Мини - сборник задач по физике. Производная и интеграл при решении задач.

Мини - сборник задач по физике.

Производная и интеграл при решении задач.

1. Применение производной для решения задач по физике

Задача 1

Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону х(t) = t² +t + 1. Какова кинетическая энергия тела в конце третьей секунды движения после начала движения и сила, действующая на тело?

Дано:

m =4 кг

х(t) = t² +t + 1

t=3 с

W_к ? F?

Решение: Скорость есть функция времени, поэтому

= х'(t)

= 2t + 1

(3) = 7 м/с

В физике скорость изменения скорости называется ускорением.

a(t) = '(t)

a(t) =2м/с²

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической точки зрения дифференцирование - определение скорости изменения переменной величины. Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной х. Последняя не обязана иметь физический смысл времени.

W =

W = 98 Дж

F = ma

F = 8 Н

Ответ: 98 Дж; 8 Н.

Задача 2

Зависимость между массой вещества М, получаемого в химической реакции и временем t выражается уравнением: М(t) = Аt² +Bt, где А и В - постоянные. Какова скорость реакции?

Дано:

М(t) = Аt² +Bt

Скорость химической реакции определяется: = М'(t)

= 2 At+ B

Ответ: 2 At+ B

Задача 3

Конденсатор ёмкостью C и зарядом q₀ разряжается через резистор R по закону: q = q₀ Найти скорость изменения заряда конденсатора. Какова скорость в начале разряда (t = 0)?

Дано:

q = q₀

q'(t) ? q'(0) ?

Решение:

q'(t) = (q₀' = q₀ ('·(- )' = q₀ = -

q'(0)= -

Ответ: - ; - .

Задача 4

Концентрация некоторого вещества в крови человека вследствие его выведения из организма изменяется по закону: n(t) = 2. Как изменяется скорость выведения вещества из организма с течением времени? Какой смысл имеет знак скорости?

Дано:

n(t) = 2

n'(t) ?

Решение:

n'(t) = (2 = 2 ( · (- 0,05t)' = 2 · (- 0,05) = -0,1

Ответ: -0,1; знак (-) означает убывание концентрации вещества с течением времени.

Задача 5

В двухэлектродной лампе сила анодного тока зависит от анодного напряжения по закону: I(U) = , где - постоянная, зависящая от формы, размеров, расположения электродов. Получить формулу прироста тока на каждую единицу изменения напряжения.

Дано:

I(U) =

I'(U)?

Решение:

I'(U) = )' =

Исходя из определения производной I'(U) = tg

I'(U) = lim

Ответ: .

Задача 6

Каково изменение периода колебаний математического маятника при изменении его длины?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

T = 2.

T'(l) = (2)' = 2(()' ·( )' = 2 · (· = · = .

Ответ:

Задача 7

Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура с течением времени изменяется по закону: q = 10^-6. Записать уравнение зависимости силы тока от времени.

Дано:

q = 10^-6

I(t) ?

Решение:

I(t) = q'(t) = 10^-6· 10⁴ = 10^-2

Ответ: 10^-2

Применение интеграла для решения задач по физике

Задача 1

Уравнение скорости материальной точки имеет вид: Напишите уравнение движения x = x(t).

Дано:

x = x(t)?

Решение:

x = = = 6· - 3· = 2t³ -t².

Ответ: 2t³ -t²

Задача 2

По закону Гука сила упругости пропорциональна растяжению пружины. Сила в 100 Н растягивает пружину на 2 см. Какую работу она при этом совершает?

Дано:

F = 100 H

x = 0,02 м

А?

Решение:

По закону Гука: F = kx, k = .

K = 500

А =

A = = k·

A = 0,1 Дж

Ответ: 0,1 Дж

Задача 3

ЭДС изменяется по закону: = - 0,01 . Как изменяется магнитный поток?

Дано:

= - 0,01

Ф = Ф(t)?

Решение:

Ф = = = - 0,01 · (- =

0,01 .

Ответ: 0,01 .

Задача 4

Электрические заряды q₁ = 1 нКл, q₂ = 4 нКл расположены на расстоянии 20 см друг от друга. Найти работу по перемещению зарядов, если расстояние увеличилось до 40 см.

Дано:

q₁ = 1 нКл

q₂ = 4 нКл

r₁ = 20 см

r₂ = 40 см

А?

Решение:

По закону Кулона F =k .

A = = dr = kq₁q₂ = kq₁q₂ dr = kq₁q₂ ( =

= kq₁q₂(

A = 90·10^-9 Дж = 90 нДж.

Ответ: 90 нДж.

Задача 5

Из шахты глубиной 200 м равномерно поднимают клеть весом 15 кН с помощью каната, намотанного на барабан. Вес каждого метра каната 30 Н. Какова работа, необходимая для поднятия клети.

Дано:

h = 200 м

P = 15 000Н

P₀ = 30 Н

А?

Решение:

Работа, необходимая для поднятия клети, равна сумме работ для поднятия самой клети и каната.

А =А₁ + А₂

Работа по поднятию клети А₁ = P h

Работа по поднятию каната А₂ = = = P₀· = P₀· .

А = P h + P₀· .

А = 3,6 · 10⁶ Дж

Ответ: 6,6 МДж

Задача 6

На оси ОХ закреплено тело массой 10 кг. В точке с координатой 10 м находится тело массой 20 кг. Найти работу силу тяготения, если тело массой 20 кг перемещается в точку с координатой 20 м.

Дано:

m₁ = 10 кг

m₂ = 20 кг

r₁ = 10 м

r₂ = 20 м

А?

Решение:

Так как сила тяготения будет направлена к началу координат, поэтому

F = - .

A = = - = - = - G(- r)^{- 1} = G( - ).

A =

Задача 7

Найти работу изотермического расширения идеального газа под поршнем цилиндра, если площадь цилиндра S, объём изменяется от V₁ до V₂, а высота столба газа от L₁ до L₂.

Дано:

S, V₁ ,V₂

L₁ ,L₂

A?

Решение:

Работа силы давления газа равна

A = .

Cилы давления газа равна: F = PS

Из уравнения Менделеева-Клапейрона получается:

P = Обозначим как С. V = SL. Тогда А = = = = c .

dV = SdL, A = C ln = C(ln) = C·ln.

Ответ: C·ln