициент пропорциональности зависит от выбора системы единиц. В СИ это размерная величина, равная

  где магнитная постоянная. Таким образом, в СИ закон Био-Савара-Лапласа имеет вид:

  (3.5)

  Так как модуль векторного произведения равен , то модуль вектора определяется выражением

  (3.6)

  Из выражений (3.4) и (3.5) следует, что магнитная индукция поля, создаваемого в вакууме током I, идущим по проводнику конечной длины и любой формы, равна (3.7)

  Закон Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет рассчитывать магнитные поля, создаваемые любыми проводниками с током.

  1. Магнитное поле прямого тока.

  В данном случае поле создается током, протекающим по тонкому прямому проводнику бесконечной длины (рис. 3.4). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы от всех элементов тока dl имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол , выразив через него все остальные величины. Из рис. 3.4 следует: откуда c другой стороны, откуда

  Подставляя эти выражения в формулу (3.6), получим:

  (3.8)

  Так как угол для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до , то согласно (3.7) и (3.8) получим: (3.9)

  2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током. В данном случае все элементы dl кругового проводника с током создают

  в центре магнитное поле одинакового направления - вдоль нормали от витка (рис. 3.5).

  Поэтому сложение можно также заменить сложением их модулей. Так как

  все элементы проводника dl перпендикулярны радиусу-вектору () и расстояние всех элементов проводника до центра кругового витка одинаково и равно R, то

  

  Интегрируя это выражение по l, получим:

  (3.10)

  
  
  

  3.3. Магнитное поле движущегося заряда. Сила Лоренца

  
  
  

  Любой проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. В свою очередь ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Отсюда следует, что каждый движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле.

  В результате обобщения опытных данных был установлен закон, определяющий магнитное поле индукцией точечного заряда q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью :

  (3.11) где - радиус-вектор, проведенный от заряда q к данной точке поля. Вектор направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы и , а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к (рис. 3.6).

  Модуль вектора магнитной индукции определяется выражением (3.12)

  Сравнивая (3.11) с выражением (3.5), можно сделать вывод, что движущийся заряд по своим магнитным свойствам соответствует элементу тока:

  или

  Приведенные закономерности справедливы лишь при относительно малых скоростях движущихся зарядов (v<<c), т.е. когда электрическое поле свободно движущегося заряда можно считать электростатическим.

  Сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся в нем электрический заряд, называется силой Лоренца: (3.13)

  Направление силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входили линии индукции магнитного поля, а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора , то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд (рис. 3.7).

  На отрицательный заряд сила со стороны магнитного поля действует в противоположном направлении.

  Модуль силы Лоренца определяется по формуле

  

  где - угол между векторами и . Эта формула еще раз показывает, что магнитное поле не действует на покоящиеся электрические заряды.

  Сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору движения заряженной частицы, поэтому она не изменяет модуля ее скорости. Это означает, что постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей и кинетическая энергия этой частицы при движении в магнитном поле не изменяется.

  Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с индукцией действует и электрическое поле напряженностью , то результирующая сила , приложенная к заряду, равна векторной сумме двух составляющих - электрической и магнитной (формула Лоренца):

  

  Разделение силы Лоренца на электрическую и магнитную составляющие относительно, так как они зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Это объясняется тем, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой изменяются не только скорость заряда, но и силовые характеристики и полей. Соответственно разделение электромагнитного поля на электрическое и магнитное поля тоже относительно.

  
  
  

  
  
  

  3.4. Проводник с током в магнитном поле. Закон Ампера

  
  
  

  Обобщая результаты действия магнитного поля на различные проводники с током, А. Ампер установил, что сила , с которой магнитное поле действует на элемент проводника с током, находящегося в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длины проводника на магнитную индукцию : (3.14)

  Направление силы определяется правилом левой руки. Модуль силы Ампера находится по формуле (3.15)

  где - угол между векторами и .

  Из формулы (3.15) следует, что сила максимальна, если элемент проводника с током расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции:

  Из последнего выражения можно получить формулу для численного определения магнитной индукции:

  т.е. магнитная индукция численно равна отношению силы, действующей со стороны магнитного поля на малый элемент проводника с током, к произведению силы тока на длину этого элемента, если он так расположен в поле, что указанное отношение наибольшее.

  Единица магнитной индукции - тесла (Тл): 1 Тл - это индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой в 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику протекает ток в 1 А: 1Тл=1Н /(А·м).

  Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия токов. Рассмотрим два протяженных параллельных проводника с токами и (направления токов в проводниках «к нам»), расстояние между которыми R (рис. 3.8). Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Определим силу, с которой действует магнитное поле тока на элемент второго проводника с током .

  Ток создает вокруг себя магнитное поле, линии индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора определяется правилом буравчика, а модуль находится по уже известной формуле

  Направление силы , с которой поле действует на участок второго проводника с током, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке. Модуль этой силы с учетом того, что угол между элементом тока и вектором прямой, равен

  Подставляя сюда значение , получим: (3.16)

  Рассуждая аналогично, можно определить силу , с которой магнитное поле тока действует на элемент первого проводника с током . Эта сила направлена в противоположную сторону и по модулю равна (3.17)

  Сравнение (3.16) и (3.17) показывает, что , т.е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой (3.18)

  Если токи в проводниках имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая формулой (3.18).

  
  
  

  3.5. Циркуляция вектора индукции магнитного поля в вакууме

  
  
  

  Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля в магнитном поле вводится понятие циркуляции вектора магнитной индукции по заданному замкнутому контуру: где - вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура; - составляющая вектора в направлении к касательной к контуру с учетом выбранного обхода контура; - угол между векторами и .

  Теорема о циркуляции вектора или закон полного тока для магнитного поля в вакууме формулируется следующим образом: циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром, т.е. (3.19)

  где n - число проводников с токами, охватываемых контуром l произвольной формы.

  Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода контура правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, охваченных контуром l на рис. 3.9, закон полного тока запишется следующим образом:

  

  Выражение (3.19) справедливо только для магнитного поля в вакууме, так как для поля в веществе необходимо дополнительно учитывать молекулярные токи (микротоки).

  Убедимся в справедливости теоремы о циркуляции вектора на примере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного «к нам» (рис. 3.10). Представим себе замкнутый

  контур l в виде окружно сти радиуса r. В каждой точке этой окружности вектор одинаков по модулю и направлен по касательной к ней. Следовательно, в данном случае циркуляция вектора будет равна

  Согласно выражению (3.19) получим:

  или что полностью согласуется с выражением

  для индукции магнитного поля прямого тока, выведенным

  на основе закона Био-Савара-Лапласа.

  Сравнивая выражения и для циркуляции векторов и , видно, что между ними существует принципиальное различие: циркуляция вектора напряженности электростатического поля всегда равна нулю, т.е. такое поле является потенциальным; циркуляция вектора отлична от нуля, поэтому магнитное поле является вихревым.

  Теорема о циркуляции вектора позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био-Савара-Лапласа.

  
  
  

  3.6. Теорема Гаусса для магнитного поля в вакууме

  
  
  

  Потоком вектора магнитной индукции или магнитным потоком сквозь малую поверхность площадью dS называется скалярная физическая величина, равная (3.20)

  
  
  

  где - проекция вектора на направление нормали к площадке dS (рис. 3.11); - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали к площадке.

  Магнитный поток сквозь произвольную поверхность площадью S равен (3.21)

  Если магнитное поле однородно, а поверхность плоская, то как частный случай (3.22)

  Если плоская поверхность расположена перпендикулярно вектору, то угол и

  Отсюда определяется единица магнитного потока вебер (Вб): 1 Вб - это магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл, т.е. 1 Вб = 1 Тл·м².

  Теорема Гаусса для магнитного поля формулируется следующим образом: поток вектора магнитной индукции сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю: (3.23)

  Эта теорема отражает тот факт, что в природе не существует магнитных масс (магнитных зарядов) - источников магнитного поля, на которых начинались бы или заканчивались линии магнитной индукции. Вследствие этого силовые линии магнитного поля не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

  Итак, потоки векторов и сквозь замкнутую поверхность в вихревом и потенциальном полях имеют различные выражения:

  

  Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, называется потокосцеплением этого контура. Например, потокосцепление катушки, состоящей из N витков, магнитные потоки через которые одинаковы и равны Ф, определяется как

  Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока в самом этом контуре, называется потокосцеплением самоиндукции. Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока, идущим в другом контуре, называется потокосцеплением взаимной индукции этих двух контуров.

  В качестве примера найдем потокосцепление самоиндукции соленоида:

  

  где - магнитный поток через один виток соленоида площадью S.

  
  
  

  3.7. Магнитные свойства вещества

  
  
  

  Не все вещества одинаково проводят силовые линии магнитного поля. Так, например, через железо магнитные силовые линии проходят во много раз легче, чем через воздух. Другими словами способность железа проводить магнитный поток больше, чем окружающего воздуха, поэтому индукция магнитного поля в железе больше, чем в воздухе.

  Величина, характеризующая магнитные свойства среды, в которой действует магнитное поле, называется магнитной проницаемостью (). Она показывает, во сколько раз магнитная индукция В в однородной изотропной среде больше (или меньше), чем в вакууме:

  

  Для вакуума . Если магнитная проницаемость какого-либо вещества меньше единицы, то это вещество называют диамагнитным. В таких веществах магнитное поле слабее, чем в вакууме при прочих равных условиях. К диамагнитным материалам относятся медь, серебро, углерод и другие (табл. 3.1).

  Таблица 3.1Если магнитная проницаемость вещества больше единицы, то такое вещество называют парамагнитным. Парамагнитными материалами являются вольфрам, платина, марганец и другие (табл. 3.2).

  
  
  

  
  
  

  Таблица 3.2Если магнитная проницаемость материала больше единицы во много раз, то такие материалы называют ферромагнитными (железо, никель, кобальт, некоторые сплавы). Эти материалы широко применяются в электротехнике, так как только их можно намагничивать.

  Для объяснения магнитных свойств различных веществ рассмотрим механизм действия магнитного поля на движущиеся заряды (электроны) в атомах и молекулах вещества.

  Электрон, вращающийся вокруг ядра атома по замкнутой орбите, представляет собой электрический ток (рис. 3.12). Вследствие этого возникает магнитное поле и движение электрона можно охарактеризовать орбитальным магнитным моментом

  где - частота вращения электрона по орбите; S - площадь орбиты. Вектор направлен в соответствии с правилом правого винта.

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  Вектор орбитального магнитного момента атома равен геометрической сумме орбитальных моментов отдельных электронов этого атома, т.е.

  где Z - порядковый номер химического элемента в таблице Д.И. Менделеева.

  Если вещество имеет молекулярное строение, то орбитальный магнитный момент молекулы равен векторной сумме орбитальных магнитных моментов атомов, входящих в состав молекулы.

  Независимо от орбитального движения электроны являются источниками магнитного поля, так как вращаются вокруг собственной оси, т.е. обладают собственным механическим моментом импульса - спином, и, как следствие, собственным (спиновым) магнитным моментом . Проекция вектора на направление вектора может иметь одно из двух значений: где - магнетон Бора.

  Таким образом, магнетизм атомов обусловлен двумя причинами: движением электронов по орбитам вокруг ядра и собственным моментом импульса (рис. 3.13).

  Если поместить вещество во внешнее магнитное поле, происходит упорядочение направлений векторов магнитных моментов отдельных атомов или молекул (намагничивание). В результате макроскопический объем магнетика приобретает определенный суммарный магнитный момент. Векторная физическая величина, определяемая магнитным моментом единицы объема вещества, называется намагниченностью:

  где n - число атомов или молекул в объеме V.

  У большинства атомов диамагнетиков нет собственного магнитного момента, его магнитный момент индуцирован внешним полем (подобно тому, как появляется электрический момент в неполярных диэлектриках). Учитывая, что наведенный магнитный момент пропорционален индукции внешнего поля , можно записать (по аналогии с диэлектриком)

  ,

  где в данном случае .

  Наведенные составляющие магнитных полей атомов (молекул) складываются и образуют собственное магнитное поле вещества, ослабляющее внешнее магнитное поле. Этот эффект называют диамагнитным эффектом. Таким образом, диамагнетики - вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления поля.

  Диамагнитный эффект не зависит от температуры, так как тепловое движение атомов не нарушает ориентации индуцированных токов внутри атомов. Диамагнитный эффект присущ практически любому веществу.

  Молекулы парамагнетиков имеют отличные от нуля собственные магнитные моменты. В отсутствие внешнего магнитного поля эти моменты расположены хаотически, поэтому вектор намагничивания равен нулю.

  При внесении парамагнетика в магнитное поле магнитные моменты отдельных атомов или молекул преимущественно ориентируются по полю. Таким образом, парамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его. Этот эффект называют парамагнитным эффектом.

  Тепловое движение атомов и молекул нарушает взаимную ориентацию магнитных моментов молекул, поэтому парамагнитный эффект зависит от температуры и парамагнетиков убывает с увеличением температуры.

  Предельным случаем парамагнетизма является ферромагнетизм. Его объяснение дается в квантовой теории, где показано, что в системе, состоящей из большого количества молекул, магнитные моменты которых обусловлены спинами электронов, действуют обменные силы, стремящиеся одинаково ориентировать спины двух соседних атомов (молекул). Поэтому в некоторых веществах (железо, сталь, кобальт, никель, их сплавы) возникают микроскопические области, имеющие вследствие сложения спинов электронов значительные магнитные моменты, т.е. самопроизвольно намагниченные до насыщения. Эти области получили название доменов.

  При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты отдельных доменов ориентированы хаотически и компенсируют друг друга, поэтому результирующий магнитный момент ферромагнетика равен нулю (вещество не намагничено). При внесении ферромагнетика во внешнее магнитное поле происходит ориентация по полю магнитных моментов не отдельных атомов, как у парамагнетиков, а целых областей спонтанной намагниченности.

  При возрастании температуры намагничивание ферромагнетиков уменьшается, они теряют свои магнитные свойства и превращаются в парамагнитные вещества. Для каждого ферромагнитного материала есть определенная температура перехода, называемая точкой Кюри. Например, для железа 1043 К, кобальта 1393 К, никеля 631 К.

  Характерная особенность ферромагнетиков состоит в том, что для них зависимость , а значит, и является нелинейной и определяется предысторией намагничивания вещества. Это явление называют магнитным гистерезисом.

  П

  -Нри намагничивании магнитное поле внутри ферромагнетика возрастает от нуля до некоторого значения Н (рис. 3.14). Изменение значения индукции в веществе характеризуется кривой ОL. Если уменьшать напряженность поля Н, то изменение индукции изобразится кривой LM, т.е. индукция ферромагнетика будет уменьшаться, но ее значения будут большими для соответствующих значений напряженности внешнего поля при намагничивании. При напряженности поля Н=0 индукция отлична от нуля, т.е. в этом состоянии (отрезок ОМ) ферромагнетик является постоянным магнитом. Чтобы уничтожить остаточное намагничивание, необходимо создать поле -Н, направленное противоположно первоначальному. Напряженность магнитного поля, при которой В=0, называется задерживающей, или коэрцитивной, силой Н_к. При последующем изменении поля индукция также изменяется, образуя петлю гистерезиса.

  В зависимости от значения задерживающей силы различают мягкие и жесткие ферромагнетики.

  Мягкие ферромагнетики имеют узкую петлю гистерезиса и малые значения коэрцитивной силы. К ним относятся железо, пермаллой и некоторые другие материалы. Из мягких ферромагнетиков изготавливают сердечники трансформаторов, генераторов и двигателей.

  Жесткие ферромагнетики характеризуются широкой петлей гистерезиса и соответственно большими значениями коэрцитивной силы. К ним относятся сталь и ее сплавы. Жесткие ферромагнетики используются для изготовления постоянных магнитов.

  Площадь петли гистерезиса характеризует ту работу, которую необходимо совершить для перемагничивания ферромагнетика.

  
  
  

  Краткие выводы

  
  
  

  • Взаимодействие между проводниками с током, т.е. взаимодействие между движущимися электрическими зарядами, осуществляется посредством особой формы материи - магнитного поля. Магнитное поле, как и электрическое, является одной из сторон единого электромагнитного поля.

  • Основной характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции . Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с единичным магнитным моментом, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля:

  

  • Магнитное поле изображается с помощью линий магнитной индукции. Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводник с током. Поля с замкнутыми силовыми линиями называют вихревыми. Направление силовых линий магнитного поля определяется по правилу буравчика.

  • Вектор характеризует результирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками. Магнитное поле макротоков описывается вектором напряженности . В случае однородной изотропной среды .

  • Магнитная индукция поля в некоторой точке А, создаваемого элементом проводника с током I определяется законом Био-Савара-Лапласа

  где - радиус-вектор, проведенный из элемента проводника в точку А.

  • Магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности (принцип суперпозиции магнитных полей):

  • На элемент проводника с током I, помещенный в магнитное поле, действует со стороны поля сила, которая согласно закону Ампера, равна:

  

  где - угол между и . Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки.

  • На движущуюся заряженную частицу в магнитном поле действует сила Лоренца

  

  где - угол между и . Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки. Магнитное поле действует только на движущиеся в нем заряды.

  • На движущуюся заряженную частицу одновременно в электрическом и магнитном полях действует сила (формула Лоренца)

  Электрическое поле изменяет скорость, а следовательно, кинетическую энергию частицы; магнитное поле изменяет только направление ее движения.

  • Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру в вакууме равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

  где n - число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Циркуляция вектора электростатического поля всегда равна нулю, т.е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора магнитного поля не равна нулю, такое поле называется вихревым.

  • Поток вектора магнитной индукции сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю (теорема Гаусса для поля ):

  Эта теорема отражает факт отсутствия в природе магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

  • Все вещества в магнитном поле намагничиваются, т.е. создают свое магнитное поле. Величина, показывающая, во сколько раз магнитная индукция в среде больше или меньше, чем в вакууме, называется магнитной проницаемостью:

  • По значению магнитной проницаемости различают диамагнетики (), парамагнетики () и ферромагнетики (). У ферромагнитных материалов зависит от внешнего магнитного поля.

  
  
  

  Вопросы для самоконтроля и повторения

  1. Что представляет собой магнитное поле, какими свойствами оно обладает?

  2. Что называют индукцией магнитного поля? Как определяют направление вектора магнитной индукции?

  3. Как связаны векторы напряженности и индукции магнитного поля?

  4. Запишите закон Био-Савара-Лапласа. Что позволяет рассчитывать применение этого закона?

  5. Назовите единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля, дайте их определения.

  6. Сформулируйте закон Ампера. Какая сила действует со стороны магнитного поля на движущийся заряд? Чему она равна?

  7. В чем заключается теорема о циркуляции вектора магнитной индукции? Какой вывод можно сделать, сравнивая циркуляцию векторов и ?

  8. Что называют потоком вектора магнитной индукции? Сформулируйте теорему Гаусса для магнитного поля, объясните ее физический смысл.

  9. Из каких магнитных моментов складывается магнитный момент атома? Что такое намагниченность вещества?

  10.Какие вещества называют диамагнетиками, парамагнетиками, ферромагнетиками? Каков механизм намагничивания ферромагнетиков? Что такое точка Кюри?

  
  
  

  Примеры решения задач

  
  
  

  Задача 1. На рис. изображены сечения трех прямолинейных бесконечно длинных проводников, по которым протекают токи в указанных направлениях. Расстояния между проводниками одинаковы и равны 5 см, Найти точку на прямой АС, в которой напряженность магнитного поля равна нулю.

  Дано: АВ=ВС=5 см,

  
  
  

  Решение

  Поставленному условию удовлетворяет точка М (в точке N напряженность результирующего поля , так как в ней по принципу суперпозиции модули векторов индукции и будут складываться).

  Для магнитного поля в вакууме откуда так как проводники прямолинейные.

  Для точки М по принципу суперпозиции

  или

  где расстояние от первого проводника до точки М.

  Решая это уравнение, получим а = 3,3 см.

  Ответ: искомая точка находится на прямой АС на расстоянии 3,3 см от первого проводника.

  Задача 2. Альфа-частица, имеющая скорость 10⁶ м/с, влетела в однородное магнитное поле, индукция которого 0,3 Тл. Скорость -частицы перпендикулярна направлению линий магнитной индукции. Найти радиус окружности, по которой будет двигаться частица, и период ее обращения.

  Дано:

  Найти:

  Решение

  На -частицу в магнитном поле действует сила Лоренца , перпендикулярная вектору скорости . Следовательно является центростремительной силой, т.е. или откуда

  Период обращения частицы где следовательно,

  Подставляя числовые данные, получим

  Ответ:

  Задача 3. Два параллельных длинных провода D и C, по которым протекают в одном направлении токи силой по 60 А, расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Определить индукцию магнитного поля в точке А, отстоящей от одного проводника на расстоянии 5 см, а от другого - на 12 см.

  Дано: , d = 10 см, r₁ = 5 см, r₂ = 12 см.

  Найти:

  
  
  

  
  
  

  Решение

  Согласно принципу суперпозиции полей

  Модуль индукции магнитного поля в точке А найдем по теореме косинусов:

  

  Поля создаются прямолинейными токами, поэтому

  Тогда

  Угол находим из треугольника DAC по теореме косинусов:

  откуда

  Подставляя числовые значения, получим

  Ответ:

  
  
  

  Задачи для самостоятельного решения

  
  
  

  1. По длинному прямому проводу течет ток силой 60 А. Определить индукцию магнитного поля в точке, удаленной от проводника на 5 см. (Ответ: 0,24 мТл).

  2. Кольцо из тонкого провода содержит 80 витков. Радиус кольца 20 см. Определить индукцию магнитного поля в центре кольца, если по проводу течет ток 0,6 А. (Ответ: 150,7 мкТл).

  3. По двум длинным параллельным проводами текут в одинаковом направлении токи 10 А и 15 А. Расстояние между проводами 10 см. Определить напряженность магнитного поля в точке, удаленной от первого провода на 8 см и от второго на 6 см. (Ответ: 44,5 А/м).

  4. Ток силой 20 А, протекая по проволочному кольцу из медной проволоки (ρ=1,7∙10^-8 Ом∙м) сечением 1 мм², создает в центре кольца напряженность магнитного поля 178 А/м. Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки, образующей кольцо? (Ответ: 0,12 В).

  5. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 400 В, влетает в однородное магнитное поле напряженностью 10³ А/м перпендикулярно его силовым линиям. Определить радиус кривизны траектории и частоту обращения электрона в магнитном поле. (Ответ: 5,4 см; 0,35∙10⁸ Гц).

  6. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на некотором расстоянии друг от друга. По проводникам протекают в одном направлении токи, равные по величине. Найти силу тока в проводниках, если известно, что для того, чтобы раздвинуть проводники на вдвое большее расстояние, необходимо совершить работу (на единицу длины проводников), равную 5,5∙10^-5 Дж/м. (Ответ: 20 А).

  7. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 0,5 кВ, движется параллельно прямолинейному длинному проводнику на расстоянии 1 см от него. Определить силу, действующую на электрон, если через проводник пропускать ток 10 А. (Ответ: 4,24∙10^-16 Н).

  8. По прямому горизонтально расположенному проводу пропускают ток =10 А. Под ним на расстоянии 1,5 см находится параллельный ему алюминиевый провод, по которому пропускают ток =1,5 А. Какой должна быть площадь поперечного сечения алюминиевого провода, чтобы он удерживался незакрепленным? Плотность алюминия 2,7 г/см³.

  (Ответ: 7,56∙10^-9 м²).

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

  
  
  

  План

  1. Закон электромагнитной индукции

  2. Явление самоиндукции. Индуктивность контура

  3. Взаимная индукция

  4. Энергия магнитного поля

  5. Практическое применение электромагнитной индукции

  
  
  

  4.1. Закон электромагнитной индукции

  
  
  

  Как отмечалось, вокруг любого проводника с электрическим током возникает магнитное поле. Английский физик М. Фарадей считал, что между электрическими и магнитными явлениями существует тесная взаимосвязь: раз вокруг проводника с током возникает магнитное поле, то должно иметь место и обратное явление - возникновение электрического тока в замкнутом проводнике под действием магнитного поля.

  В 1831 г. М. Фарадей экспериментально обнаружил, что при изменении магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, в нем возникает электрический ток. Это явление было названо электромагнитной индукцией («индукция» означает «наведение»).

  В одном из первых опытов на немагнитном стержне помещались две изолированные друг от друга медные спирали (рис. 4.1). Концы одной из них (1)

  через ключ

  К присоединялись к гальванической батарее Б, концы другой (2) - к гальванометру

  Г, регистрирующему слабые токи. При неизменной силе тока I₁ в первой спирали гальванометр показывал I₂=0. Однако при замыкании и размыкании ключа К стрелка гальванометра слегка отклонялась, а затем быстро возвращалась в исходное положение. Значит, в спирали 2 возникал кратковременный электрический ток, который был назван индукционным. Причиной возникновения индукционного тока I₂ является изменение магнитного поля, пронизывающего спираль 2. Направления индукционного тока при замыкании и размыкании ключа были противоположными.

  Явление электромагнитной индукции можно наблюдать и тогда, когда в магнитном поле, образовавшемся между полюсами постоянного магнита, перемещается замкнутый проводник. Если этот проводник находится в покое, то в нем никакого тока не будет. Но стоит только сдвинуть его с места и перемещать так, чтобы он пересекал силовые линии магнитного поля, как тотчас же в проводнике появится электродвижущая сила и, как следствие - индукционный ток. В данном случае индукционный ток возникает в проводнике за счет той механической энергии, которая затрачивается при перемещении проводника в магнитном поле. При этом механическая энергия преобразуется в энергию электрическую.

  После многочисленных опытов Фарадей установил, что в замкнутом проводящем контуре индукционный ток возникает лишь в тех случаях, когда он находится в переменном магнитном поле, независимо от того, каким способом достигается изменение во времени потока индукции магнитного поля. Обобщая результаты экспериментов, Фарадей пришел к количественному описанию явления электромагнитной индукции. Он показал, что при изменении сцепленного с контуром потока магнитной индукции, в контуре возникает индукционный ток; возникновение тока указывает на наличие в цепи электродвижущей силы. Значение ЭДС электромагнитной индукции определяется скоростью изменения магнитного потока:

  (4.1)

  где k - коэффициент пропорциональности.

  Рассмотрим, как возникает ЭДС индукции, а, следовательно, индукционный ток. Пусть проводник без тока длиной l движется в магнитном поле с индукцией со скоростью (рис. 4.2). При движении проводника его свободные электроны также будут двигаться вправо, т.е. возникает конвекционный ток. На каждый свободный электрон со стороны магнитного поля действует сила Лоренца . Под ее действием электроны накапливаются в нижней части проводника; соответственно положительные ионы будут накапливаться в верхней части и по концам проводника возникает разность потенциалов . Образуется электрическое поле напряженностью , препятствующее дальнейшему перемещению электронов. Это перемещение прекратится, когда , т.е. , или . С другой стороны, , т.е. .

  Если проводник замкнуть, то в цепи потечет электрический ток. Таким образом, в проводнике индуцируется ЭДС (4.2)

  В рассматриваемом случае , поэтому .

  Профессор Петербургского университета Э.Х. Ленц исследовал связь между направлением индукционного тока и характером вызвавшего его изменения магнитного потока. В 1833 г. он установил закон, известный как правило Ленца: при всяком изменении магнитного потока сквозь замкнутый проводящий контур в последнем возникает индукционный ток такого направления, что его магнитное поле противодействует изменению внешнего магнитного потока.

  Объединив закон Фарадея и правило Ленца, получим основной закон электротехники - закон электромагнитной индукции: (4.3)

  т.е. ЭДС электромагнитной индукции в замкнутом проводящем контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.

  Направление ЭДС индукции, а следовательно, и индукционного тока в проводнике, который перемещается в магнитном поле, можно также определить, пользуясь правилом правой руки. Это правило можно сформулировать следующим образом: если ладонь правой руки расположить так, чтобы силовые линии магнитного поля были ей перпендикулярны и входили в нее, а отогнутый большой палец указывал направление перемещения проводника, то остальные вытянутые пальцы укажут направление индукционного тока в проводнике.

  Как показано выше, возбуждение ЭДС индукции при движении контура в постоянном магнитном поле объясняется действием силы Лоренца, возникающей при перемещении проводника. Вместе с тем согласно закону Фарадея, возникновение индукционного тока возможно и в случае неподвижного контура, находящегося в переменном магнитном поле. Однако сила Лоренца на неподвижные заряды не действует, поэтому в данном случае ею нельзя объяснить возникновение ЭДС электромагнитной индукции.

  Дж. Максвелл для объяснения ЭДС индукции в неподвижных проводниках предположил, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. В этом случае проводник является лишь индикатором индуцированного (вихревого) электрического поля: поле приводит в движение свободные электроны проводника и тем самым обнаруживает себя.

  Таким образом, сущность явления электромагнитной индукции заключается не столько в появлении индукционного тока, сколько в возникновении вихревого электрического поля, являющегося носителем энергии. Это является одним из фундаментальных положений электродинамики.

  В отличие от электростатического поля индуцированное электрическое поле является непотенциальным, так как работа, совершаемая в вихревом электрическом поле при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру L, равна не нулю, а ЭДС электромагнитной индукции (4.4)

  где - вектор напряженности индуцированного электрического поля.

  Так как вихревое электрическое поле объективно существует и в отсутствие проводника, то его можно применять для ускорения заряженных частиц до скоростей, соизмеримых со скоростью света. На использовании этого принципа основано действие ускорителей электронов - бетатронов.

  
  
  

  4.2. Явление самоиндукции. Индуктивность контура

  
  
  

  Электрический ток, протекающий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция B которого по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока (BI). Следовательно, сцепленный с контуром магнитный поток Ф, также пропорционален силе тока (): (4.5)

  где L - коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.

  При изменении силы тока в контуре будет изменяться и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуцироваться ЭДС, обусловленная изменением его собственного магнитного поля. Такая ЭДС называется электродвижущей силой самоиндукции. Самоиндукция - это частный случай явления электромагнитной индукции.

  Из выражения (4.5) определяется единица индуктивности - генри (Гн): 1 Гн - индуктивность такого контура, магнитный поток которого при силе тока 1 А равен 1 Вб: 1 Гн = 1 Вб/А.

  Индуктивность контура зависит от его геометрической формы, размеров и от магнитных свойств среды, в которой он находится. Например, для катушки (соленоида) длиной l и площадью сечения витка S, намотанной на сердечник с магнитной проницаемостью ,

  (4.6)

  где N - общее число витков соленоида, - магнитная постоянная. Учитывая, что объем соленоида , а - число витков, приходящихся на единицу длины, формулу (4.6) можно переписать в виде (4.7)

  Из формул (4.6) и (4.7) следует, что индуктивность катушки, имеющей железный сердечник, больше, чем у катушки без сердечника. Катушка с железным сердечником, имеющая большой коэффициент самоиндукции, называется дросселем.

  Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея, получим, что ЭДС самоиндукции равна (4.8)

  где знак «минус», обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то и , т.е. ток самоиндукции направлен навстречу току внешнего источника и тормозит его возрастание. Если ток в контуре уменьшается, то и , т.е. возникающий ток самоиндукции замедляет убывание тока внешнего источника. Таким образом, контур, обладая определенной индуктивностью, приобретает электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность цепи.

  Из выражения (4.8) следует еще одно определение единица индуктивности: 1 Гн - это индуктивность такого контура, в котором при изменении тока на 1 ампер в секунду возникает ЭДС самоиндукции в 1 В, т.е. 1 Гн = 1 (В·с)/А.

  В случаях, когда по техническим условиям надо иметь катушку с весьма малой индуктивностью, применяют бифилярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и в таком виде наматывают на каркас катушки (рис. 4.3). При такой намотке ток

  в каждых двух соседних витках имеет противоположные направления, и поэтому действие магнитного потока одного витка компенсируется действием другого, а суммарный магнитный поток для такой обмотки должен равняться нулю.

  
  
  

  4.3. Взаимная индукция

  
  
  

  Если два контура расположены один возле другого и в каждом из них изменяется сила тока, то они будут взаимно влиять друг на друга. Изменение в первом контуре вызовет появление индуцированной ЭДС во втором контуре и, наоборот, изменение тока и магнитного поля второго контура будет причиной появления индуцированной ЭДС в первом контуре. Это явление называется взаимоиндукцией, а ЭДС, возникающая вследствие влияния контуров друг на друга, называется ЭДС взаимоиндукции.

  Таким образом, явление взаимоиндукции - это тоже одна из разновидностей электромагнитной индукции. Явление взаимоиндукции характеризуется коэффициентом взаимоиндукции или . Его называют также взаимной индуктивностью контуров. Коэффициент взаимоиндукции измеряют в тех же единицах, что и коэффициент самоиндукции, т.е. в генри и миллигенри.

  Рассмотрим два неподвижных контура, расположенных достаточно близко друг от друга (рис. 4.4). Если в контуре 1 те-

  чет ток силой , то магнитный поток, создаваемый этим током, пропорционален . Часть этого потока , пронизывающая контур 2, будет равна где - взаимная индуктивность контуров.

  Если ток изменяется, то в контуре 2 индуцируется ЭДС

  (4.8)

  Аналогично, при протекании тока силой в контуре 2 его магнитный поток пронизывает контур 1 и (4.9)

  Расчеты, подтверждаемые опытом, показывают, что . Эти коэффициенты зависят от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и магнитной проницаемости среды, окружающей контуры.

  Из формул (4.8) и (4.9) следует, что взаимоиндукция в один генри будет между двумя контурами тогда, когда в одном из них возникает ЭДС взаимоиндукции, равная одному вольту при изменении силы тока в другом контуре на один ампер в секунду.

  Явление взаимоиндукции используется в электротехнических устройствах, которые применяются для повышения и понижения напряжения переменного тока. Такие устройства называют трансформаторами.

  Индукционные явления служат причиной возникновения внутри металлов паразитных токов. Эти токи называют вихревыми токами или токами Фуко.

  Природа вихревых токов индуктивная, и возникают они в соответствии с правилом Ленца. Вихревые токи появляются в массивных проводниках, находящихся в переменном магнитном поле. Каждый такой ток образует как бы свой небольшой электромагнит. Магнитные поля, обусловленные вихревыми токами, взаимодействуют с основным полем.

  Следствием появления вихревых токов является нагревание металла, т.е. потери энергии на выделение джоулевой теплоты. Для уменьшения таких потерь часто железные сердечники электротехнических устройств изготавливают из отдельных пластин, изолированных друг от друга.

  В металлургии вихревые токи используются для плавки металлов в индукционных печах. Торможение, которое появляется вследствие взаимодействия магнитного поля вихревых токов с основным магнитным полем, используется в некоторых измерительных устройствах.

  
  
  

  4.4. Энергия магнитного поля

  
  
  

  Магнитное поле, подобно электрическому полю, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна той работе, которая затрачивается электрическим током на создание этого поля.

  Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток силой I. С данным контуром сцеплен магнитный поток Ф=LI, причем при изменении тока на величину dI магнитный поток изменяется на dФ=LdI. Однако для изменения магнитного потока на величину dФ ток должен совершить работу

  Тогда работа по созданию магнитного потока Ф, численно равная энергии магнитного поля, связанного с контуром, будет равна (4.10)

  Формулу (4.10) можно получить также, воспользовавшись законом Ома. При изменении тока I в замкнутом контуре возникает ЭДС самоиндукции, противодействующая этому изменению. По закону Ома сила тока в контуре с сопротивлением R и индуктивностью L равна

  

  где - ЭДС источника электроэнергии; - ЭДС самоиндукции, которая по закону Фарадея равна Таким образом,

  Работа, совершаемая источником электроэнергии за время dt, равна

  

  Первое слагаемое в правой части выражения представляет собой джоулеву работу, расходуемую на нагревание проводника, второе - дополнительную работу, обусловленную индукционными явлениями. Следовательно, работа, затрачиваемая на увеличение силы тока в контуре от нуля до I, равна

  Таким образом, увеличение силы тока в проводнике вызывает соответствующее усиление его магнитного поля и увеличение энергии магнитного поля этого контура с током.

  Формула (4.10) позволяет также дать следующее энергетическое определение индуктивности: индуктивность контура численно равна удвоенной энергии магнитного поля, создаваемого проходящим по контуру током единичной силы.

  Сравнивая выражения для энергий конденсатора и контура с током с потенциальной и кинетической энергиями, можно провести аналогию между электромагнитными и механическими явлениями. Так, для электрического поля величина , обратная емкости, аналогична жесткости пружины, а для магнитного поля индуктивность L аналогична массе тела m. Таким образом, еще раз можно заключить, что индуктивность является мерой инертности контура по отношению к изменению в нем тока.

  
  
  

  4.5. Практическое применение электромагнитной индукции

  
  
  

  Явление электромагнитной индукции используется, прежде всего, для преобразования механической энергии в энергию электрического тока. Для этой цели применяются генераторы переменного тока (индукционные генераторы).

  Простейшим генератором переменного тока является проволочная рамка, вращающаяся равномерно с угловой скоростью =const в однородном магнитном поле с индукцией В (рис. 4.5). Поток магнитной индукции, пронизывающий рамку площадью S, равен .

  При равномерном вращении рамки угол поворота , где - частота вращения. Тогда

  По закону электромагнитной индукции ЭДС, наводимая в рамке при ее вращении,

  

  Если к зажимам рамки с помощью щеточно-контактного аппарата подключить нагрузку (потребителя электроэнергии), то через нее потечет переменный ток.

  Для промышленного производства электроэнергии на электрических станциях используются синхронные генераторы (турбогенераторы, если станция тепловая или атомная,

  и гидрогенераторы, если станция гидравлическая). Неподвижная часть синхронного генератора называется статором, а вращающаяся - ротором (рис. 4.6).

  Ротор генератора имеет обмотку постоянного тока (обмотку возбуждения)

  и является мощным электромагнитом.

  Постоянный ток, подаваемый на обмотку возбуждения через щеточно-контактный аппарат, намагничивает ротор, и при этом образуется электромагнит с северным и южным полюсами.

  На статоре генератора расположены три обмотки переменного тока, которые смещены одна относительно другой на 120⁰ и соединены между собой по определенной схеме включения.

  При вращении возбужденного ротора с помощью паровой или гидравлической турбины его полюсы проходят под обмотками статора, и в них индуцируется изменяющаяся по гармоническому закону электродвижущая сила. Далее генератор по определенной схеме электрической сети соединяется с узлами потребления электроэнергии.

  Если передавать электроэнергию от генераторов станций к потребителям по линиям электропередачи непосредственно (на генераторном напряжении, которое относительно невелико), то в сети будут происходить большие потери энергии и напряжения (обратите внимание на соотношения , ). Следовательно, для экономичной транспортировки электроэнергии необходимо уменьшить силу тока. Но так как передаваемая мощность при этом остается неизменной, напряжение должно увеличиться во столько же раз, во сколько раз уменьшается сила тока.

  У потребителя электроэнергии, в свою очередь, напряжение необходимо понизить до требуемого уровня. Электрические аппараты, в которых напряжение увеличивается или уменьшается в заданное количество раз, называются трансформаторами. Работа трансформатора также основана на законе электромагнитной индукции.

  Рассмотрим принцип работы двухобмоточного трансформатора (рис. 4.7). При прохождении переменного тока по первичной обмотке вокруг нее возникает переменное магнитное поле с индукцией В, поток которого также переменный .

  Сердечник трансформатора служит для направления магнитного потока (магнитное сопротивление воздуха велико). Переменный магнитный поток, замыкающийся по сердечнику, индуцирует в каждой из обмоток переменную ЭДС:

  

  

  Тогда

  У мощных трансформаторов сопротивления катушек очень малы, поэтому напряжения на зажимах первичной и вторичной обмоток приблизительно равны ЭДС:

  

  где k - коэффициент трансформации. При k<1 () трансформатор является повышающим, при k>1 () трансформатор является понижающим.

  При подключении ко вторичной обмотке трансформатора нагрузки, в ней потечет ток . При увеличении потребления электроэнергии по закону сохранения энергии должна увеличиться энергия, отдаваемая генераторами станции, т.е. откуда

  Это означает, что, повышая с помощью трансформатора напряжение в k раз, удается во столько же раз уменьшить силу тока в цепи (при этом джоулевы потери уменьшаются в k² раз).

  
  
  

  Краткие выводы

  
  
  

  • Явление возникновения ЭДС в замкнутом проводящем контуре, находящемся в переменном магнитном поле или движущемся в постоянном магнитном поле, называется электромагнитной индукцией.

  • Согласно закону электромагнитной индукции ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром:

  Знак минус отражает правило Ленца: при всяком изменении магнитного потока сквозь замкнутый проводящий контур в последнем возникает индукционный ток такого направления, что его магнитное поле противодействует изменению внешнего магнитного потока.

  • Сущность явления электромагнитной индукции заключается не столько в появлении индукционного тока, сколько в возникновении вихревого электрического поля. Вихревое электрическое поле порождается переменным магнитным полем. В отличие от электростатического поля вихревое электрическое поле является непотенциальным, его силовые линии всегда замкнуты, подобно силовым линиям магнитного поля.

  • Частным случаем явления электромагнитной индукции является самоиндукция. Самоиндукция - это возникновение ЭДС в проводящем контуре при изменении в нем силы тока: где L - индуктивность (коэффициент самоиндукции), зависящая от геометрической формы, размеров контура и магнитных свойств среды, в которой он находится.

  • Сравнивая выражения и для энергии электрического и магнитного полей с потенциальной и кинетической энергией

  и , можно провести аналогию между электромагнитными и механическими явлениями. Очевидно, что для магнитного поля индуктивность аналогична массе тела. Таким образом, индуктивность является мерой электрической инертности контура по отношению к изменению в нем тока.

  • Явление электромагнитной индукции и его частные случаи широко применяются в электротехнике. Для преобразования механической энергии в энергию электрического тока используются синхронные генераторы. Для повышения или понижения напряжения переменного тока применяются трансформаторы. Использование трансформаторов позволяет экономично передавать электроэнергию от электрических станций к узлам потребления.

  Вопросы для самоконтроля и повторения

  
  
  

  1. Что называют явлением электромагнитной индукции? Сформулируйте закон электромагнитной индукции.

  2. В чем заключается правило Ленца?

  3. Охарактеризуйте вихревое электрическое поле. Чем такое поле отличается от электростатического поля?

  4. В чем заключаются явления самоиндукции и взаимоиндукции?

  5. Что такое индуктивность контура? От чего она зависит, каков ее физический смысл?

  6. Какие токи называют вихревыми? Почему сердечники трансформаторов не делают сплошными?

  7. Расскажите принцип работы генератора переменного тока, трансформатора.

  
  
  

  Примеры решения задач

  
  
  

  1. Задача 1. В однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая 1000 витков. Площадь рамки 150 см². Рамка делает 10 об/с. Определить мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее углу поворота рамки в 30⁰ (рис. 4.8).

  Дано:

  Найти:

  Решение

  Мгновенное значение ЭДС индукции определяется законом электромагнитной индукции Фарадея г

  Рис. 4.8де - потокосцепление, связанное с потоком Ф индукции магнитного поля соотношением

  При вращении рамки магнитный поток, пронизывающий контур, изменяется со временем по гармоническому закону

  где - циклическая частота.

  Таким образом,

  Подставляя в эту формулу исходные данные, получим:

  Ответ:

  Задача 2. В однородном магнитном поле с индукцией 0,3 Тл помещена прямоугольная рамка с подвижной стороной, длина которой 15 см. Определить ЭДС индукции, возникающую в рамке, если ее подвижная сторона перемещается перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью 10 м/с (рис. 4.9).

  Дано:

  Найти:

  Решение

  Согласно закону электромагнитной индукции

  где

  
  
  
  
  
  
  

  Ответ:

  
  
  

  Задачи для самостоятельного решения

  
  
  

  1. В однородном магнитном поле с индукцией перпендикулярно полю движется проводник длиной . Какая ЭДС наводится в проводнике к моменту, когда он переместится на ? Начальная скорость проводника , ускорение . (Ответ: ).

  2. Самолет летит горизонтально со скоростью . Определить ЭДС индукции, возникающей на крыльях самолета, если их размах составляет , а модуль вертикальной составляющей магнитного поля Земли . (Ответ: ).

  3

  b. Плоскость прямоугольной проволочной рамки abcd перпендикулярна индукции магнитно

  го поля . Сторона рамки bc длиной может скользить без нарушения контакта

  с постоянной скоростью по сторонам ab и dc (рис.) Между точками a и d включена лампочка сопротивлением . Какую силу нужно приложить к стороне bc для осуществления такого движения? Сопротивлением остальной части рамки пренебречь. (Ответ: ).

  4. В однородном магнитном поле с индукцией расположены вертикально на расстоянии два металлических прута, замкнутых наверху. Плоскость, в которой расположены прутья, перпендикулярна к направлению индукции магнитного поля (рис.). По прутьям без трения и без нарушения контакта скользит вниз с постоянной скоростью перемычка ab массой . Определить сопротивление перемычки. Сопротивлением остальной части пренебречь. (Ответ: ).

  5. Прямоугольная проволочная рамка со стороной l находится в магнитном поле с индукцией

  В, линии которой перпендикулярны к плоскости рамки. По рамке без нарушения контакта скользит с постоянной скоростью v перемычка ab сопротивлением R (рис.). Определить ток через перемычку. Сопротивлением остальных частей рамки пренебречь. (Ответ: ).

  6. Проводящий стержень длиной и сопротивлением

  может скользить по горизонтально расположенным шинам, которые соединены с источником постоянного тока с ЭДС и внутренним сопротивлением . К середине стержня прикреплена невесомая пружина с коэффициентом жесткости , расположенная в горизонтальной плоскости. Перпендикулярно плоскости проводников действует однородное магнитное поле с индукцией (рис.). Пренебрегая сопротивлением шин и проводов, определить энергию деформации пружины. (Ответ: ).

  7. По горизонтальным параллельным рельсам, расстояние между которыми равно , может скользить без трения перемычка массой . Рельсы соединены резистором сопротивлением и помещены в вертикальное однородное магнитное поле индукцией . Перемычке сообщают скорость (рис.). Найти путь , пройденный перемычкой до остановки. (Ответ: ).

  8. Магнитная индукция поля между полюсами двухполюсного генератора равна 1 Тл. Ротор имеет 140 витков (площадь каждого витка S=500 см²). Определить частоту вращения ротора, если максимальное значение ЭДС индукции равно 220 В. (Ответ: 5 с^-1).

  9. Трансформатор с коэффициентом трансформации 0,15 понижает напряжение с 220 В до 6 В. При этом сила тока во вторичной обмотке равна 6 А. Пренебрегая потерями энергии в первичной обмотке, определить сопротивление вторичной обмотки трансформатора. (Ответ: 4,5 Ом).

  10. Трансформатор, понижающий напряжение с 220 В до 12 В, содержит в первичной обмотке 2000 витков. Сопротивление вторичной обмотки 0,15 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной обмотки, определить число витков во вторичной обмотке, если в сеть пониженного напряжения передается мощность Р = 20 Вт. (Ответ: 111).

  
  
  

  ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

  
  
  

  План

  
  
  

  1. Вихревое электрическое поле

  2. Ток смещения

  3. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

  
  
  

  5.1. Вихревое электрическое поле

  
  
  

  В 60-х годах XIX в. английский ученый Дж. Максвелл (1831-1879) обобщил экспериментально установленные законы электрического и магнитного полей и создал законченную единую теорию электромагнитного поля. Она позволяет решить основную задачу электродинамики: найти характеристики электромагнитного поля заданной системы электрических зарядов и токов.

  Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, всякое изменение магнитного поля во времени приводит к возникновению ЭДС индукции и появлению индукционного тока в проводниках, находящихся в этом магнитном поле. Многочисленные опыты показали, что ЭДС совершенно не зависит от проводника, его свойств (однородности, сопротивления). Возникновение ЭДС электромагнитной индукции возможно и в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле.

  Однако ЭДС в любой цепи обусловлена действием на носители тока сторонних сил не электростатического происхождения. Поэтому, прежде всего, возникает вопрос о природе сторонних сил в данном случае.

  Опыт показывает, что в случае электромагнитной индукции сторонние силы не связаны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в контуре. Их возникновение также нельзя объяснить силой Лоренца, так как она на неподвижные заряды не действует. Следовательно, поле сторонних сил создается в самом пространстве, где происходит изменение магнитного поля и присутствие замкнутого проводника вовсе не обязательно: контур, в котором наводится ЭДС индукции, является лишь своего рода индикатором, обнаруживающим это поле.

  Максвелл выдвинул гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле , циркуляция которого и является причиной возникновения ЭДС электромагнитной индукции в контуре:

  (5.1)

  Уравнение (5.1) называют вторым уравнением Максвелла. Смысл его заключается в том, что изменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое, а последнее в свою очередь вызывает в окружающем диэлектрике или вакууме изменяющееся магнитное поле. Поскольку магнитное поле создается электрическим током, то, согласно Максвеллу, вихревое электрическое поле следует рассматривать как некоторый ток, который протекает как в диэлектрике, так и в вакууме. Максвелл назвал этот ток током смещения. Механизм тока смещения будет рассмотрен ниже.

  Подставив в (5.1) выражение для потока магнитной индукции , получим

  

  Если поверхность и контур неподвижны, то операции дифференцирования и интегрирования можно поменять местами. Следовательно, (5.2)

  где символ частной производной подчеркивает тот факт, что интеграл является функцией только от времени.

  Как рассматривалось ранее (см. 1.4), циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю, т.е.

  Сравнивая это выражение с (5.1), видим, что между полями и имеется принципиальное различие: циркуляция вектора не равна нулю, следовательно, электрическое поле, возбуждаемое переменным магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым.

  
  
  

  5.2. Ток смещения

  
  
  

  Ток смещения введен Максвеллом для установления количественных соотношений между переменным электрическим полем и вызываемым им вихревым магнитным полем.

  Механизм возникновения тока смещения в диэлектрике можно понять, рассмотрев один из опытов А.А. Эйхенвальда. Диэлектрический диск Д (рис. 5.1) вращается между четырьмя неподвижными заряженными полудисками . При прохождении точками диска плоскости ab, разделяющей заряженные полудиски и перпендикулярной чертежу, меняется знак поля, действующего на диэлектрик, и происходит изменение знака его поляризации. Если вращение происходит по стрелке, но на левой стороне диска вместо положительных зарядов при переходе через плоскость ab появляются отрицательные, а на правой стороне вместо отрицательных появляются положительные заряды. Это означает, что в движущемся диске в плоскости ab происходит как бы течение зарядов - слева направо положительных, а справа налево отрицательных. Эти движения зарядов, представляющие собой смещения их в молекулах диэлектрика, образуют ток смещения в диэлектрике. Эйхенвальд установил, что токи смещения также создают вокруг себя магнитное поле.

  Токи смещения наблюдаются в конденсаторе, включенном в цепь переменного тока.

  Для цепи постоянного тока конденсатор является бесконечно большим сопротивлением, если только его диэлектрик не обладает утечкой. В такой цепи лишь в момент ее замыкания протекает импульс зарядного тока, соответствующий максимальному смещению электронов проводимости.

  Если цепь с конденсатором питать переменным током, то в ней за каждый период протекают токи заряда и разряда конденсатора, сопротивление которого теперь не бесконечно большое, а зависит от емкости конденсатора и частоты тока

  

  Согласно воззрениям Фарадея и Максвелла, конденсатор нужно рассматривать не как разрыв цепи, а как участок с другим механизмом проводимости. Если между обкладками конденсатора находится полярный или поляризующийся в электрическом поле диэлектрик, то при наличии разности потенциалов между обкладками конденсатора электрические заряды смещаются вдоль линий напряженности поля. Это смещение ионов образует ток смещения в диэлектрике.

  Ток смещения существует не только в диэлектрике, но и в вакууме, где он представляет собой изменение напряженности электрического поля во времени.

  Рассмотрим процессы, протекающие в цепи переменного тока, содержащей конденсатор (рис. 5.2). Зарядный ток, который протекает через конденсатор в виде тока смещения, равен

  

  где - поверхностная плотность заряда на обклад-

  ках конденсатора; D - электрическое смещение в конденсаторе, причем (см. 1.9). Подынтегральное выражение можно рассматривать

  как частный случай скалярного произведения векторов , когда и взаимно параллельны. Поэтому для общего случая (5.3)

  С другой стороны силу тока сквозь произвольную поверхность S можно определить как поток вектора плотности тока

  Тогда

  Сравнивая это выражение с (6.3), получим (5.4)

  В свою очередь электрическое смещение , где - вектор поляризации. Следовательно, плотность тока смещения (5.5)

  где - плотность тока поляризации, обусловленного движением электрических зарядов в диэлектрике. Этот ток возбуждает свою составляющую магнитного поля, так как токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости; - плотность тока смещения в вакууме, не связанного с перемещением зарядов диэлектрика, а обусловленная только изменением электрического поля во времени. Эта составляющая тока смещения также возбуждает магнитное поле.

  Таким образом, ток смещения, как это следует из теории Максвелла и опытов Эйхенвальда, создает такое же магнитное поле, как и ток проводимости. Введение тока смещения позволяет рассматривать электрическую цепь с включенными диэлектрическими или вакуумными участками как замкнутую цепь. Проводимость этих участков зависит от скорости изменения поля, т.е. от частоты.

  В своей теории Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимости и смещения. Следовательно, плотность полного тока

  

  По Максвеллу полный ток в цепи всегда замкнут, т.е. на концах проводников обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости.

  Введя понятие полного тока, Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора (или ): (5.6)

  Уравнение (5.6) называется первым уравнением Максвелла в интегральной форме. Оно представляет собой обобщенный закон полного тока и выражает основное положение электромагнитной теории: токи смещения создают такие же магнитные поля, как и токи проводимости.

  
  
  

  5.3. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

  
  
  

  Созданная Максвеллом единая макроскопическая теория электромагнитного поля позволила с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но предсказать новые, существование которых было впоследствии подтверждено на практике (например, открытие электромагнитных волн).

  Обобщая рассмотренные выше положения, приведем уравнения, составляющие основу электромагнитной теории Максвелла.

  1. Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля:

  

  Это уравнение показывает, что магнитные поля могут создаваться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

  2. Электрическое поле может быть как потенциальным (), так и вихревым (), поэтому напряженность суммарного поля . Так как циркуляция вектора равна нулю, то циркуляция вектора напряженности суммарного электрического поля

  

  Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняющиеся во времени магнитные поля.

  Для полного описания явлений в электрических и магнитных полях к уравнениям Максвелла надо добавить теорему Гаусса, а также выражения, связывающие напряженности поля и индукции в однородных средах: ,

  

  

  где - объемная плотность заряда внутри замкнутой поверхности; - удельная проводимость вещества.

  Для стационарных полей (E=const, B=const) уравнения Максвелла принимают вид

  

  

  т.е. источниками магнитного поля в данном случае являются только токи проводимости, а источниками электрического поля - только электрические заряды. В этом частном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрические и магнитные поля.

  Используя известные из векторного анализа теоремы Стокса и Гаусса (см. Приложение 2), можно представить полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

  (5.7)

  Очевидно, что уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

  Уравнения Максвелла - наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме ту же роль, что и законы Ньютона в механике.

  
  
  

  Краткие выводы

  
  
  

  • Согласно гипотезе Максвелла, всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. Электрическое поле , возбуждаемое переменным магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым.

  • По Максвеллу, должна иметь место симметрия во взаимозависимости электрических и магнитных полей: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.

  • Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и возбуждаемым им магнитным полем, Максвеллом введено понятие тока смещения. Току смещения Максвелл приписал способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

  • Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме

  .

  • Величины, входящие в эти уравнения, не являются независимыми и связаны между собой соотношениями

  • Полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме

  

  • Уравнения Максвелла отражают тот факт, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля. Магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

  • Уравнения Максвелла не обладают симметрией относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

  • Электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом и образуют единое электромагнитное поле.

  
  
  

  Вопросы для самоконтроля и повторения

  
  
  

  1. Что является причиной возникновения вихревого электрического поля? Чем оно отличается от электростатического поля?

  2. Чему равна циркуляция вектора напряженности вихревого электрического поля?

  3. Для чего введено понятие тока смещения? Что он собой по существу представляет?

  4. Запишите обобщенную теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля.

  5. Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах, объясните физический смысл каждого из уравнений.

  6. Запишите полную систему уравнений Максвелла для стационарных полей и объясните физический смысл каждого из уравнений.

  7. Какие основные выводы можно сделать на основе электромагнитной теории Максвелла?

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  Приложение 1

  Некоторые знаменательные события в истории развития электродинамики

  
  
  1895

  
  
  

  Первое использование электромагнитных волн для беспроволочной связи.

  А. Попов

  1897

  Открыт электрон.

  Д. Томсон

  1908

  Создан прибор для регистрации заряженных частиц.

  Г. Гейгер,

  Э. Резерфорд

  1911

  Экспериментально доказана дискретность электрических зарядов.

  Р. Милликен

  1911

  Открыто явление сверхпроводимости.

  Г. Камерлинг-Оннес

  1986

  Открыто явление высокотемпературной сверхпроводимости.

  К. Мюллер,

  Г. Беднорц

  
  
  

  
  
  

  Приложение 2

  
  
  

  Элементы векторной алгебры

  
  
  

  Векторное поле

  
  
  

  Если каждой точке М ставится в соответствие вектор , то говорят о векторном поле (например, поле электрической напряженности, гравитационное поле, поле магнитной напряженности). В декартовых координатах

  

  где - радиус-вектор. Компоненты образуют три скалярных поля и однозначно определяют - векторную функцию векторного аргумента.

  
  
  

  Дивергенция векторного поля

  Дивергенцией векторного поля (обозначается ) называют следующую производную по объему поля в точке М:

  
  
  

  Величина есть скалярный поток векторного поля через замкнутую поверхность S, которая окружает точку М и охватывает область G с объемом V.

  Дивергенция есть мера источников поля . Если в области G , то векторное поле называется свободным от источников. Те точки поля, в которых , принято называть источниками поля, а те, в которых - стоками поля.

  Ротор векторного поля

  
  
  

  Ротором (вихрем) векторного поля (обозначается

  ) называют следующую производную по объему поля в точке М:

  Теорема Стокса

  
  
  

  Циркуляция векторного поля по замкнутой кривой L равна потоку ротора этого поля через поверхность S, опирающуюся на кривую L:

  
  
  

  Формула Гаусса-Остроградского

  
  
  

  Для пространственной области G, ограниченной замкнутой поверхностью S,

  
  
  

  

  
  
  

  Библиографический список

  
  
  

  1. Савельев И.В. Курс общей физики: В 3 т. - М.: Наука, 1989.

  2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высш. шк., 1989. - 608 с.

  3. Курс физики: Учеб. для вузов: В 2 т. / Под ред. В.Н. Лозовского. - СПб.: Издательство «Лань», 2001. - 576 с.

  4. Ремизов А.Н., Потапенко А.Я. Курс физики: Учеб. для вузов. - М.: Дрофа, 2002. - 720 с.

  5. Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 1990. - 478 с.

  6. Трофимова Т.И. Краткий курс физики: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 2004. - 352 с.

  7. Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с решениями: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 1999. -591 с.

  8. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. Ред. кол. Д.М. Алексеев, А.М. Бонч-Бруевич, А.С. Боровик-Романов и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1984. - 944 с.

  9. Енохович А.С. Справочник по физике и технике: Учеб. пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1989. - 224 с.

  10. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики: Учеб. пособие для втузов. - М.: Наука, 1973. - 464 с.

  11. Дмитриева В.Ф. Физика: Учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования. - М.: Издат. центр «Академия», 2003. - 464 с.

  12. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике: Учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 1981. - 496 с.

  13. Пасечник Н.Д. Элементарная электротехника. - Киев: Гос. изд-во техн. литературы УССР, 1957. - 224 с.

  14. Телеснин Р.В., Яковлев В.Ф. Курс физики. Электричество: Учеб. пособие. - М.: Просвещение, 1970. - 488 с.