Методические указания к лабораторной работе 'Кольца Ньютона'

Лабораторная работа №1

Определение радиуса кривизны линзы с помощью колец Ньютона

Цель работы: ознакомление с явлением интерференции света в тонких пленках; определение радиуса кривизны сферической поверхности линзы, со­прикасающейся с плоской поверхностью пластинки и полосы пропускания светофильтров.

Приборы и оборудование: оптическая система «собирающая линза-пластина», микроскоп с микрометрической шкалой, набор светофильтров, осветитель.

Теоретический материал.

Интерференция световых волн

Интерференцией света называется явление перераспределения светового потока в пространстве, возникающее при наложении когерентных волн, выражающееся в образовании устойчивой картины чередующихся максимумов и минимумов интенсивности света.

Рис.1 Интерференция волн, испускаемых точечными источниками S₁ и S₂

Пусть волны от двух точечных источников света S₁ и S₂ одинаковой частоты  и одинаковой поляризации (в этом случае можно отвлечься от векторного характера электрического поля световой волны) освещают экран Х (рис. 1). Определим интенсивность света в некоторой точке А.

Электрические векторы волн в точке А равны:

(1)

где и - оптические пути, пройденные волнами от источников до точки А в среде с показателем преломления n ,

- волновое число,

₀ - длина волны в вакууме,

Е₀₁ и Е₀₂ - амплитуды напряженностей в точке А, ₁ и ₂- начальные фазы. Введя обозначения: и ,

имеем: (2)

Рис. 2 Сложение гармонических колебаний с помощью векторной диаграммы.
Амплитуду результирующего колебания проще всего найти с помощью векторной диаграммы, изображенной на рис. 2

По теореме косинусов находим:₍₃₎

Учитывая, что интенсивности волн, пропорциональны квадратам их амплитуд, для интенсивности результирующего колебания получаем:₍₄₎

Так как в реальных источниках излучателями являются отдельные атомы, не связанные друг с другом (₁ и ₂ меняются независимо), разность фаз непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, так что среднее по времени значение равно нулю. В этом случае интенсивность I равна сумме интенсивностей складывающихся волн:₍₅₎

Скла­дывающиеся волны называются когерентными, если их частота одинакова и разность фаз постоянна в данной пространственной точке в течение времени наблюдения, много большего чем период колебаний.

Источники таких волн также называются когерентными. В этом случае имеет постоянное во времени, но свое для каждой точки экрана значение, в результате чего в одних местах возникают максимумы интенсивности, а в других - минимумы: наблюдается интерференционная картина.

Рассмотрим случай сложения когерентных колебаний от двух синфазных источников (₁ = ₂). При т.е. , (где целое число называется порядком интерференции), интенсивность результирующего колебания будет принимать максимальное значение:

. (6)

При т.е. интенсивность результирующего колебания будет минимальной:

. (7)

Принимая во внимание значения φ₂ и φ₁, можно получить, что разность фаз (8)

С учетом этого, условия возникновения максимумов и минимумов интенсивности результирующей волны можно записать в виде: , если (9)

и, если . (10)

Величина  называется оптической разностью хода.

Таким образом, суммарная интенсивность зависит от точки наблюдения. На экране будут наблюдаться светлые и темные интерференционные полосы. Интенсивность  периодически меняется вдоль оси Х от I_min до I_max. Пространственный период изменения интенсивности называется шириной интерференционной полосы (рис.3).

Если падающий свет немонохроматический и присутствуют одновременно все длины волн из спектрального интервала от  до +, то количество видимых интерференционных полос m_max будет ограничено:

. (11)

Рис. 3 Распределение максимумов интерференции

немонохроматических лучей.
Последнее выражение легко получить, исходя из условия, что исчезновение интерференционной картины будет иметь место, когда интерференционная полоса порядка (m+1) для длины волны  накладывается на интерференционную полосу порядка m для длины волны . Ширина интерференционной полосы  для разных длин волн из указанного интервала будет разной. И если в нулевом порядке максимумы для всех длин волн совпада

ют (рис.3), то в более высоких порядках они расходятся). Таким образом, условие исчезновения интерференционной картины, выглядит так: , откуда следует соотношение (11).

Обычные (нелазерные) источники света не являются когерентными, так как излучение отдельных атомов, из которых состоят источники, не является строго монохроматическим и не согласовано по фазе. Поэтому при наложении пучков света от разных источников фазовые соотношения между световыми колебаниями в любой точке за время наблюдения успевают многократно измениться случайным образом. В результате, энергия результирующего колебания в любой точке равна сумме энергий складывающихся колебаний.

Для наблюдения интерференции необходимы специальные условия, а именно: свет от одного и того же источника нужно разделить на два пучка (или несколько пучков), а затем наложить их друг на друга. Существуют два способа получения когерентных волн: метод деления волнового фронта (реализуется в опытах с бипризмой Френеля, с билинзой Бийе, в опыте Юнга, при прохождении света через дифракционную решетку и др.) и метод деления амплитуды (имеет место при интерференции в тонких пленках, интерферометре Линника, интерферометре Фабри-Перо и др.).

Кольца Ньютона.

Рассмотрим результат сложения когерентных волн, получаемых при отражении светового луча от противоположных по­верхностей плоскопараллельной пла­стинки или пленки толщиной d с показателем преломления п (рис.1). Пусть луч падает из воздуха на верхнюю поверхность пленки под углом α, пре­ломляется вглубь под углом β и после отражения от нижней поверхности, вы­ходит из пленки под тем же углом α, как луч ''2". Частично отраженный в точ­ке А первоначального падения луч "1" параллелен лучу ''2''. Пересечься эти лу­чи могут только на бесконечном удалении, поэтому говорят, что интерфе­ренционная картина локализована в бесконечности. Для ее наблюдения надо использовать оптическую систему, собирающую параллельные световые лучи в одну точку. Такой системой может быть подзорная труба или глаз, аккомодированный на наблюдение очень удаленного предмета.

Рис.1

Вычислим оптическую разность хода лучей '1" и "2". Как видно из ри­сунка, она равна (потеря полуволны или дополнительный сдвиг фазы на π происходит при отражении луча "1" от оптиче­ски более плотной среды, т.е. от верхней поверхности пленки). Но .

Учитывая закон преломления: ,

находим, что: ,

или (1).

Такая интерференционная картина осуществляется для плоской световой волны, падающей на пленку. Она называется интерференционной картиной полос равного наклона, так как максимум или минимум освещенности на­блюдается при падении света под определенным углом α .

Кольца Ньютона являются классическим примером интерференционных полос равной толщины, локализованных вблизи поверхности тонкой пленки. Они наблюдаются при нормальном падении и отражении света, прошед­шего через светофильтр на тонкую пленку, образованную прослойкой между выпуклой поверхностью стеклянной линзы и плоской поверхностью стеклян­ной опоры (рис.8).

Рис.2

Если R - радиус поверхности линзы, а r -расстояние от ее вертикальной оси симметрии, то из образованного ими прямоугольного тре­угольника по теореме Пифагора имеем: , или (3), где расстояние d было бы тол­щиной прослойки на удалении r от оси в том случае, если бы линза касалась стеклянной опоры в нижней точке.

Так как толщина про­слойки при наблюде­нии интерференционной кар­тины должна быть очень мала, то картина наблюдается в очень узкой области вблизи центра линзы (в микроскоп!), где луч "2" падающего па опору и от­раженного от нее света идет практически нормально к опоре и проходит на рас­стоянии r от центральной оси расстояние d+α вверх и вниз.

Согласно фор­муле (2), где α0, условие интерференционных максимумов (светлых по­лос) примет вид: ₍₄₎, где п - показатель преломления среды в прослойке(в данном случае воздуха n=1) , m = 1, 2, 3, ... , а слагаемое появилось вследствие отражения луча "2" от оптически более плотной стеклянной поверхности опоры (рассматриваем случай n<n_стекла).

Поскольку разность хода  зависит от толщины воздушной прослойки, а геометрические места точек, соответствующих одинаковой толщине в данном случае имеют вид окружностей, то соответствующая интерференционная картина имеет вид чередующихся темных и светлых концентрических колец с темным пятном в центре.

Из (4) видно, что dλ<<1мм. Поэтому в формуле (3) можно пренебречь слагаемым d² второго порядка малости, и, подставляя (4), получить радиусы свет­лых интерференционных полос - колец, которые называются кольцами Нью­тона:

. (5)

Радиусы темных колец (интерференционных минимумов) получаются равными:

. (6)

В центре интерференционной картины должно наблюдаться темное пятно (т = 0). Толщина полос будет уменьшаться с ростом числа m.

Последнюю формулу можно использовать для нахождения радиуса кривизны линзы или для нахождения длины световой волны.

В действительно­сти из-за попадания пы­ли, грязи и т.п., нижняя точка линзы может не плотно прилегает к опоре, и расстояние между ними равно некоторой неизвестной величине а (см.рис.9,а), или же линза может быть очень плотно прижата к опоре так, что она деформируется на толщину а (рис. 9,б).

Рис.9

Тогда луч в прослойке будет проходить вверх и вниз не расстояние 2d, а расстояние 2(d ± а), и вместо формул (5) - (6) мы должны получить, например, радиусы темных колец Ньютона с поправкой:

.(7)

Чтобы избавиться от неизвестной величины а, способной заметно повлиять на результаты, необходимо воспользоваться разностью радиусов двух колец. Тогда окончательная формула будет иметь следующий вид: (8)

Если падающий свет немонохроматический и присутствуют все длины волн из спектрального интервала от  до , то количество наблюдаемых интерференционных полос будет ограничено числом: (9)

Описание установки.

Принципиальная схема установки для наблюдения колец Ньютона представлена на рис.2. Линза и плоская стеклянная пластинка 1 зажимаются установочными винтами между двумя оправами. Осветитель состоит из лампочки накаливания 2 и сменных светофильтров 3. Свет от источника падает на стеклянную пластинку 4 под углом 45^о и, отражаясь от нее, попадает в систему 1. Увеличенное изображение колец Ньютона (в отраженном свете) рассматривается через микроскоп (его описание прилагается к установке) или микроскопическую трубку 6.

Рис.2 Схема установки для

наблюдения колец НьютонаОпределение радиуса кривизны R сферической поверхности линзы.

1. Установить систему 1 на предметном столике так, чтобы центр колец лежал на оси тубуса микроскопа.

2. Включить осветитель. Установить на нем матовое стекло и изменением положения собирающего зеркала и системы линз осветителя добиться равномерного освещения картины наблюдения. Если же поле зрения освещено равномерно, то осторожно и медленно попробуйте поднимать или опускать тубус микроскопа, не отрывая глаз от окуляра! Не допускайте резких движений при работе с микроскопом! При излишнем опускании тубуса микроскопа на систему «линза-пластина» можно сломать линзу.

3. Не прикасаясь к регулировочным винтам, посмотрите в окуляр микроскопа. Если в поле зрения, хотя бы сбоку, видна картина кольцевых полос, установите с помощью микрометрического винта тубус микроскопа так, чтобы они были видны максимально резко. После этого, не трогая регулировку тубуса, очень осторожно, с помощью регулировочных винтов предметного столика, выведите центр интерференционной картины (центрального темного пятна) так, чтобы он совпадал со срединой микрометрической шкалы окуляра

4. Установить светофильтр, указанный преподавателем. Добиться получения четкой картины чередующихся темных и светлых колец.

5. Измерить радиусы четырех - пяти темных колец, начиная со второго(в делениях шкалы), отмечая одновременно номера колец.

6. Определить цену деления шкалы окулярного микрометра. Для этого поместить вместо системы пластинка-линза дифракционную решетку с известным периодом и вычислить цену деления как отношение числа делений дифрешетки к соответствующему числу делений окуляра.

7. Вычислить радиусы измеренных колец Ньютона.

8. Комбинируя кольца попарно (5 - 6 пар, причем выбирая максимально удаленные друг от друга кольца), вычислить радиус кривизны линзы по формуле (5). Длина волны используемого светофильтра указана в справочнике. Найти среднее значение R.

9. Для определения полосы пропускания светофильтров подсчитать максимально различимое число колец, не определяя их радиусов. Воспользовавшись уравнением (9), определить ширину полосы пропускания Δλ.

10. Повторить выполнение пунктов 4-9 для второго светофильтра.

11. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу.

Контрольные вопросы

1. Какие источники света можно назвать когерентными?

2. Каковы условия максимума и минимума при интерференции волн?

3. Что такое интерференционная картина? Что ограничивает ее размер?

4. Вывести формулы оптической разности хода при интерференции света на тонкой пленке. Показать ход лучей.

5. Можно ли наблюдать интерференцию на тонких пленках от источника, расположенного на конечном расстоянии? Где локализована эта картина?

6. Почему интерференционную картину нельзя наблюдать на оконных стеклах, а если можно - то в каком случае?

7. Что такое интерференционная картина полос равной толщины? В чем ее принципиальное отличие от картины полос равного наклона? Где локализо­вана эта картина?

8. Что такое кольца Ньютона? Почему интерференционная картина в данной работе имеет вид колец? Что является тонкой пленкой?

9. В каком месте экспериментальной установки видны эти кольца и почему их не видно невооруженным глазом? Показать ход лучей и место образования интерференцион­ной картины на рисунке.

10. Вывести формулы для радиусов светлых и темных колец и радиуса R линзы.

11. Почему Какой радиус имело бы светлое и темное кольцо Ньютона в прохо­дящем свете, если его сравнить с кольцом в отраженном свете?

12. Что произойдет с картиной колец Ньютона, если пространство между линзой и опорой заполнить жидкостью с показателем преломления п >1? Что будет, если показатель преломления этой жидкости превысит показатель пре­ломления стекла? Сохранится ли в центре картины темное пятно, и почему в центре наблюдается именно темное пятно? Что произойдет с картиной и радиу­сами колец при смене красного светофильтра на зеленый?

13. Какие практические применения имеет интерференция света в тонких пленках?