7


  • Учителю
  • Задачи 10 класс 'Механика. Электростатика. Конденсаторы'

Задачи 10 класс 'Механика. Электростатика. Конденсаторы'

Автор публикации:
Дата публикации:
Краткое описание: Подборка задач по темам "Механика. Электростатика. Конденсаторы"с решениями.  Предназначена для учащихся 10 классов пропустивших эти темы или неразобравшихся в них и их родителей, а также для учителей работающих в данных классах. Данная подборка содержит типовые задачи  
предварительный просмотр материала


Механика, кинематика, прямолинейное движение, равномерное движение,средняя скорость


№1 Графики каких движений показаны на рисунке? Как отличаются скорости движения этих тел? В какой момент времени тела встретились? Какие пути тела прошли до встречи?

Решение

Так как изменение координаты тела происходит прямо пропорционально времени, то можно утверждать, что движение равномерное и прямолинейное. По отношению к точке отсчета (0; 0) у первого тела координата убывает, а у второго наоборот - возрастает. Первое тело движется против оси х, второе - по направлению оси координат.

а) Чтобы ответить на вопрос об отличии скоростей, определим их из уравнения координаты:

vx

=

x − xo

, тогда

t

v1x

=

3 − 6

м/с = −0.75 м/с.

4

v2x

=

3 − 0

м/с = 0.75 м/с.

4

Скорости тел равны по абсолютному значению, но противоположны по направлению.

б) Зная также, что v=tg α (геометрический смысл скорости) и сравнивая углы наклонов графиков движения тел к оси t, приходим к выводу, что углы одинаковы, следовательно, скорости равны.

в) Точка пересечения двух прямых означает, что тела встретились в одно и то же время в одной и той же точке, т. е. время встречи t = 4 c, а координата x = 3 м.

г) Так как движение равномерное и прямолинейное, то S = x − xo. Находим пути, пройденные телами до встречи:
S1= | x1 − xo1 | = | (3−6) м | = 3 м,
S2= | x2 − xo2 | = | (3−0) м | = 3 м.
Оба тела, двигаясь с одинаковыми скоростями, за одно и тоже время прошли равное расстояние.



№2 Точка движется с постоянной скоростью vo под углом α к оси x. В начальный момент времени t = 0 точка имела координаты (хo; уo). Написать уравнения движения точки и уравнение траектории.
Решение

уравнение движения имеет вид:
x = xo + vxt по оси x и
y = yo + vyt по оси Y.

Начальные координаты заданы xo, yo. Проекции скорости найдем из прямоугольного треугольника АВС:

vx = −vocos α, знак минус указывает на то, что направление проекции вектора скорости не совпадает с направлением оси x;

vy = vosin α, проекция скорости положительна, так как направление вектора скорости, совпадает с направлением оси Y.

Тогда, подставляя проекции скоростей в соответствующие уравнения движения, имеем:
x = xo − vot·cos α,
y = yo + vot·sin α.

Решая совместно эти два уравнения, напишем уравнение траектории. Для этого из уравнения движения точки вдоль оси x выразим время и подставим в уравнение движения точки вдоль оси Y:

t =

xo − x

, тогда

vo cos α

y = yo + vo sin α

xo − x

=

yo + xotg α − x tg α.

vo cos α

№ 3 Первую половину пути автомобиль проехал со средней скоростью v1 = 60 км/ч, а вторую - со средней скоростью v2 = 40 км/ч. Определить среднюю скорость Vавтомобиля на всем пути.


Решение:

проанализируем условие задачи: первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч и затратил время, равное

t1

=

S/2

.

v1

Вторую половину пути автомобиль проехал со скоростью 40 км/ч и затратил время, равное

t2

=

S/2

.

v2

По определению, средняя скорость V при равномерном прямолинейном движении равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени.
Подставляя значения скорости в формулу средней скорости, получим:

V =

2 • 60 • 40

= 48 км/ч.

60 + 40

Средняя скорость равна 48 км/ч.

№ 4 Автомобиль проходит первую треть пути со скоростью v1, а оставшуюся часть пути - со скоростью v2 = 50 км/ч. Определить скорость на первом участке пути, если средняя скорость на всем пути V = 37,5 км/ч.

Решение: обозначим весь путь через S; время, затраченное на прохождение первого участка пути, - через t1; время движения на втором участке пути - через t2. Очевидно, что

t1 + t2

=

S

+

2S

.

3v1

3v2

t1 + t2

=

S

.

V

Отсюда

v1

=

Vv2

= 25 км/ч.

3v2 − 2V





№5 Зависимость скорости от времени движущегося тела задана следующей формулой: v = 2 + 0,5t. Опишите это движение (укажите значение характеризующих его величин). Постройте график v(t).


Решение:

Зависимость скорости от времени движущегося тела задана следующей формулой: v = 2 + 0,5t. Опишите это движение (укажите значение характеризующих его величин). Постройте график v(t).

Уравнение скорости (назовем его 1) для равноускоренного движения имеет вид:

Сопоставляя уравнение, заданное по условию задачи, с уравнением (1), находим: vo = 2 м/с, a = 0,5 м/с2.

Тело движется вдоль оси координат с начальной скоростью 2 м/с равноускоренно с ускорением 0,5 м/с. Знак скорости «+» указывает на направление движения (вдоль выбранной оси координат). Так вектора скорости и ускорения совпадают, то тело разгоняется. Остановки не предвидится.

Для построения графика воспользуемся аналогией y = b + kx, что соответствует линейной функции. Для построения графика достаточно двух точек:

1) t = 0, v = 2 м/с;
2) t = 2 c, v = 3 м/с.





№6 Катер прошел первую половину пути со средней скоростью в n = 2 раза большей, чем вторую. Средняя скорость на всем пути составила Vc = 4 км/ч. Каковы скорости катера на первой и второй половинах пути?



Решение: катер проходит одинаковые отрезки пути с разной скоростью, следовательно, будет разным и затраченное время. Примем скорость на втором участке пути за v, тогда на первом участке скорость 2v. Средняя скорость на всем пути:

Vc

=

S

=

S

,

t

t1 + t2

где

t1

=

S

и

t2

=

S

.

2·2v

2v

Подставляем в формулу средней скорости время:

Vc

=

S

=

4vv

=

4v

.

S/(4v) + S/(2v)

3v

3

Из последней формулы выразим скорость второго участка пути:

v

=

3Vc

.

4

Подставляя значение средней скорости на всем пути в последнюю формулу, имеем v = 3 км/ч, тогда скорость на первом участке пути в v = 2 раза больше, чем на втором, и равна 6 км/ч.

№7 Катер, двигаясь вниз по течению, затратил время в n = 3 раза меньше, чем на обратный путь. Определить, с какими скоростями относительно берега двигался катер, если средняя скорость на всем пути составила V = 3 км/ч.



Решение: двигаясь вниз по течению, катер затратил время в n = 3 раза меньше, т. к. его скорость относительно берега равна сумме его скорости относительно воды (собственная скорость) и скорости течения v1=vk+vT. Путь, проходимый катером, одинаков туда и обратно, обозначим его через S. Время, затраченное им при движении по течению вниз:

t1

=

S

.

vk + vT

Обратно катер плывет против течения и его скорость относительно берега будет равна разности собственной скорости и скорости течения v2=vk−vT. Тогда затраченное время при движении катера против течения равно:

t2

=

S

.

vk − vT

По условию задачи время движения катера против течения в три раза больше времени движения катера по течению:

t2

=

S(vk + vT)

=

vk + vT

и

vk + vT

= 3.

t1

S(vk − vT)

vk − vT

vk − vT

Упрощая эти уравнения, находим, что vk=2vT (формула 1).
Теперь найдем среднюю скорость при движении катера на всем пути:

V =

S

=

2S

=

2S

.

t

t1 + t2

S/(vk + vT) + S/(vk − vT)

Здесь учтем (1), тогда

V =

2

=

3

VT,

1/(3vk) + 1/vT

2

отсюда находим скорость течения: vT = (2/3)V, а vk = (4/3)V.
После вычислений окончательно имеем: vT = (2/3)3 = 2 км/ч и vk = (4/3)3 = 4 км/ч.

№8 Первую половину времени автомобиль двигался со средней скоростью v1 = 40 км/ч, а вторую - со средней скоростью v2 = 60 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на всем пути.



Решение: в отличие от предыдущий задачи, автомобиль движется первую половину времени с одной скоростью 40 км/ч, а вторую половину времени - со скоростью 60 км/ч. Следовательно, автомобиль проходит за равные промежутки времени разные расстояния.

S1

=

v1

t

2

и

S2

=

v2

t

,

2

тогда средняя скорость

V =

S1 + S2

=

v1t/2 + v2t/2

=

v1 + v2

.

t

t

2

Средняя скорость для этого случая оказалась равной среднему арифметическому значению скоростей.
Подставим значения скоростей и проведем вычисления:

V =

40 + 60

= 50 км/ч.

2

Средняя скорость равна 50 км/ч.



№9 Формула x=20t. Необходимо:

  • определить характер движения;

  • найти начальную координату точки;

  • выявить модуль и определить направление скорости;

  • найти графический и аналитический смысл x через 15 секунд;

  • определить время (t), когда x=100 м.


Решение:

1. Уравнение x = xo + vt - это равномерное прямолинейное движение.

2. Начальная координата точки xo = 0.

3. Скорость точки - это коэффициент при t, то есть v = 20 м/с. Скорость положительна, следовательно, точка движется вдоль выбранного направления оси координат x.

4. Через 15 с координата точки будет равна x = 300 м. Графически - нарисовать в осях координат x(t) по точкам прямую, которая будет проходить через точки (0 с; 0 м) и (15 с; 300 м). Через 15 с координата (по графику) будет 300 м.

5. При x = 100 м: 100 = 20t, отсюда t = 5 c.



Криволинейное движение

№10 Если камень, брошенный под углом 30° к горизонту, находился в полете 2 с, то с какой скоростью он упал на землю?

Решение:

Если камень был в полете 2 с, то в силу симметрии 1 с он летел до максимальной точки подъема и 1 с падал вниз (сопротивлением воздуха мы пренебрегаем). В максимальной точке подъема камень имеет только горизонтальную составляющую Vx скорости V. Свободно падая с максимальной высоты подъема, за 1 с камень приобретет вертикальную скорость Vy, равную:

Vy = gt

Скорость бросания равна скорости падения тела, которая связана с вертикальной составляющей в момент падения:

V =

vy

=

gt

sin α

sin α

Искомая скорость равна V = 20 м/с.

Ответ: камень упал на землю со скоростью 20 м/с.

Возможно решение с помощью формулы:

t = (2vo sin α) / g
(g = 9.8 ≅ 10 м/c2) ,

где t - время полета, vo - начальная скорость.

Начальная скорость совпадает с конечной, следовательно, vиск. = vo = t (g/2) sin 30° = 2 (10/2) 0.5 = 20 м/c .

№11 С вершины наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 60°, бросают тело в горизонтальном направлении. Если через 3,5 с тело ударилось о плоскость, то с какой начальной скоростью оно было брошено?
Решение:

Высоту полета тела H определим по формуле:

H =

gt2

.

2

Дальность полета по горизонтали S будет равна:

S = vot.

Отношение высоты полета тела H к дальности полета по горизонтали S равно:

gt2

1

= tg α.

2

vot

Находим vo:

gt

= tg α.

2vo

gt

= tg α.

2vo

vo

=

gt

.

2tg α

Если принять g = 10 м/с2, то vo = 10.1 м/с.

Ответ: начальная скорость тела равна 10.1 м/с.

№12 С башни брошено тело в горизонтальном направлении со скоростью 15 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить радиус кривизны траектории тела через 2 с после начала движения.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 9 октября 2007 года.
Решение:

Радиус кривизны траектории - это радиус окружности R, по которой в этот момент движется тело.

Через две секунды тело приобретет скорость v, в которой вертикальная составляющая равна vy = gt:

v = √(vx2 + vy2) = √(vx2 + (gt)2).

(1)

Нормальное ускорение тела an:

an =

v2

,

R

откуда радиус окружности R равен:

R =

v2

. (2)

an

Нормальное ускорение an связано соотношением:

an = g•cos α,

где

cos α =

vx

,

v

тогда:

an =

gvx

. (3)

v

Подставляя (3) и (1) в (2), получим:

R =

vv2

=

√(vx2 + (gt)2)

• (vx2 + (gt)2).

gvx

gvx

После вычислений R = 104,2 м.

Ответ: радиус кривизны через 2 с составляет 104,2 м.





Электростатика

№13 С какой силой F будут притягиваться два одинаковых свинцовых шарика радиусом r = 1 см, расположенные на расстоянии R = 1 м друг от друга, если у каждого атома первого шарика отнять по одному электрону и все эти электроны перенести на второй шарик? Молярная масса свинца M = 207×10−3 кг/моль, плотность ρ = 11,3 г/см3.



Решение: после того как электроны у одного шарика отняты и перенесены на другой, шарики приобретают равные и противоположные по знаку заряды, поэтому (если шарики находятся в вакууме) сила притяжения

F =

q2

,

4πεoR2

где R - расстояние между центрами шариков, π - число Пи. Заряд q определится следующим соотношением:

q =

e

m

NA

= e

ρV

NA

=

4

ερπr3NA,

M

M

3M

здесь NA = 6,02×1023 моль−1 (число Авогадро). Тогда

№14 Внутри гладкой сферы находится маленький заряженный шарик. Какой величины заряд нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в ее верхней точке?



Решение: заряд Q, который нужно поместить в нижней точке сферы, должен быть таким, чтобы электрическая сила, действующая на верхний заряд, была не меньше силы тяжести mg, то есть

kqQ

≥ mg, отсюда

d2

Q ≥

mgd2

.

kq

Однако нам надо еще проверить, будет ли такое равновесие устойчивым. Рассмотрим малое отклонение шарика от положения равновесия.
Равновесие шарика устойчиво, если проекция силы F электрического взаимодействия зарядов на касательную к сфере больше или равна проекции силы тяжести на ту же касательную:

kqQ·sin α

≥ mg·sin 2α

d2

(Сила N реакции опоры перпендикулярна поверхности сферы.)
Так как угол α отклонения шарика от положения равновесия мал, то sin α ≈ α, sin 2α ≈ 2α. Поэтому

kqQ·α

≥ mg·2α

d2

Следовательно, для устойчивого равновесия шарика в верхней точке сферы в нижнюю точку сферы должен быть помещен заряд равный

Q ≥

2mgd2

.

kq

№14 Условие: по кольцу могут свободно перемещаться три шарика, несущие заряды: +q1 на одном шарике и +q2 на каждом из двух других. Чему равно отношение зарядов q1 и q2, если при равновесии дуга между зарядами q2 составляет 60°?



Решение: для равновесия зарядов необходимо, чтобы сумма проекций всех электрических сил приложенных к каждому заряду, на направление касательной к кольцу равнялась нулю. Результирующая электрическая сила в этом случае перпендикулярна к окружности и уравновешивается силой реакции кольца.

Так как заряды в точках B1 и B2 равны между собой, то заряд q1 может быть расположен в точке, находящейся на равных расстояниях от точек B1 и B2. В соответствии со сказанным, проекции сил f21 и f22, действующих на заряд q2 в точке B1 со стороны других двух зарядов на направление касательной к окружности TT1 в точке B1, должны быть равны друг другу, т. е. f21cos y1 = f22cos y2 (1). Но

f21

=

q1q2

, где (из треугольника AB1O)

4πεor122

r12

= 2Rcos

β

, поэтому

2

f21

=

q1q2

(2). Далее

16πεoR2cos2(β/2)

f22

=

q22

, где

r22 = 2Rsin

α

, т.е.

4πεor222

2

f22

=

q22

(3).

16πεoR2sin2(α/2)

Рассматривая углы при вершине B1, мы можем записать

β

+ y1 = 90° (4),

90° −

α

+ y1 + y2 +

β

= 180° (5).

2

2

2

Из уравнений (1) - (5), учитывая, что β=(α/2)

№15 На расстоянии d от большой проводящей пластины находится точечный электрический заряд +q. С какой силой на него действует пластина?



Решение: индуцированные отрицательные заряды на поверхности проводника распределяются таким образом, что результирующая напряженность поля внутри проводника от положительного точечного заряда и индуцированных отрицательных зарядов равна нулю. (Индуцированные положительные заряды уйдут на удаленные края пластинки, и их полем можно пренебречь.) Это распределение индуцированных зарядов не зависит от толщины пластинки.

Поместим слева от пластинки на том же расстоянии d заряд -q. Ясно, что на левой стороне пластинки индуцированные положительные заряды распределяются таким же образом, как и отрицательные на правой стороне пластинки. От того, что мы поместили слева от пластинки заряд -q, электрическое поле справа от пластинки не изменится. Таким образом, справа от пластинки электрическое поле от заряда +q и отрицательных индуцированных зарядов совпадает с полем, создаваемым зарядами +q и -q и зарядами, индуцированными на поверхностях пластинки. Если толщина пластинки очень мала по сравнению с d, то мы можем пластинку считать бесконечно тонкой, а в таком случае поле, создаваемое индуцированными зарядами, вне пластинки отсутствует.

Итак, мы показали, что поле справа от пластинки, создаваемое зарядом +q и индуцированными отрицательными зарядами, совпадает с полем, создаваемым точечными зарядами +q и -q. Поскольку в точке нахождения заряда +q напряженность поля от индуцированных отрицательных зарядов равна напряженности поля от точечного заряда -q, находящегося на расстоянии 2d от +q, то искомая сила притяжения равна

F =

kq2

=

q2

.

(2d)2

16πεod2

№16 Тонкое проволочное кольцо радиуса R несет электрический заряд q. В центре кольца расположен одноименный заряд Q, причем Q >> q. Определить силу, с которой растянуто кольцо.



Решение: так как Q >> q, то взаимодействием между отдельными элементами кольца можно пренебречь. Выделим малый элемент кольца длины RΔα. Со стороны заряда Q на него действует сила

ΔF =

QΔq

, где Δq =

qΔα

.

4πεoR2

Силы натяжения кольца T уравновешивают ΔF. Из условия равновесия, учитывая, что Δα мало, имеем

ΔF = 2Tsin

Δα

≈ 2T

Δα

= TΔα.

2

2

Искомая сила является натяжением

T =

qQ

.

2εoR2






Работа поля. Напряженность.Потенциал.

№17 Какой минимальной скоростью vmin должен обладать протон, чтобы он смог достигнуть поверхности положительно заряженного металлического шара, имеющего потенциал ? = 400 В. Начальное расстояние протона от поверхности шара r = 3R, где R - радиус шара.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 1 октября 2007 года.



Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения энергии. Протон теряет свою кинетическую энергию в результате работы электрического поля:

ΔEk = A,

или

mv2

= q(φ1 − φ2),

2

где

φ1 = k

Q

,

4R

- потенциал на расстоянии R + 3R = 4R от центра шара.

Из формулы:

φ = k

Q

выразим заряд шара Q =

φR

.

R

k

Тогда потенциал электрического поля шара на расстоянии 3R от его поверхности равен:

φ1 =

φRk

=

φ

.

4Rk

4

Тогда

mv2

= q(φ −

φ

) =

3

qφ.

2

4

4

Отсюда cкорость протона:

v = √(

3qφ

).

2m

После вычислений получим v = 2.4×105 м/с.

№18 По тонкому проволочному кольцу равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 100 пКл/м. Определить потенциал Φ электрического поля в центре кольца.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 8 октября 2007 года.



Решение:

Потенциал в центре проволочного кольца определим по принципу суперпозиции, разбив кольцо на элементарные участки с зарядом qi. Получим формулу (на рисунке слева), в которой:

i - количество разбиений,

потенциал Φi, создаваемый в центре кольца элементарным зарядом qi, равен:

Φi =

qi

.

4πεoR

Из формулы линейной плотности заряда кольца

τ =

q

2πR

выразим:

q = qi•N = 2τπR.

Произведем суммирование Φ:

Φ =

1

qiN

=

1

q

=

2πτR

=

τ

.

4πεo

R

4πεo

R

4πεoR

o

Выполнив расчеты, получим: Φ = 5.65 В.

Конденсаторы. Электроемкость.

№19 Рентгеновские лучи образуют в 1 см3 газа 12,5×106 пар ионов за 1 с. Между пластинами плоского конденсатора площадью по 100 см2 при этих условиях ток насыщения 1×10−10 A. Каково расстояние между пластинами конденсатора?

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 23 мая 2007 года.



Решение:

Плотность тока насыщения в газе jн определяется формулой

jн = Nqd (1),

где N - число пар ионов, созданных рентгеновскими лучами в единице объема в единицу времени, d - расстояние между пластинами.

Сила тока J и плотность тока S связаны соотношением J = I/S, тогда

jн =

Iн

(2).

S

Приравняем правые части уравнений (1) и (2):

Iн

= Nqd, откуда

S

d =

Iн

SNq

После вычислений

d = 1×10−10 A/(100×10−4 м2×12,5×1012×1,6×10−19 Кл) = 5×10−3 м = 5 мм.

Ответ: расстояние между пластинами конденсатора равно 5 мм.


Примечание: взят заряд однозарядного иона e = 1,6×10−19 Кл и в 1 м3 образуется 12,5×1012 пар ионов за 1 c.

№20 Две одинаковые круглые пластины площадью S = 400 см2 каждая расположены параллельно друг другу. Заряд одной пластины Q1 = 400 нКл, другой - Q2 = 200 нКл. Определить плотность энергии электрического поля в точках, расположенных: а) между пластинами, б) вне пластин.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 1 октября 2007 года.



Решение:

Плотность энергии поля численно равна энергии поля в единице объема:

w =

W

=

CU2

=

εεoSU2

=

εεoE2

.

V

2V

2dSd

2

Рассмотрим поле пластин конденсатора. Напряженность поля вне пластин:

E = E+ + E+ =

δ+

+

δ+

=

1

(Q1 + Q2).

2εεo

2εεo

2εεoS

Напряженность поля между пластин равна:

E = E+ − E+ =

δ+

δ+

=

1

(Q1 − Q2).

2εεo

2εεo

2εεoS

Слева и справа модуль результирующей напряженности одинаков. Плотность энергии электрического поля в точках, расположенных вне пластин:

w =

1

(

Q1 + Q2

)2 = 3.18 Дж/м3.

o

S

между пластин:

w =

1

(

Q1 − Q2

)2 = 0.353 Дж/м3.

o

S

Примечание: плотность энергии пропорциональна квадрату напряженности электрического поля в области пространства, что справедливо для электрических полей любой конфигурации, а не только для однородных полей, в том случае, если среда, заполняющая пространство изотропная.







 
 
X

Чтобы скачать данный файл, порекомендуйте его своим друзьям в любой соц. сети.

После этого кнопка ЗАГРУЗКИ станет активной!

Кнопки рекомендации:

загрузить материал