Прикладной курс по физике: 'Точки соприкосновения математики и физики при решении физических задач'

Прикладной курс по физике

Тема: «Точки соприкосновения

физики и математики при решении физических задач»

Учитель физики: Быкова Мария Александровна

Класс: 11 «Б»

Количество часов: 34 (1 час в неделю)

2015-2016 учебный год

Целями освоения прикладного курса «Точки соприкосновения физики и математики при решении физических задач» являются: формирование навыков моделирования (представления) аналитических задач графически; развитие логического мышления, интуиции, воображения; систематизация и закрепление практических навыков использования математических приемов (интегрирование, дифференцирование, применение систем линейных уравнений, а также исследование математических функций) и методов при решении конкретных физических задач из разных разделов школьной физики.

Основные задачи курса: научиться представлять аналитическое условие задачи графически и наоборот; понимать (находить) в условии математической задачи физический смысл; показать на примерах решения задач на различие способов оформления решения в математике и в физике.

В результате освоения прикладного курса обучающийся должен:

•Знать:

- рациональные приемы сведения задачи по физике к формулировке соответствующей математической задачи, основанной на использовании необходимых физических законов, и ее дальнейшего решения.

•Уметь

- проводить необходимые тождественные преобразования математических выражений; решать системы алгебраических и тригонометрических уравнений; использовать теоремы геометрии в процессе решения физических задач;

- находить производные от степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций, учитывая единицы измерения входящих в них физических величин;

С какими проблемами мы сталкиваемся при решении задач по физике?

1. Учащиеся не умеют применять математическую терминологию (слагаемое, сумма, произведение, частное и т.д.) применительно к физическим условиям. Отсюда неумение формулировать и выражать неизвестные величины из простейших уравнений. Например: S=υ*t t=?

2. Выработанная на уроках математики привычка обозначать неизвестную величину через х нередко вызывает затруднения при переходе на язык формул в физике.

3. При оперировании очень большими числами (скорость света 300000 км/с) или очень маленькими (массы молекул) учащиеся допускают ошибки при переходе к записи чисел с помощью степени числа 10. Не помнят правила нахождения суммы, разности, умножения, деления, корней степенных функций.

4. Курс механики насыщен задачами (графическими, аналитическими). Учащиеся сталкиваются с понятием функции и способами ее задания. При этом проявляют неумение «читать» графики, строить их и распознавать математические аналоги. Например:

S_x=υ_x*t y=k*x

υ_x=υ_0x+a_x*t y=a*x+b

x=x₀+υ_0x*t+a_x*t²/2 y=a*x²+b*x+c

5. Анализ работ входного контроля знаний показывает:

• 80% учащихся не умеют переводить единицы измерения физических величин из одной системы в другую. Например: л м³, мкм, км/ч м/с и т.д.

• 90% учащихся затрудняются при выводе простейших формул.

• 85% учащихся допускают ошибки даже при вычислениях с калькулятором.

6. Сложности, испытываемые при вычислениях:

• Путаница в порядке выполняемых действий.

• Затруднения при вычислениях в смешанных выражениях, где присутствуют и натуральные числа, и степенные функции (10^х).

• Незнание таблицы умножения.

• Незнание правил сложения и вычитания чисел с разными знаками и др.

7. Учащиеся 2 курса при изучении темы «Гармонические колебания» показывают полное незнание навыков построения и чтения графиков периодических функций синуса, косинуса, неумение определять периоды этих функций.

8. Одно из важных прикладных значений математики - применение производной для нахождения уравнений зависимости физических величин. Например, уравнение зависимости проекции скорости от времени υ_x(t) - первая производная от уравнения координаты:

υ_x(t) = х

А уравнение зависимости проекции ускорения от времени а_х(t) - первая производная от уравнения проекции скорости или вторая производная от уравнения координаты:

а_х(t) = υ_x'(t) = х

Процесс нахождения подобных производных - сложно решаемая задача для учащихся и требует многократного повторения на простых примерах в математической записи.

6. Применение квадратных уравнений при решении физических задач

Задача 1.

Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60 м?

Решение. Из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h(м), на которой брошенный вертикально вверх мяч окажется через t(c), может быть найдена по формуле, где V_o(м/с)-начальная скорость, g-ускорение свободного падения, приближенно равное 10 м/с². Подставив значения h и V в формулу, получим 60=40t-5t². Получили квадратное уравнение, решим его. 5t²-40t+60=0, t²-8t+12=0, D=16, t₁=2; t₂=6. Рассмотрим график зависимости h от t, где h=40t-5t². Из графика видно, что мяч, брошенный вертикально вверх, в течении первых 4с поднимается вверх до высоты 80 м, а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после бросания. Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня.

Ответ: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.

2. Задача: Два резистора соединяют сначала последовательно, затем параллельно и дважды подключают к источнику постоянного напряжения. В первом случае в цепи рассеивается мощность Р1 =4 Вт, во втором - Р2=18 Вт. Найдите мощность электрического тока в каждом резисторе в случае поочередного подключения резисторов к тому же источнику. Решение: В первом случае сопротивление цепи равно R1 + R2 (соединение последовательное). Мощность, рассеиваемая в цепи,U2 Р1 = Во втором случае сопротивление цепи равно (соединение параллельное). Мощность, рассеиваемая в цепи, Р2= Разделив второе равенство на первое, получим квадратное уравнение для отношения z= сопротивлений Z2 - ( - 2)z + 1 = 0, корни которого находим по формуле z1,2 = ( - 2) ± = , z1 = 2, z2 = 0.5. Оба корня имеют физический смысл - одно из сопротивлений вдвое больше другого. Для определенности будем считать R1 = 2 R2. Тогда из равенства Р1 = = = Находим мощности, рассеиваемые на резисторах, в случае их поочередного подключения к источнику постоянного напряжения, Р1 * = = = Р1 = •4 = 6 Вт, Р2 *= = 3 Р1 = 3•4 = 12 Вт Ответ: 6Вт, 12 Вт

7

За­да­ние 1 № 101. Может ли гра­фик за­ви­си­мо­сти пути от вре­ме­ни иметь сле­ду­ю­щий вид?

1) да

2) нет

3) может, если тра­ек­то­рия пря­мо­ли­ней­ная

4) может, если тело воз­вра­ща­ет­ся в ис­ход­ную точку

Ре­ше­ние.

Путь - это фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, по­ка­зы­ва­ю­щая прой­ден­ное телом рас­сто­я­ние. Иначе го­во­ря, это длина прой­ден­но­го участ­ка тра­ек­то­рии. По опре­де­ле­нию, путь есть ве­ли­чи­на по­ло­жи­тель­ная, ко­то­рая может толь­ко воз­рас­тать со вре­ме­нем, так что пред­став­лен­ный гра­фик не может изоб­ра­жать за­ви­си­мость пути от вре­ме­ни.

Пра­виль­ный ответ: 2.

За­да­ние 1 № 102. Мяч, бро­шен­ный вер­ти­каль­но вверх, па­да­ет на землю. Най­ди­те гра­фик за­ви­си­мо­сти от вре­ме­ни про­ек­ции ско­ро­сти на вер­ти­каль­ную ось, на­прав­лен­ную вверх.

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Ре­ше­ние.

Мяч после брос­ка дви­жет­ся с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем сво­бод­но­го па­де­ния, на­прав­лен­ным вниз. Сле­до­ва­тель­но, про­ек­ция ско­рости долж­на умень­шать­ся со вре­ме­нем по ли­ней­но­му за­ко­ну, , гра­фик за­ви­си­мо­сти её от вре­ме­ни пред­став­лен на ри­сун­ке 2.

Пра­виль­ный ответ: 2.

За­да­ние 1 № 103. Мяч бро­шен с вер­ши­ны скалы без на­чаль­ной ско­ро­сти. Най­ди­те гра­фик за­ви­си­мо­сти мо­ду­ля пе­ре­ме­ще­ния от вре­ме­ни. Со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха пре­не­бречь.

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку мяч бро­шен с вер­ши­ны скалы без на­чаль­ной ско­ро­сти, а со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха можно пре­не­бречь, за­ви­си­мость мо­ду­ля пе­ре­ме­ще­ния от вре­ме­ни долж­на иметь сле­ду­ю­щий вид:

.

Ис­ко­мая за­ви­си­мость пред­став­ле­на на ри­сун­ке 4. Кроме того, мо­дуль есть ве­ли­чи­на по­ло­жи­тель­ная, этому кри­те­рию также удо­вле­тво­ря­ет толь­ко гра­фик под но­ме­ром 4.

Пра­виль­ный ответ: 4.

За­да­ние 1 № 104. Ав­то­мо­биль дви­жет­ся по пря­мой улице. На гра­фи­ке пред­став­ле­на за­ви­си­мость ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля от вре­ме­ни.

В каком ин­тер­ва­ле вре­ме­ни мак­си­ма­лен мо­дуль уско­ре­ния?

1) от 0 до 10 с

2) от 10 до 20 с

3) от 20 до 30 с

4) от 30 до 40 с

Ре­ше­ние.

На всех рас­смат­ри­ва­е­мых ин­тер­ва­лах вре­ме­ни ско­рость ав­то­мо­би­ля ме­ня­ет­ся рав­но­мер­но, сле­до­ва­тель­но уско­ре­ние на каж­дом ин­тер­ва­ле по­сто­ян­но. Все ис­сле­ду­е­мые ин­тер­ва­лы оди­на­ко­вы по дли­тель­но­сти, по­это­му мак­си­маль­но­му мо­ду­лю уско­ре­ния со­от­вет­ству­ет мак­си­маль­ный мо­дуль из­ме­не­ния ско­ро­сти в те­че­ние ин­тер­ва­ла (самый боль­шой угол на­кло­на). Из гра­фи­ка видно, что это ин­тер­вал от 10 до 20 с.

Пра­виль­ный ответ: 2.

За­да­ние 1 № 106. По гра­фи­ку за­ви­си­мо­сти мо­ду­ля ско­ро­сти тела от вре­ме­ни, пред­став­лен­но­го на ри­сун­ке, опре­де­ли­те путь, прой­ден­ный телом от мо­мен­та вре­ме­ни 0 с до мо­мен­та вре­ме­ни 2 с.

1) 1 м

2) 2 м

3) 3 м

4) 4 м

Ре­ше­ние.

Для того чтобы по гра­фи­ку мо­ду­ля ско­ро­сти найти путь, прой­ден­ный телом за не­ко­то­рый ин­тер­вал вре­ме­ни, не­об­хо­ди­мо вы­чис­лить пло­щадь под ча­стью гра­фи­ка, со­от­вет­ству­ю­щей этому ин­тер­ва­лу вре­ме­ни (в еди­ни­цах про­из­ве­де­ния ве­ли­чин, от­ло­жен­ных по осям ко­ор­ди­нат). В ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 0 С до 2 с ав­то­мо­биль про­шел путь

.

При­ме­ча­ние: В прин­ци­пе, ин­те­ре­су­ю­щий нас уча­сток (от 0 до 2 с) не обя­за­тель­но раз­би­вать на два, пло­щадь под гра­фи­ком можно по­счи­тать, как пло­щадь тра­пе­ции:

.

Пра­виль­ный ответ: 3.

За­да­ние 1 № 107. На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти мо­ду­ля ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля от вре­ме­ни. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку путь, прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем в ин­тер­ва­ле от мо­мен­та вре­ме­ни 0 с до мо­мен­та вре­ме­ни 5 с после на­ча­ла от­сче­та вре­ме­ни.

1) 6 м

2) 15 м

3) 17 м

4) 23 м

Ре­ше­ние.

Для того чтобы по гра­фи­ку мо­ду­ля ско­ро­сти найти путь, прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем за не­ко­то­рый ин­тер­вал вре­ме­ни, не­об­хо­ди­мо вы­чис­лить пло­щадь под ча­стью гра­фи­ка, со­от­вет­ству­ю­щей этому ин­тер­ва­лу вре­ме­ни (в еди­ни­цах про­из­ве­де­ния ве­ли­чин, от­ло­жен­ных по осям ко­ор­ди­нат). В ин­тер­ва­ле от мо­мен­та вре­ме­ни 0 с до мо­мен­та вре­ме­ни 5 с после на­ча­ла дви­же­ния ав­то­мо­биль про­шел путь

.

Дру­гой спо­соб ре­ше­ния за­клю­ча­ет­ся в ана­ли­зе каж­до­го участ­ка гра­фи­ка в от­дель­но­сти, опре­де­ле­ния из гра­фи­ка на­чаль­ных ско­ро­стей и уско­ре­ний на каж­дом этапе и ис­поль­зо­ва­ния стан­дарт­ных ки­не­ма­ти­че­ских фор­мул для пути.

Пра­виль­ный ответ: 3.

На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти мо­ду­ля ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

Какой путь прой­ден телом за вто­рую се­кун­ду?

1) 0 м

2) 1 м

3) 2 м

4) 3 м

Ре­ше­ние.

Для того чтобы по гра­фи­ку мо­ду­ля ско­ро­сти найти путь, прой­ден­ный телом за не­ко­то­рый ин­тер­вал вре­ме­ни, не­об­хо­ди­мо вы­чис­лить пло­щадь под ча­стью гра­фи­ка, со­от­вет­ству­ю­щей этому ин­тер­ва­лу вре­ме­ни (в еди­ни­цах про­из­ве­де­ния ве­ли­чин, от­ло­жен­ных по осям ко­ор­ди­нат). За вто­рую се­кун­ду ав­то­мо­биль про­шел путь

.

Пра­виль­ный ответ: 3.

За­да­ние 1 № 109. На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти мо­ду­ля ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

Най­ди­те путь, прой­ден­ный телом за время от мо­мен­та вре­ме­ни 0 с до мо­мен­та вре­ме­ни 5 с.

1) 0 м

2) 15 м

3) 20 м

4) 30 м

Ре­ше­ние.

Для того чтобы по гра­фи­ку мо­ду­ля ско­ро­сти найти путь, прой­ден­ный телом за не­ко­то­рый ин­тер­вал вре­ме­ни, не­об­хо­ди­мо вы­чис­лить пло­щадь под ча­стью гра­фи­ка, со­от­вет­ству­ю­щей этому ин­тер­ва­лу вре­ме­ни (в еди­ни­цах про­из­ве­де­ния ве­ли­чин, от­ло­жен­ных по осям ко­ор­ди­нат). В ин­тер­ва­ле от мо­мен­та вре­ме­ни 0 с до мо­мен­та вре­ме­ни 5 с после на­ча­ла дви­же­ния тело про­шло путь

.

Дру­гой спо­соб ре­ше­ния за­клю­ча­ет­ся в ана­ли­зе каж­до­го участ­ка гра­фи­ка в от­дель­но­сти, опре­де­ле­ния из гра­фи­ка на­чаль­ных ско­ро­стей и уско­ре­ний на каж­дом этапе и ис­поль­зо­ва­ния стан­дарт­ных ки­не­ма­ти­че­ских фор­мул для пути.

Пра­виль­ный ответ: 3.

За­да­ние 1 № 110. На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти пути от вре­ме­ни.

Опре­де­ли­те по гра­фи­ку ско­рость дви­же­ния ве­ло­си­пе­ди­ста в ин­тер­ва­ле от мо­мен­та вре­ме­ни 1 с до мо­мен­та вре­ме­ни 3 с после на­ча­ла дви­же­ния.

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле от мо­мен­та вре­ме­ни 1 с до мо­мен­та вре­ме­ни 3 с после на­ча­ла дви­же­ния путь ве­ло­си­пе­ди­ста не из­ме­нял­ся. Сле­до­ва­тель­но на этом ин­тер­ва­ле вре­ме­ни ве­ло­си­пе­дист не дви­гал­ся, его ско­рость была равна нулю.

Пра­виль­ный ответ: 1.

За­да­ние 1 № 116. На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

На каком гра­фи­ке пред­став­ле­на про­ек­ция уско­ре­ния тела в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 10 до 20 с?

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 10 до 20 с про­ек­ция ско­ро­сти тела не из­ме­ня­лась, а зна­чит, про­ек­ция уско­ре­ния была равна нулю. Про­ек­ция уско­ре­ния тела в этом ин­тер­ва­ле вре­ме­ни пред­став­ле­на на гра­фи­ке 2.

Пра­виль­ный ответ: 2.

За­да­ние 1 № 117. На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

На каком из гра­фи­ков пред­став­ле­на про­ек­ция уско­ре­ния тела в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 0 до 6 с?

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что уско­ре­ние в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 0 с до 10 с по­сто­ян­но. Зна­чит, на этом ин­тер­ва­ле ве­ре­ме­ни уско­ре­ние такое же, как и на ин­тер­ва­ле от 0 с до 6 с. Найдём это уско­ре­ние:

.

Про­ек­ция уско­ре­ния тела в этом ин­тер­ва­ле вре­ме­ни пред­став­ле­на на гра­фи­ке 1.

Ответ: 1.

За­да­ние 1 № 118. На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

На каком из гра­фи­ков пред­став­ле­на про­ек­ция уско­ре­ния тела в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 20 до 26 с?

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 20 до 26 с про­ек­ция ско­ро­сти тела убы­ва­ла ли­ней­но со вре­ме­нем, а зна­чит, про­ек­ция уско­ре­ния была по­сто­ян­на и рав­ня­лась

.

Про­ек­ция уско­ре­ния тела в этом ин­тер­ва­ле вре­ме­ни пред­став­ле­на на гра­фи­ке 3.

Пра­виль­ный ответ: 3.

За­да­ние 1 № 119. На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

На каком из гра­фи­ков пред­став­ле­на про­ек­ция уско­ре­ния тела в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 54 до 60 с?

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 54 до 60 с про­ек­ция ско­ро­сти тела не из­ме­ня­лась, а зна­чит, про­ек­ция уско­ре­ния была равна нулю. Про­ек­ция уско­ре­ния тела в этом ин­тер­ва­ле вре­ме­ни пред­став­ле­на на гра­фи­ке 2.

Пра­виль­ный ответ: 2.

За­да­ние 1 № 121. На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти мо­ду­ля ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля от вре­ме­ни t.

Най­ди­те путь, прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем за 5 c.

1) 0 м

2) 20 м

3) 30 м

4) 35 м

Ре­ше­ние.

Для того чтобы по гра­фи­ку мо­ду­ля ско­ро­сти найти путь, прой­ден­ный телом, не­об­хо­ди­мо вы­чис­лить пло­щадь под гра­фи­ком (в еди­ни­цах про­из­ве­де­ния ве­ли­чин, от­ло­жен­ных по осям ко­ор­ди­нат). За 5 c ав­то­мо­биль про­шел путь

.

Дру­гой спо­соб ре­ше­ния за­клю­ча­ет­ся в ана­ли­зе каж­до­го участ­ка гра­фи­ка в от­дель­но­сти, опре­де­ле­ния из гра­фи­ка на­чаль­ных ско­ро­стей и уско­ре­ний на каж­дом этапе и ис­поль­зо­ва­ния стан­дарт­ных ки­не­ма­ти­че­ских фор­мул для пути.

Пра­виль­ный ответ: 4.

За­да­ние 1 № 122. Ав­то­мо­биль дви­жет­ся по пря­мой улице. На гра­фи­ке пред­став­ле­на за­ви­си­мость его ско­ро­сти от вре­ме­ни.

На каком ин­тер­ва­ле вре­ме­ни мо­дуль уско­ре­ния ав­то­мо­би­ля мак­си­ма­лен?

1) от 0 с до 10 с

2) от 10 с до 20 с

3) от 20 с до 30 с

4) от 30 с до 40 с

Ре­ше­ние.

На всех рас­смат­ри­ва­е­мых ин­тер­ва­лах вре­ме­ни ско­рость ав­то­мо­би­ля ме­ня­ет­ся рав­но­мер­но, сле­до­ва­тель­но, уско­ре­ние на каж­дом ин­тер­ва­ле по­сто­ян­но. Все ис­сле­ду­е­мые ин­тер­ва­лы оди­на­ко­вы по дли­тель­но­сти, по­это­му мак­си­маль­но­му мо­ду­лю уско­ре­ния со­от­вет­ству­ет мак­си­маль­ный мо­дуль из­ме­не­ния ско­ро­сти в те­че­ние ин­тер­ва­ла: . Из гра­фи­ка видно, что это ин­тер­вал от 20 до 30 с

(в этом слу­чае , на дру­гих ин­тер­ва­лах мень­ше).

Пра­виль­ный ответ: 3.