Решение задач координатным методом

КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Основная задача механики - определить положение тела в любой момент времени. Для определения положения тела в пространстве в тот или иной момент времени выбирается тело отсчета, которое может быть неподвижным относительно Земли или двигаться. С телом отсчета связывают какую-либо систему координат и часы, как систему времени. Система координат и часы образуют систему отсчета. Координаты положения тела определяются с помощью уравнений движения, которые в общем виде записываются так:

или в проекциях

x=x_{0 + V0 t +}

y = y_{0 +}

z = z_{0 +}V_ot +

Решение задач с помощью уравнений движения особенно эффективно при использовании компьютера, так как достаточно в уравнение подставить соответствующие величины, компьютер же по заданной программе решит заданное уравнение или систему уравнений.

В общем случае в уравнение входят векторные величины и, следовательно, проекции их на оси координат могут быть как положительными так и отрицательными.

Пример :

Из точки А с высоты 45 м свободно падает тело. Одновременно из точки В, расположенной на 21 м ниже точки А, вертикально вверх бросается второе тело. Определить скорость бросания второго тела, если на землю они падают одновременно.

В

A

O

Из условия падения первого тела находится время падения

t =

C

V_oВторое тело t₁ = V_o/g движется вверх, поднимаясь на высоту ВС = и падает затем с высоты ОС = Н - h + ВС, для получения ответа нужно решить довольно сложное уравнение:

= .

2.С использованием уравнения движения решение задачи будет таким: пусть ось Х направлена вверх и начало координат на земле. Тогда уравнения движения тел будут

Х_А = Н -

X_B = H - h + V_o t - .

Так как через t секунд оба тела оказались на земле, т.е. в точке О, координата которой равна нулю, получим два уравнения :

0 = Н -

0 = H - h + V_o t - .

Из первого находим t, сравнивая первое и второе уравнения, получаем

h = V_o t ,

где только одно неизвестное.

3.Если воспользоваться принципом независимости движения, можно получить ответ сложением векторов :

Перемещение первого тела А определяется вектором Н = g t²/2.

Перемещение второго тела - В определяется геометрической суммой векторов V_o t направленного вверх и вектора g t²/2 , направленного вниз, т.е. gt² /2 - V_ot = H - h . Подставляя вместо Н ↔ gt² / 2 , получаем h = V_o t .

4. Более интересным является решение задачи в системе отсчета, связанной с телом А. Относительно тела А тело В движется равномерно со скоростью V_о и проходит расстояние h за время, равное времени, за которое земля, движущаяся с ускорением g без начальной скорости, проходит Н, т.е.45 м, следовательно t = = 3 с и V_о= 21 м / 3 с = 7 м/с.

При расчетах движения тел в плоскости иногда удобно оси координат выбрать так, чтобы и ускорение свободного падения имело проекции на обе оси.

Пример: Определить дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью v на склоне горы, уклон которой α.

Если оси координат выбрать традиционно ось Х горизонтально и ось Y вертикально, то уравнения движения

у = CA - g t² / 2 , х = vt

В

СA V Через t с тело упало в точку В, т.е. у = 0. Тогда

t =, но АС = ,а АВ = и АВ=, откуда и

Y = v × Sin α -

g

v

При падении тела на склон у = 0. Определим из этого t = и подставив в первое уравнение, находим х =

ВИспользуя принцип независимости движения эту задачу можно решить так:

А

С

, откуда и AC = =

Задачи для самостоятельного решения

1. Тело свободно падает с высоты h. В тот же момент другое тело брошено с высоты H (H>h) вертикально вниз. Оба тела на землю упали одновременно. Определить начальную скорость бросания второго тела.

2. Из лифта, опускающегося равномерно в некоторый момент выпал кирпич. Сколько времени кирпич падал на землю, если в момент его падения, лифт находился на высоте h=20м?

3. Из вертолета, равномерно поднимающегося вверх со скоростью 4 м/с, на высоте 200 м вертикально вверх со скоростью 10 м/с брошено тело. Через сколько времени и на какой высоте от земли встретятся вертолет и брошенное тело? Какую скорость будет иметь тело относительно земли и вертолета?

4. С высоты h на наклонную плоскость с углом наклона α падает упругий мяч. На каком расстоянии от места первого падения мяч упадет на плоскость второй, третий и т.д. раз

5. С какой скоростью должен вылететь снаряд , чтобы поразить ракету, стартующую вертикально вверх с ускорением а. Выстрел производится под углом α, расстояние от пушки до места старта ракеты L.