Темы исследовательских работ 'Геометрия и планиметрия'

Предложенные темы исследовательских работ и проектов по геометрии и планиметрии можно брать за основу, дополнять, расширять и изменять.

Список тем исследовательских работ и проектов по геометрии и планиметрии:
А в окружность я влюбился и на ней остановился
А площадь у вас какая?
Аксиоматический метод
Аксиомы планиметрии
Алгоритм Евклида
Арифметика фигур
Бимедианы четырехугольника

Биссектриса - знакомая и не очень
В мире треугольников
В мире фигур
В мире четырехугольников
В моде - геометрия!
Важнейшая теорема геометрии
Великая и могучая теорема Пифагора
Великие задачи математики. Квадратура круга
Великие тайны теоремы Пифагора
Весь мир как наглядная геометрия
Взгляд на элементарную геометрию
Вневписанная окружность
Вписанные и описанные многоугольники
Все о прямоугольном треугольнике
Все о треугольнике.
Всё о циркуле
Вторая средняя линия трапеции
Вывод формул площадей прямоугольника, треугольника и параллелограмма по координатам их вершин
Выпуклый дельтоид на плоскости
Вычисление длины окружности
Вычисление площади кленового листа
Вычисление площади фигуры
Гармония золотого сечения
Гексамино и гексатрион
Геометрическая задача Р.С. Юлмухаметова
Геометрическая иллюзия и обман зрения
Геометрическая иллюстрация средних величин
Геометрическая мозаика
Геометрическая шпаргалка
Геометрические аналогии
Геометрические головоломки
Геометрические задачи древних в современном мире
Геометрические задачи с практическим содержанием
Геометрические задачи через века и страны
Геометрические игрушки - флексагоны и флексоры
Геометрические конструкторы
Геометрические кружева
Геометрические методы при решении алгебраических задач
Геометрические невозможности
Геометрические неожиданности
Геометрические ножницы в задачах
Геометрические парадоксы
Геометрические паркеты
Геометрические построения и их практическое применение
Геометрические сказки
Геометрические сказки по теме "Длина"
Геометрические фигуры
Геометрические фигуры в дизайне тротуарной плитки
Геометрические фигуры в современном мире
Геометрические фигуры в теореме Пифагора
Геометрические фигуры вокруг нас
Геометрические фракталы
Геометрический орнамент древних арабов и его современное прочтение
Геометрический орнамент на посуде
Геометрический словарь
Геометрическое место точек
Геометрическое решение негеометрических задач
Геометрическое созвездие
Геометрия 9-го класса в ребусах
Геометрия Лобачевского. Определение прямой
Геометрия в архитектуре зданий и сооружений
Геометрия в геодезии
Геометрия в живописи, скульптуре и архитектуре
Геометрия в зимних олимпийских видах спорта
Геометрия в красоте орнаментов
Геометрия в моде
Геометрия в народном творчестве
Геометрия и искусство
Геометрия и криптография
Геометрия и характер
Геометрия измерений
Геометрия измерительных приборов
Геометрия красоты
Геометрия на бумаге
Геометрия на клетчатой бумаге
Геометрия на плоскости
Геометрия окружности
Геометрия параллелограмма
Геометрия танца
Геометрия треугольника
Геометрия. Замечательные теоремы
"Дважды биссектриса" треугольника
Две замечательные теоремы планиметрии
Движение геометрических фигур на плоскости
Движения на плоскости и их применение к геометрическим построениям
Декартов лист
Декартова система координат
Декартова система координат на плоскости
Деление окружности на равные части
Деление отрезка на равные части
Деление стороны квадрата в заданном отношении путем складывания.

Длина и ее измерение
Длина окружности и площадь круга.
Доказательства теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Морлея для прямоугольного треугольника
Доказательство теоремы Морлея для равнобедренного треугольника
Доказательство теоремы Наполеона
Дополнительные свойства параллелограмма
Евклидова и неевклидова геометрия. Пятый постулат Евклида
Еще одно свойство трисектрис треугольника
Зависимость количества отрезков от числа точек, отмеченных на прямой
Зависимость числа диагоналей многоугольника от количества его вершин.
Загадки круга
Загадки треугольника
Загадочная и уникальная геометрия
Загадочный эллипс
Задача построения середины отрезка, заданного своими концами, с помощью различных инструментов.
Задачи на построение
Задачи на построение одной линейкой
Задачи на построение с помощью циркуля и линейки
Задачи по геометрии
Замечательные кривые в начертательной геометрии
Замечательные теоремы планиметрии
Замечательные точки и линии треугольника
Занимательная геометрия
Занимательное и познавательное путешествие в страну "Геометрия"
Занимательные задачи по геометрии и черчению
Затейные задачи (геометрические задачи, головоломки со спичками)
Геометрическая вероятность
Знаменитые задачи древности. Трисекция угла
Золотое сечение в геометрии
Золотой треугольник в задачах
Из истории возникновения площадей
Из истории возникновения тригонометрических терминов
Из истории теоремы Пифагора
Изопериметрическая теорема
Изучение способа замощения плоскости равносторонними пятиугольниками
Инверсия как симметрия относительно окружности
Использование геометрии при решении некоторых типов тригонометрических задач
Использование плоских моделей при изучении темы "Площадь"
Исследование влияния радиуса окружности на длину окружности и площадь круга
Исследование свойств многоугольников
Треугольники
Как найти площадь лунки?
Измерение высоты здания необычным способом
Измерение высоты предмета
Измерение длины
Измерение больших расстояний. Триангуляция
Измерения на местности в истории нашего края
Измерительные приборы - наши помощники
Измерительные работы на местности
Изображение точек на координатной плоскости
Исследование симметрии в природе
Квадрат
Квадрат Пирсона
"Квадрат Пифагора" в моей жизни
Квадратное колесо - правда или миф?
Квадратура круга
Ключевые задачи в обучении геометрии 7-го класса
Колесо геометрии
Комплексные числа в задачах по геометрии
Квадратное колесо - правда или миф?
Магические квадраты
Медиана и биссектриса
Медианы треугольника и площади фигур
Метрическая система мер
Метрические теоремы планиметрии
Мистика треугольника
Многоликая симметрия в окружающем нас мире
Многообразие круга
Многоугольники
Многоугольники. Виды многоугольников
Набор задач на вычисление площадей фигур для учащихся 5-го и 6-го классов
Названия геометрических фигур в фамилиях
Нахождение площади плоских фигур через площадь прямоугольника
Начальные геометрические сведения
Небесная геометрия. Геометрия снежинок
Невозможные фигуры
Неевклидова геометрия
Неизвестное об известном треугольнике
Неизвестные страницы теоремы Пифагора
Некоторые задачи на построение параллелограмма
Несколько доказательств теоремы Пифагора
Несколько подходов к решению геометрических задач
Несколько способов решения одной геометрической задачи
Несколько способов решения планиметрической задачи
Новые признаки равенства треугольников.

Еще темы по геометрии и планиматрии

О координатах с улыбкой
О некоторых замечательных теоремах геометрии
О средней линии трапеции
О теореме Пифагора
Обобщение формулы радиуса описанной около прямоугольного треугольника окружности на многомерный случай
Обобщение формулы радиуса описанной около прямоугольного треугольника окружности на трехмерный случай
Обобщения задачи о наименьшей сумме расстояний от двух точек до прямой
Окружность в Декартовой системе координат
Окружность девяти точек
Окружность и круг вокруг нас.
Определение расстояния до объекта. Дальномер
Определение центра тяжести математическими средствами
Оригами и геометрия
Ортотреугольник и его свойства
Особенности построения на клетчатой бумаге
От отрезка до вектора
От параллелограмма до золотого сечения
Открываем неевклидову геометрию
Отрезки
Параллелограмм и трапеция
Параллелограмм и конструирование одежды
Параллельные прямые
Параллельный перенос и поворот.
Паркеты и орнаменты
Паркеты на плоскости
Паркеты, мозаика и математический мир Мариуса Эшера.
Паркеты: правильные, полуправильные. Пародокс М.К. Эшера.
Периметр и площадь многоугольников
Пифагоровы штаны. Во все ли стороны равны?
Площади "составленных" фигур
Площади геометрических углов
Площади многоугольников
Площадь ортогональной проекции многоугольника
Площадь прямоугольника, единицы измерения площадей.
Площадь трапеции
По следам теоремы Пифагора
Повторяем главу "Треугольники"
Подобные треугольники
Подобие в жизни
Подобие треугольников
Подобие треугольников в решении задач и доказательстве теорем.
Поговорим о ромбе
Поиск угла в геометрических задачах
Полезная геометрия
Построение острых углов на клетчатой бумаге
Построение линий в полярной системе координат
Построение правильных многоугольников
Построение правильных многоугольников с помощью линейки и циркуля.
Построение циркулем и линейкой правильных n-угольников.
Правильные многоугольники
Практическая геометрия
Практическая направленность в изучении геометрии
Практические приложения параллелограмма и его видов
Практическое применение геометрии
Практическое применение признаков равенства треугольников.
Практическое применение теоремы Пифагора
Превращение квадрата
Преобразование Наполеона многоугольников
Преобразование Наполеона четырехугольников
Приближенное построение правильных многоугольников.
Признаки параллелограмма
Признаки подобия многоугольников
Признаки подобия треугольников
Признаки равенства треугольников
Признаки равенства четырёхугольников
Применение теорем Чевы и Менелая
Применение теорем Чевы и Менелая для решения задач повышенной сложности
Применение тригонометрии в планиметрии
Пропорциональные отрезки в треугольнике
Пропорциональные отрезки. Способы решения задач
Простейшие задачи на построение
Простой и неисчерпаемый треугольник
Прямая и окружность Эйлера
Прямоугольник в задачах по наглядной геометрии
Прямоугольные треугольники
Путешествие по стране геометрии
Пятый постулат Евклида. Неевклидова геометрия
Равнобедренная трапеция, ее свойства
Равновеликие и равносоставленные плоские фигуры
Равновеликие многоугольники
Равносамопересекающиеся ломаные
Различные доказательства теорем элементарной геометрии, не изучаемых в школе.
Разрезание и складывание многоугольников.
Разрезание квадрата на равные части
Разрезание фигур на равные части
Расстояние между замечательными точками в треугольнике
Решение геометрических задач с помощью сеток
Решение геометрических задач с практическим содержанием
Решение геометрических задач средствами алгебры и тригонометрии
Решение задач на вписанную и описанную окружности
Решение задачи квадратуры круга в её средневековой постановке
Решение сложных геометрических задач на построение методом спрямления.
Ромб и его свойства. Решение задач.

Ромб и квадрат
Свойства и признаки равнобедренного треугольника
Свойства медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.
Свойства четырехугольников
Симметрия в геометрии
Симметрия на плоскости
Снежинки геометрии
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Софизмы и парадоксы
Сокровища геометрии
Способы измерения высоты предмета в реальной обстановке.
Сумма углов треугольника
Сюрпризы биссектрисы
Тайна четырех углов
Тайны звездчатого пятиугольника
Теорема Морлея
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора вне школьной программы
Теорема Пифагора и ее актуальность
Теорема Пифагора и различные способы ее доказательства.
Теорема Птолемея
Теорема Фалеса
Теорема Чевы
Теорема Чевы и Менелая
Теорема косинусов
Теоремы Менелая, Чевы, Птолемея
Теория относительности и геометрия
Точка Ферма-Торричелли
Точка, прямая... что это такое?
Трапеция
Треугольник
Треугольники
Треугольник Рёло
Треугольник и окружность
Треугольник - младший из многоугольников.
Три признака равенства треугольников
Трисекция угла
Углы и отрезки, связанные с окружностью.
Удивительный квадрат
Узоры из многоугольников
Фигуры постоянной ширины. Треугольник Рёло.
Фигуры, вычерчиваемые одним росчерком.
Флаговая геометрия
Флексагоны
Формулы Герона и Брахмагупты
Формулы нахождения площадей треугольника
Цветочная геометрия
Центр масс и его применение в решении задач
Центральная симметрия
Центральная симметрия как вид движения
Четыре замечательные точки треугольника
Четырехугольники
Четырехугольники в нашей жизни
Четырехугольники: их виды, свойства и признаки
Численные методы вычисления площадей фигур сложной формы.
Экстремальные задачи по геометрии.
Эллипс.

Темы исследовательских работ по Фрактальной и Векторной геометрии

Линейные фракталы
Мир фракталов
Прекрасный мир фракталов
Фракталы
Фракталы в нас и вокруг нас?
Фракталы вокруг нас
Фракталы и автоподобные фигуры
Фракталы - геометрия природы
Фрактальная геометрия
Фракталы: геометрия природы и искусство
Элементы фрактальной геометрии

Вектор розы ветров
Векторы
Векторы в решении геометрических задач
Применение векторов в прикладных науках
Применение векторов к решению задач
Применение векторов при доказательстве теорем и решении задач

Темы исследовательских работ по физике (общие темы)

А.Д. Сахаров - выдающийся ученый и правозащитник современности.
Авиационные модели свободного полета.
Автожиры
Агрегатные состояния вещества.
Актуальные проблемы физики атмосферы.
Акустический шум и его воздействие на организм человека.
Алфёров Жорес Иванович.
Альберт Эйнштейн - парадоксальный гений и "вечный ребенок".
Анализ отказов микросборки.
Андронный коллайдер: миф о происхождении Вселенной.
Анизотропия кристаллов
Анизотропия физических свойств монокристаллов.
Аномальные свойства воды
Античная механика
Аристотель - величайший ученый древности.
Артериальное давление
Архимед - величайший древнегреческий математик, физик и инженер.
Аспекты влияния музыки и звуков на организм человека.
Атмосферное давление - помощник человека.
Атмосферное давление в жизни человека.
Аэродинамика на службе человечества
Аэродинамика полосок бумаги, или «И все-таки она вертится!»
Аэродинамические трубы.
Баллистическое движение.
Батисфера
Биолюминесценция
Биомеханика кошки.
Биомеханика человека
Биомеханические принципы в технике.
Бионика. Технический взгляд на живую природу.
Биоскафандр для полета на другие планеты.
Биофизика человека
Биофизика. Колебания и звуки
Бумеранг
В погоне за циклом Карно.
В чем секрет термоса.
В.Г. Шухов - великий русский инженер.
В.К. Рентген - открытия, жизненный путь.
Вакуум на службе у человека
Вакуум. Энергия физического вакуума.
Введение в физику черных дыр.
Вертикальный полет
Ветер как пример конвекции в природе.
Ветер на службе у человека
Взаимные превращения жидкостей и газов. Фазовые переходы.
Взаимосвязь полярных сияний и здоровья человека.
Взвешивание воздуха
Виды загрязнений воды и способы очищения, основанные на физических явлениях.
Виды топлива автомобилей.
Виды шумового загрязнения и их влияние на живые организмы.
Визуализация звуковых колебаний в трубе Рубенса.
Виртуальные лабораторные работы на уроках физики.
Вихревые образования
Вклад Блеза Паскаля в создание методов изучения окружающего мира.
Вклад М.В. Ломоносова в развитие физической науки.
Влажность воздуха и влияние ее на жизнедеятельность человека.
Влажность воздуха и ее влияние на здоровье человека.
Влажность. Определение содержания кислорода в воздухе.
Влияние внешних звуковых раздражителей на структуру воды.
Влияние громкого звука и шума на организм человека.
Влияние звука на живые организмы
Влияние звука на песок. Фигуры Хладни.
Влияние звуков, шумов на организм человека.
Влияние излучения, исходящего от сотового телефона, на организм человека.
Влияние изменения атмосферного давления на посещаемость занятий и успеваемость учащихся нашей школы.
Влияние качества воды на свойства мыльных пузырей.
Влияние лазерного излучения на всхожесть семян гороха.
Влияние магнитного и электростатического полей на скорость и степень прорастания семян культурных растений.
Влияние магнитного поля на прорастание семян зерновых культур.
Влияние магнитного поля на рост кристаллов.
Влияние магнитной активации на свойства воды.
Влияние магнитных бурь на здоровье человека
Влияние механической работы на организм школьника.
Влияние наушников на слух человека
Влияние обуви на опорно-двигательный аппарат.
Влияние погоды на организм человека
Влияние скоростных перегрузок на организм человека.
Влияние сотового телефона на здоровье человека.
Влияние температуры на жидкости, газы и твёрдые тела.
Влияние температуры окружающей среды на изменение снежных узоров на оконном стекле.

Влияние торсионных полей на деятельность человека.
Влияние шума на организм учащихся.
Вода - вещество привычное и необычное.
Вода в трех агрегатных состояниях.
Вода и лупа
Водная феерия: фонтаны
Водород - источник энергии.
Водяные часы
Воздух, который нас окружает. Опыты с воздухом.
Воздухоплавание
Волшебные снежинки
Волшебство мыльного пузыря.
Вращательное движение твердых тел.
Вредное и полезное трение
Время и его измерение
Всегда ли можно верить своим глазам, или что такое иллюзия.
Выращивание и изучение физических свойств кристаллов медного купороса.
Выращивание кристаллов CuSo4 и NaCl, исследование их физических свойств.
Выращивание кристаллов в домашних условиях.
Выращивание кристаллов из разных видов соли.
Выращивание кристаллов поваренной соли и сахара в домашних условиях методом охлаждения.
Высокоскоростной транспорт, движимый и управляемый силой электромагнитного поля.
Давление в жидкости и газах.
Давление твердых тел
Дары Прометея
Двигатель внутреннего сгорания.
Двигатель Стирлинга - технологии будущего.
Движение в поле силы тяжести.
Движение воздуха
Денис Габор
Джеймс Клерк Максвелл
Динамика космических полетов
Динамическая усталость полимеров.
Диффузия в домашних опытах
Диффузия в природе
Диффузия и ювелирные украшения
Доильный аппарат "Волга"
Единицы измерения физических величин.
Её величество пружина
Железнодорожная цистерна повышенной ёмкости.
Женщины - лауреаты Нобелевской премии по физике.
Живые сейсмографы
Жидкие кристаллы
Жизнь и достижения Б. Паскаля
Жизнь и изобретения Джона Байрда
Жизнь и творческая деятельность М.В. Ломоносова.
Жизнь и творчество Льва Николаевича Термена.
Жизнь и труды А.Ф. Иоффе
Зависимость времени закипания воды от её качества.
Зависимость коэффициента поверхностного натяжения моторного масла от температуры.
Зависимость коэффициента поверхностного натяжения мыльного раствора от температуры.
Зависимость скорости испарения воды от площади поверхности и от ветра.
Зависимость сопротивления тела человека от состояния кожного покрова.
Загадки кипящей жидкости
Загадки неньютоновской жидкости.
Загадки озоновых дыр
Загадочная лента Мёбиуса.
Закон Архимеда. Плавание тел.
Закон Паскаля и его применение
Значение паровой машины в жизни человека.
Игорь Яковлевич Стечкин
Из истории летательных аппаратов
Изготовление действующей модели паровой турбины.
Измерение больших расстояний. Триангуляция.
Измерение влажности воздуха и устройства для ее корректировки.
Измерение вязкости жидкости
Измерение плотности твердых тел разными способами.
Измерение температуры на уроках физики
Измерение ускорения свободного падения
Изобретения Герона в области гидродинамики
Изобретения Леонардо да Винчи, воплощенные в жизнь.
Изучение звуковых колебаний на примере музыкальных инструментов.
Изучение свободных механических колебаний на примере математического и пружинного маятников.
Изучение свойств постоянных магнитов.
Изучение сил поверхностного натяжения с помощью мыльных пузырей и Антипузырей.
Изучение сил поверхностного натяжения с помощью мыльных пузырей.
Илья Усыскин - прерванный полет
Инерция - причина нарушения правил дорожного движения.
Исаак Ньютон
Испарение в природе и технике.
Испарение и влажность в жизни живых существ.
Испарение и конденсация в живой природе
Использование тепловой энергии свечи в бытовых условиях.
Исследование атмосферных явлений.
Исследование движения капель жидкости в вязкой среде.
Исследование движения по окружности
Исследование зависимости периода колебаний тела на пружине от массы тела.
Исследование поверхностного натяжения.
Исследование поверхностных свойств воды.
Исследование способов измерения ускорения свободного падения в лабораторных условиях.
Исследование теплопроводности жира.
Исследование физических свойств почвы пришкольного участка.
Как управлять равновесием
Квантовые свойства света.
Колокольный звон с физической точки зрения.
Коррозия металлов
Космические скорости
Космический мусор
Красивые тайны: серебристые облака.

Криогенные жидкости
Лауреаты Нобелевской премии по физике.
Леонардо да Винчи - художник, изобретатель, ученый.
Люстра Чижевского
Магнитная жидкость
Магнитное поле Земли и его влияние на человека.
Магнитные явления в природе
Междисциплинарные аспекты нанотехнологий.
Механика сердечного пульса
Мир невесомости и перегрузок.
Мир, в котором мы живем, удивительно склонен к колебаниям.
Мобильный телефон. Вред или польза?!
Моделирование физических процессов
Модель электродвигателя постоянного тока.
Мой прибор по физике: ареометр.
Молниеотвод
Мыльные пузыри как объект исследования поверхностного натяжения.
Нанобиотехнологии в современном мире.
Нанодиагностика
Наноструктурированный мелкозернистый бетон.
Нанотехнологии в нашей жизни.
Невесомость
Об использовании энергии ветра.
Ода вращательному движению
Озон - применение для хранения овощей.
Опасность электромагнитного излучения и защита от него.
Определение высоты местности над уровнем моря с помощью атмосферного давления.
Определение коэффициента взаимной индукции.
Определение коэффициента вязкости жидкости.
Определение коэффициента поверхностого натяжения воды с различными примесями.
Определение плотности тела неправильной формы.
Определение условий нахождения тела в равновесии.
Определение центра тяжести математическими средствами.
Относительность движения
Очевидное и невероятное при взаимодействии стекла и воды.
П.Л. Капица. Облик ученого и человека.
Парадоксы учения Лукреция Кара.
Плавание тел
Плавление и отвердевание тел.
Плазма.
Плазма - четвертое состояние вещества.
Плотность и плавучесть тела
Поверхностное натяжение воды.
Поверхностное натяжение воды в космосе.
Приливы и отливы
Применение информационных технологий при изучении криволинейного движения.
Применение силы Архимеда в технике.
Применение ультразвука в медицине.
Принцип относительности Галилея.
Простые механизмы в сельском хозяйстве.
Пушка Гаусса
Радиоволны в нашей жизни
Радиоприемник с регулируемой громкостью.
Развитие ветроэнергетики
Рафинирование селена методом вакуумной дистилляции.
Реактивная тяга
Реактивное движение в современном мире.
Реактивные двигатели
Резонанс при механических колебаниях.
Роберт Гук и закон упругости
Роль рычагов в жизни человека и его спортивных достижениях.
Свойства соленой воды. Море у меня в стакане.
Сегнерово колесо
Сила притяжения
Сила трения.
Сила трения в природе.
Современные средства связи. Сотовая связь.
Создание индикаторов течения воды, плотностью равных плотности воды.
Способы определения массы тела без весов.
Способы очищения воды, основанные на физических принципах.
Суда на подводных крыльях - одно из изобретений К.Э. Циолковского.
Тайны наклонной башни Демидовых
Такой ли пустой космический вакуум?
Температура нити накала
Тепловой насос
Трение в природе и технике.
Ультразвук в медицине
Ультразвук в природе и технике.
Устройство оперативной памяти
Феномен гениальности на примере личности Альберта Энштейна.
Ферромагнитная жидкость
Физик Гастон Планте.
Физика землетрясений и регистрирующая их аппаратура.
Физика и акустика помещений
Физика смерча. Смерч на службе человека.
Химия и цвет
Цунами. Причины возникновения и физика процессов.
Чем дизельный двигатель лучше бензинового?
Чуть больше о смерче
Экологический паспорт кабинета физики.
Экспериментальные методы измерения ускорения свободного падения.
Эксперименты с неньютоновской жидкостью.
Энергетика: вчера, сегодня, завтра.
Энергетические возможности магнитогидродинамического эффекта.
Энергия будущего
Энергосберегающие лампы: "за" или "против".
Янтарь в физике.

Темы исследовательских работ и проектов по общей математике

Абсолютная величина
Авторские задачи
Авторские задачи для учащихся 6-го класса по теме "Проценты"
Алгебраические дроби
Аликвотные дроби
Арабские цифры. Некоторые теории происхождения начертания
Арифметика остатков. Сравнения по модулю
Арифметический квадратный корень. Свойства квадратного корня
Без мерной линейки
Без мерной линейки, или измерение голыми руками
Бесконечный мир чисел
Божественное число
Быстрый счет без калькулятора
Буква в кубе
Быстрый счет - легко и просто!
В глубь веков, или Как считали древние
В мире времени (сборник творческих задач)
В мире процентов
В мире ребусов и лабиринтов
В мире удивительных чисел
В поисках оптимальных решений
В царстве чисел-великанов
Вездесущая математика
Великие задачи
Великолепная семерка
Великолепные цифры
Виды задач на логическое мышление
Виды и свойства движений
Виды текстовых задач и их решение
Виды уравнений и способы их решения
Виды уравнений, решаемые в 5-м классе
Власть десятки
Влияние скорости падения дождевых капель на скорость движения человека во время дождя
Во всем царит гармонии закон...
Вокруг обыкновенных дробей
Время и его измерение
Время остановить нельзя, а измерить?
Время работать и время отдыхать
Все есть число
Все о "тройке" и чуть больше...
Все о числе 7
Всегда ли 2 х 2 = 4?
Вычисление скорости течения реки
Галерея замечательных чисел
Галерея числовых диковинок
Гармония и математика
Генетический код и квадрат Пифагора
География чисел
Гипотеза об истоках золотого сечения
Головоломки со спичками
Гора Степень
Графические методы и геометрические соображения при решении задач по математике Графические приемы при решении задач по математике
Графический способ умножения чисел
Графический метод решения сюжетных задач
Два способа решения логических задач
Действительные числа
Действия над числами в различных системах счисления
Действия с десятичными дробями
Действия с многочленами
Делимость чисел
Делимость чисел и метод подобия
Делимость чисел. Принцип Дирихле
День рождения нуля
День рождения числа "пи"
Десятичные дроби
Десятичные дроби и действия над десятичными дробями
Детские задачи для взрослых детей
Древнерусские задачи
Древние системы счисления
Древние, но вечно юные простые числа
Дроби
Дроби и единицы измерения
Дроби и проценты
Дроби. Сравнение дробей
Дружественные тройки чисел
Дружественные числа
Египетские дроби
Его величество процент
Единицы измерения, их история. Метрическая система мер
Еще пять причин полюбить математику
Жар холодных чисел
Живая математика
Живая природа и симметрия
Животные на координатной плоскости
Жизнь нуля
Жизнь нуля - цифры и числа.
Забавная математика
Загадка Рамануджана
Загадка бумажной полоски
Загадки арифметической прогрессии
Загадки числового ряда
Загадочный мир пропорций!
Загадочный мир чисел
Задания для развития математических способностей в 5-м классе
Задача "Волк, коза и капуста"
Задача про лебідя, рака та щуку
Задача одна - розв'язків багато.
Задачи в рисунках
Задачи для внимательных и сообразительных
Задачи из Эфиопии
Задачи из старинного учебника
Задачи на все случаи жизни
Задачи на движение двух объектов
Задачи на движение по реке
Задачи на делимость чисел
Задачи на десятичную запись числа
Задачи на клетчатой бумаге. Формула Пика
Задачи на местном материале
Задачи на наибольшее и наименьшее значение величин и методы их решения
Задачи на оптимизацию
Задачи на переливание жидкости
Задачи на проценты
Задачи на проценты в жизни человека
Задачи на разрезание
Задачи на свежем воздухе
Задачи на чётность
Задачи о лабиринтах
Задачи о четырех красках
Задачи повышенной трудности "на движение"
Задачи с дробями с сюжетами из сказок

Задачи с использованием знака абсолютной величины
Задачи с ограничениями
Задачи с одинаковыми цифрами
Задачи с параметрами
Задачи со спичками
Задачи старинные и старые
Задачи - это интересно!
Задачи, которые могли бы стать теоремами
Задачи-сказки
Замечательные числа. Дружественные числа и простые числа-близнецы
Занимательная логика в математике
Занимательная математика
Занимательные задачи
Занимательные задачи далекого прошлого
Занимательные задачи по математике
Занимательные задачи по математике для учащихся 5-6-х классов
Занимательные задачи по теме "Обыкновенные дроби"
Занимательные числа
Заниматика
Занятные стайки простых чисел
Запись цифр и чисел у разных народов
Зарождение и эволюция математической задачи
Зачем изучать математику?
Зачем человеку нужны измерения в разные времена?
Знакомое и незнакомое магическое число Пи
Знакомство с симметрией
Знакомые и незнакомые формулы сокращенного умножения и их применение при решении задач
Знакомый и незнакомый модуль
Знакомьтесь, уравнение
Золотая пропорция
Золотое сечение в математике
Золотое сечение - высшее совершенство
Золотое сечение - гармоничная пропорция
Извлечение квадратного корня
Извлечение квадратных корней без калькулятора
Измерение времени
Изопериметрическая проблема, или Задача Дидоны
Изучение возможности использования рисунка на уроках математики
Иллюстрации и решения занимательных задач по математике для учеников 6-го класса
Интересное в мире чисел
Интересные и быстрые способы и приемы вычислений
Интересные и интеллектуальные задачки
Информационные модели задач на проценты
Иррациональные числа
Искусство отгадывать числа
Использование математических разрезных игр
Использование некоторых положений теории чисел для решения задач повышенной трудности
Использование старинных мер длины и веса для решения и составления задач
Некоторые интересные зависимости
Исследование математических способностей
Исследование метода решения задач различными способами
Исследование ряда натуральных чисел
Связь НОК и НОД
Про любовь к математике и отрицательные числа
Исчисление времени
Как велик миллион?
Как измерить время?
Как измерить расстояние между родственниками
Как найти решение задачи
Как разрезать пирог?
Как с помощью НОК и НОД решаются разнообразные и интересные задачи
Как считать без компьютера и калькулятора
Календари времени
Календарная даль веков
Калькуляторы
Квадратное колесо - правда или миф?
Контактные числа и проблема тринадцати шаров
Копилка нестандартных задач по математике
Королева математики
Королевство десятичных дробей
Красивые и быстрые способы вычислений
Красная книга на координатной плоскости
Красота в симметрии
Красота и математика
Красота через призму науки
Кратные числа
Криптография
Криптограммы - тайнопись прошлого, настоящего и будущего
Криптография и криптоанализ
Криптография и математика
Криптография и стеганография
Криптография как метод кодирования и декодирования информации
Криптография, математические алгоритмы при шифровании
Криптография. Азы шифрования и история развития
Криптография. Методы ее практического применения
Криптография. Наука о шифрах
Кристаллография и математика
Крылатые математические выражения
Курьезы, софизмы, парадоксы в математике

Ловкий циркуль
Арифметические действия и их свойства
Магические тайны числа 7
Магические числа
Магические числа в природе
Магические числа и фигуры
Магическое число "Пи"
Магическое число Шахерезады
Магия чисел
Магия чисел 3, 11, 13
Математика в жизни человека
Математика в жизни: расчёт ремонтных работ помещения
Математика в моей будущей профессии
Математика вокруг нас
Математика на шахматной доске
Математики-вундеркинды
Математическая обработка экспериментальных данных
Математическая формула прекрасного
Математические жемчужины
Математические презентации
Математические софизмы
Математические термины
Математический календарь школьникам
Математический маятник
Математический помощник
Математическое моделирование
Математическое моделирование
Математическое моделирование глобального развития человечества
Математическое моделирование и его практическое применение
Математическое моделирование как способ решения задач (проблем)
Математическое моделирование окружающей среды
Моделирование составных задач
Моделирование текстовых задач
Математическое описание случайных явлений
Математическое путешествие в мир гармонии
Материалы для математического досуга
Международные меры объёма
Мир чисел
Мир чисел, звуков и цвета
Модуль и его свойства
Модуль числа
"Модуль" - пособие в помощь ученику
Мой край в координатах
Мой мир математики
НОД и НОК и их практическое применение
НОД и НОК при решении задач
На правильном пути по ступенькам прогрессии
Наглядная топология
Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел
Научись решать уравнения
Нахождение значения тригонометрических единиц, нахождение площади треугольника, движения
Начальные понятия теории чисел для шестиклассников
Начальные сведения о модуле
Наше творчество в математике
Не стоит огорчаться - проценты в этом убедят
Неизвестное об известном, или Как сделать открытие. Число Пи равно 4?
Необычное в обычных числах
Необычные способы вычислений
Нестандартные задачи
Нестандартные задачи на олимпиадах по математике
Нуль в математике занимает особое место
Нумерации и системы счисления
Нумерология
Нумерология - современная наука
Нумерология в жизни человека
Нумерология - магия чисел
Нумерология - миф или реальность?
Нумерология - наука о числах в нашей жизни
Нумерология: наука или заблуждение?
Обратная пропорциональность
Обыкновенная дробь. Сложение и вычитание обыкновенных дробей
Обыкновенные дроби
Одним росчерком
Олимпиадные задачи для 5-х классов
Описание красоты и гармонии природы математическим отношением
Определение в курсе математики
Определенный интеграл. Введение и некоторые приложения
Оптические иллюзии и их применение
Орнамент как отпечаток души народа
Орнаментальное и геометрическое искусство М.Эшера
Орнаменты
От пальцев до калькулятора
Открытие: случайность или закономерность?
Ох уж эти проценты!
Очарование простых чисел.

Палиндромы в математике
Параметр. Динамические иллюстрации к решению задач
Письмо с секретом
Планета чисел
По жизни с дробями
По страницам нестареющих русских учебников по математике
Положительные и отрицательные числа
Положительные и отрицательные числа вокруг нас
Понятие "дроби". История изучения
Понятие числа
Понятие числового ряда
Последовательности
Последовательности и прогрессии в жизни
Построения арифметических действий
Практические советы математиков.
Практическое применение процентов
Практическое применение процентов в нашей жизни
"Преданья старины далёкой" (решение старинных задач)
Представление рациональной дроби в виде суммы простейших дробей
Приборы, инструменты и приспособления для вычислений
Приемы быстрого счета
Приемы рационального и быстрого счета
Приемы решений задач на проценты
Приемы устных вычислений
Признаки делимости многозначных чисел на однозначное число
Признаки делимости натуральных чисел
Признаки делимости натуральных чисел на числа от 2 до 25 и на 50
Признаки делимости чисел
Прикладные задачи
Применение космических снимков на уроке математики
Применение графических методов при решении текстовых задач
Применение признаков делимости при решении задач
Применение процентов в жизни
Применение симметрических многочленов для решения задач школьного курса математики
Принцип Дирихле в задачах
Принцип Дирихле и его применение
Проблема поиска корней многочленов
Проверка вычисления числа "пи"
Проверка на четность
Прогрессии
Прогрессии в нашей жизни
Пропорция
Пропорция и золотое сечение
Пропорция в жизни человека
Пропорция. Прямая и обратная пропорциональность
Простые и сложные проценты
Простые и составные числа
Простые числа
Противоречие непротиворечивого утверждения
Процентные вычисления и расчеты
Процентные расчеты на каждый день
Проценты
Проценты в нашей жизни
Проценты в современном мире
Проценты вокруг нас
Проценты и дроби
Проценты. Способы решения задач
Путешествие в страну дроби
Путешествие к истокам геометрии
Путешествие на планету дробей
Путешествие по стране "Математика"
Развитие понятия "бесконечность" в математике
Разговор о нуле
Различные способы решения текстовых задач
Разложение многочлена на множители
Раскрытие скобок
Рациональные приемы умножения и деления
Рациональные числа
Реальный мир воображаемых чисел
Рекуррентные соотношения и их применение
Решение алгебраических уравнений
Решение диофантовых уравнений
Решение задач методом оценки
Решение задач на проценты
Решение задач на смеси и сплавы
Решение задач на соответствие и исключение неверных ответов
Решение задач по готовым чертежам.
Решение задач по теме "Движение по реке"
Решение задач с помощью уравнений
Решение оптимизационных задач по математике
Решение старинных задач
Решение текстовых задач
Решение уравнений в целых числах
Рисуем в координатной плоскости
Рисуем по координатам
Cамое интересное число
Секрет успешного решения задач
Семь величайших загадок математики
Серьезное и курьезное в числах
Сила чисел
Симметрические простые числа
Система старинных мер в современном обществе
Системы счисления
Скрытые модули
Сложение дробей с разными знаменателями
Сложные проценты
Сложные проценты в реальной жизни
Совершенные числа
Совершенные числа. Дружественные числа
Совершенные числа. Простые числа Мерсенна
Сокращение дробей
Сокращенное деление с помощью схемы Горнера
Сохранить здоровье помогут задачи
Способы и приемы быстрых вычислений
Способы представления чисел в различных системах счисления
Способы решения задач на движение тел
Способы устного возведения чисел в квадрат
Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Сравнения как метод исследования делимости натуральных чисел
Сравнительный анализ устойчивости некоторых известных шифров.
Старинные задачи
Старинные задачи древних народов
Старинные задачи на дроби
Старинные задачи на составление уравнений
Старинные занимательные задачи
Cтепени
Степень с натуральным показателем
Считаем без калькулятора
Тайна числа "Пи"
Тайна чётных чисел
Все о числе 13
Текстовые задачи в школьном курсе математики
Текстовые задачи и моделирование
Текстовые задачи на движение
Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы
Текстовые задачи на совместную работу
Теория делимости
Теория чисел
Уравнения с одной переменной
Учебник математики: вчера, сегодня, завтра
Фигурные числа
Философская тайна чисел
Философские аспекты математики
Финно-угорская система счисления в ряду других систем.
Фольклорные задачи
Формула сложных процентов и ее применение
Целые числа и измерение температуры
Цена одной минуты
Цепные дроби
Цифра "9" в тувинской нумерологии
Цифровые корни
Числа Пифагора и красота мира.
Числа Фибоначчи
Числа Фибоначчи - миф или реальность?
Числа Фибоначчи в жизни
Числа Фибоначчи. Практическое применение
Числа в нашей жизни
Числа вокруг нас
Числа и их делимость
Числа правят миром
Числа правят миром. Можно ли представить себе мир без чисел?
Числа с собственными именами
Число П
Число, которое больше Вселенной
Числовые неравенства
Шестое математическое действие
Шесть математических действий
Шифры
Шифры и криптограммы
Шифры и математика
Эти удивительные кватернионы

Международная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»


«Геометрические фигуры в архитектуре»


Предметная область: математика.

Исполнитель: ученики 10 «В» класса

Поликанова Дарья Владимировна

Вавилина Александра Андреевна

МБОУ «Гимназия№7 им. Героя России С.В. Василёва»

Руководитель Лёвочкина Галина Викторовна


Актуальность выбранной темы

Ни один из видов искусств так тесно не связан с геометрией как архитектура. Понимать архитектуру должен каждый, ведь она окружает и сопровождает нас всю жизнь. Великий архитектор Ле Корбюзье говорил: «Окружающий нас мир - это мир геометрии чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Все вокруг - геометрия». Геометрия - одна из древнейших частей математики, изучающая пространственные отношения и формы тел, наука, давшая людям возможность находить площади и объемы, правильно чертить проекты зданий и машин. Люди с незапамятных времен использовали геометрические знания в быту. Геометрической формы были не только бытовые предметы, но и культовые. Таким образом, она является основной частью «фундамента», на котором строится другое не менее важное направление деятельности человека - архитектура. Часто называют архитектуру дочерью геометрии. Необходимость построения прямоугольника, нахождение размеров для заготовки материала и другие неизбежные в строительстве операции требовали усвоения определенных приемов построения архитектурной формы. В этой работе рассматривается важность применения геометрии в архитектуре Древней Руси.

Цели и задачи работы

• показать необходимость изучения геометрии, которая дает возможность понять глубже такое направление в архитектуре как древнерусское зодчество

• значение геометрических законов и закономерностей в зодчестве, их практическом применении при проектировании и постройке сооружений в Древней Руси.

• Расширить общекультурный кругозор посредством знакомства с лучшими образцами произведений архитектурного искусства


Геометрия в древнерусских постройках.

История геометрии в архитектуре

Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений, животных, гор, извилин рек. Однако он не только пассивно наблюдал природу, но и практически осваивал и использовал ее богатства. В процессе практической деятельности он накапливал геометрические сведения. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда, обтесывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду, натягивать тетиву на лук. Первые архитектурные сооружения имели религиозное назначение. Первые дошедшие до нас сведения об успехах геометрии связаны с задачами землемерия, вычислениями объемов. Уже в то время возникло абстрактное понятие геометрического тела как некоторого объекта, сохраняющего лишь пространственные свойства соответствующего физического тела, лишенного всех остальных свойств, не связанных с понятием расстояния, протяженности и т.п. Таким образом, геометрия с момента зарождения изучала некоторые свойства реального мира. Связь геометрии и реального мира сохранилась на всем протяжении ее развития, при этом степень абстракции объекта изучения поднималась на все более высокий уровень.

Симметрия - царица архитектурного совершенства

Всем хорошо знакомо слово симметрия. Наверное, когда вы его произносите, то вспоминаете бабочку или клиновый лист, в которых мысленно можно провести прямую ось и части, которые будут расположены по разные стороны от этой прямой, будут практически одинаковыми. Это представление - правильное. Но это только один из видов симметрии, которую изучает математика, так называемая осевая симметрия. Кроме того, существует более общее понятие симметрии. Общее понятие симметрии характеризует особую структуру организации любых систем, в которой сохраняются определенные признаки при выполнении определенных преобразований. Признаки, которые будут сохраняться, могут быть геометрическими, физическими, биологическими, химическими, информационными и т.д. Рассматривая симметрию в архитектуре, нас будет интересовать геометрическая симметрия - симметрия формы как соразмерность частей целого. Замечено, что при выполнении определенных преобразований над геометрическими фигурами, их части, переместившись в новое положение, вновь будут образовывать первоначальную фигуру. В приведенных примерах рассматриваются разные виды симметрии. В первом случае речь идет об осевой симметрии. Части, которые, если можно так сказать, взаимозаменяют друг друга, образованы некоторой прямой. Эту прямую принято называть осью симметрии. В пространстве аналогом оси симметрии является плоскость симметрии. Таким образом, в пространстве обычно рассматривается симметрия относительно плоскости симметрии. Например, куб симметричен относительно плоскости, проходящей через его диагональ. Имея в виду обе случая, этот вид симметрии иногда называют зеркальной. Название это оправдано тем, что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны от оси симметрии или плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в зеркале. Кроме зеркальной симметрии рассматривается центральная или поворотная симметрия. В этом случае переход частей в новое положение и образование исходной фигуры происходит при повороте этой фигуры на определенный угол вокруг точки, которая обычно называется центром поворота. Отсюда и приведенные выше названия указанного вида симметрии. Поворотная симметрия рассматривалась в примере с пятиконечной звездой. Поворотная симметрия может рассматриваться и в пространстве. Куб при повороте вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90º в плоскости, параллельной любой грани, перейдет в себя. Поэтому можно сказать, что куб является фигурой центрально симметричной или обладающей поворотной симметрией. Еще одним видом симметрии, является переносная симметрия. Этот вид симметрии состоит в том, что части целой формы, организованы таким образом, что каждая следующая повторяет предыдущую и отстоит от нее на определенный интервал в определенном направлении. Этот интервал называют шагом симметрии. Переносная симметрия обычно используется при построении бордюров. В произведениях архитектурного искусства ее можно увидеть в орнаментах или решетках, которые используются для их украшения. Переносная симметрия используется и в интерьерах зданий. Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми. С чем это связано? Здесь можно высказать только предположения.

• 
  Во-первых, все мы с вами живем в симметричном мире, который обусловлен условиями жизни на планете Земля, прежде всего существующей здесь гравитацией. И, скорее всего, подсознательно человек понимает, что симметрия это форма устойчивости, а значит существования на нашей планете. Поэтому в рукотворных вещах он интуитивно стремится к симметрии.

• 
  Во-вторых, окружающие человека люди, растения, животные и вещи симметричны. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что природные объекты только почти симметричны. Но это не всегда воспринимает глаз человека. Глаз человека привыкает видеть симметричные объекты. Они воспринимаются как гармоничные и совершенные.

Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота. Симметричные объекты обладают высокой степенью целесообразности - ведь симметричные предметы обладают большей устойчивостью и равной функциональностью в разных направлениях. Все это привело человека к мысли, что чтобы сооружение было красивым оно должно быть симметричным. Украшения сооружений тоже представляют образцы использования симметрии. Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения. Стоит только посмотреть на великолепное произведение А.Н.Воронихина Казанский собор в Санкт-Петербурге, чтобы убедиться в этом. (Рис.1) Если мы мысленно проведем вертикальную линию через шпиль на куполе и вершину фронтона, то увидит, что с двух сторон от нее абсолютно одинаковые части сооружения. Кроме симметрии в архитектуре можно рассматривать антисимметрию и диссимметрию. Антисимметрия это противоположность симметрии, ее отсутствие. Примером антисимметрии в архитектуре является Собор Василия Блаженного в Москве, где симметрия отсутствует полностью в сооружении в целом. Однако, удивительно, что отдельные части этого собора симметричны и это создает его гармонию. Диссимметрия - это частичное отсутствие симметрии, расстройство симметрии, выраженное в наличии одних симметричных свойств и отсутствии других. Примером диссимметрии в архитектурном сооружении может служить Екатерининский дворец в Царском селе под Санкт-Петербургом. Практически в нем полностью выдержаны все свойства симметрии за исключением одной детали. Наличие Дворцовой церкви расстраивает симметрию здания в целом. Если же не принимать во внимание эту церковь, то Дворец становится симметричным. (Рис.2). В современной архитектуре все чаще используются приемы как антисимметрии, так и диссимметрии. Эти поиски часто приводят к весьма интересным результатам. Завершая, можно констатировать, что красота есть единство симметрии и диссимметрии.

Поиск геометрических форм будущего строения

900 лет тому назад в Киево-Печерском монастыре была заложена знаменитая Успенская церковь. Повествование «о создании церкви Печерская»- уникальный документ, позволяющий за иносказательной, религиозной формой проследить реальную картину начального этапа строительства на Руси в 11-ом веке. Вычерчивание геометрических очертаний будущего здания, установление конструктивных размеров, определение толщины стен, возможных пролетов требовали знаний и опыта. Именно в процессе расчерчивания плана здания в натуральную величину на строительной площадке окончательно созревал и конкретизировался архитектурный замысел, уточнялись его детали и определялись размеры будущего сооружения. Черновые, рабочие изображения делались зодчим для себя, для уточнения своей мысли. Такие уточняющие изображения, скорее всего, могли выполняться на бересте, палочкой на земле, лепиться из глины или вырезаться из дерева, (рис.3)Мастер продумывал всю систему «размерения», находил определенный метод геометрического или числового согласования величин. У него складывался план геометрического построения. Для особо важных построек на Руси выполняли модели, которые являлись образцами будущих храмов и фиксировали созревший замысел архитектора. Следующим этапом был переход к реальным очертаниям здания на строительной площадке, т.е. к чертежу в натуральную величину (рис.4)

«Золотое сечение» в архитектуре Древней Руси.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Математики и историки, архитекторы и философы с разных позиций то возносили, то низвергали закономерности согласования архитектурной формы. Особое внимание привлекали модульная система и «золотое сечение». Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Примером может служить Успенская Елецкая церковь в Чернигове. Расчет размеров этой церкви позволил выявить, что композиционный замысел целиком связан с золотым сечением (рис.5). Размеры многих храмов Новгорода также определены в частях и в целом как соразмерности золотого сечения (рис.6).Интересна история реконструкции Великой Печорской церкви (рис.7). Построенная в 1073 году, эта церковь была разрушена фашистами в годы войны. Однако, используя сохранившееся свидетельство и сопоставляя основные размеры Печерской церкви с Елецкой церковью в Чернигове, все древние части которой сохранились, удалось осуществить реконструкцию объёмов Печерской церкви. Известно, что Успенский храм Киево-Печерского монастыря, служил образцом для многих культовых построек.

Золотое сечение в архитектуре

В книгах о "золотом сечении" можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими "золотое сечение", то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. "Золотое сечение" дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин. Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон .Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал "золотое сечение".Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова. Еще один архитектурный шедевр Москвы - дом Пашкова - является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: "Архитектура - главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания... К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок".

Магический квадрат и его применение в архитектуре древними мастерами.

Широкое использование квадрата и его производных имело в древнерусском зодчестве глубокие корни. Древние изображения вписанных друг в друга квадратов с четырьмя линиями, соединяющими их стороны в средней части называют вавилонами (рис.8) Геометрические свойства квадратного и прямоугольного вавилонов позволяли, не прибегая к вычислениям, получать пропорционально связанные ряды величин, строить правильные треугольники и шестиугольники, равновеликие по площади квадрату. Древнерусские мастера - использовали в своей работе взаимосвязанные меры длины. В основе взаимосвязанных мер длины лежали соотносимые величины системы двух квадратов. Геометрические построения на базе двух квадратов позволяют получить почти все распространенные в строительстве пропорциональные отношения, в том числе и характерные для древнерусской метрологии (рис.9) Для древнего мастера система пропорционирования была не каноном, не догмой, а методом работы, способом достижения гармонического единства произведения.На (рис.10) видно, что гармония храма Покрова Богородицы на Нерли (построена в 1165г.) подчинена строгим математическим законам пропорциональности. Церковь построена на пропорциях функции золотого сечения, что дает в плане три вписанных друг в друга «живых квадрата»

_________________________________________________________________

Вывод

Итак, при постройке, как современных зданий, так и зданий прошлых веков необходимы знания геометрии. Архитектурное формообразование с помощью геометрических построений сохраняется во всех случаях.Приемы формообразования, установления оптимальных соотношений частей постройки вырабатывались в течение вековой строительной практики в результате повседневных измерительных и разбивочных операций. Эти приемы построения архитектурной формы основывались на знаниях прикладной геометрии и проверялись опытом многих поколений строителей. Изучая литературу к данной работе, интересно было узнать, что знания прикладной геометрии использовались на практике не только древними строителями, а также иконописцами, и мозаичистами. Так же было приобретено много интересных знаний из истории архитектуры и геометрии, что еще раз убеждает в многогранности применения этой науки (геометрии) и необходимости ее изучения. Не вызывает сомнения важность применения закономерностей и законов геометрии: золотого сечения, симметрии, свойств квадрата, соотношения пропорциональности в зодчестве различных построек в Древней Руси.В результате проделанной работы выяснилось, что геометрия с архитектурой непосредственно связаны - геометрия является незаменимой частью архитектуры, одной из ее основ.

Список использованной литературы:

1. 
   Волошинов А. В. «Математика и искусство» 2000 г. «Просвещение»

2. 
   Коробко В.И., Коробко Г.Н.; М., АСВ Издательство, 2002 г. «Золотая пропорция и человек»

3. 
   Степанов; М., «Архитектура-С» 2003 г.

4. 
   Тиц А.А.; М., Стройиздат, 1978 г. «Загадки древнерусского чертежа»

5. 
   Захидов П.Ш. Основы гармонии в архитектуре. - Ташкент: Фан, 1982. - 163 с.

6. 
   Фридман И. Научные методы в архитектуре. - М.: Стройиздат, 1983.

Приложение

(рис.1)


(рис.2)

(рис.3)


(рис.4)

(рис.5)


(рис.5)


(рис.6)

(рис.7)


(рис.8)


(рис.9)

Евклидова геометрия

В число новых предметов учебного плана 7 класса входит геометрия. К изучению этого раздела математике школьников готовят ещё с 1 класса. И в течение пяти лет они овладевают геометрическими образами, фактами и терминами.

Начало геометрии дал древнегреческий ученый Евдем Родосский. Геометрия возникла в Египте при измерение земли. Сезострис , египетский царь, - рассказывает греческий историк Геродот, живший в 5 веке до н. э.,- произвёл деление земель , отмежевав каждому египтянину участок по жребию. Приведенные тексты древнегреческих авторов Геродота и Евдемма Родосского очень ценны. Они утверждают о всеобщих геометрических знаниях в Египте более 4000 лет назад. А также сохранились и подлинные записи египетской математике. Самым древним является папирус, написанный примерно в 1900 г. До н.э. Папирус приобрёл известный русский египтолог В.С. Голенищев в 1893 г. А в 1912 г. он стал достоянием Московского музея. В Московском папирусе среди 25 задач математике также содержится 7 геометрических.

Еще хранится в Британском музее папирус Ахмеса. В этом папирусе рассмотрено решение 84 прикладных задач, в том числе 20 геометрических. Особую роль в дальнейшем развитии геометрии сыграло накопление геометрических знаний в Египте и в Вавилоне. Около двух с половиною тысяч лет назад греки начинают заимствовать геометрические познания у египтян и вавилонян. В Греции эти знания сначала почти исключительно применяются к измерению земельных участков. Отсюда и появляется греческое название "геометрия". Первым испытал свои силы в написании такого сочинения геометрии 5 в. до н.э. Гиппократ Хиосский, научная деятельность которого протекала в Афинах. В основу своих геометрических знаний Гиппократ положил простейшие геометрические свойства, подтверждённые многовековым опытом человечества. Остальные же предложения геометрии он стремился вывести из исходных путем рассуждений.

Следующем этапом стала теоретическое сочинение по математике "Начала" Евклида. "Начала" и является главной из всех работ Евклида. "Начала" составлены по чёткой логической схеме, выработанной до Евклида. В соответствии с ней сначала формулируется определения и аксиомы, а затем такие предложения, которые сопровождаются доказательствами. "Начала" состоит из 13 книг. Которые из них 9 геометрических, а первые 6 книг посвящены планиметрии и последние 3- стереометрии. Первая книга начинается с 23 «определений», среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; прямая есть линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек. Первые четыре книги «Начал» посвящены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные свойства прямолинейных фигур и окружностей.

В книге 1 даны определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности: «точка есть то, что не имеет частей», «поверхность есть то, что имеет только длину и ширину», и т.д. За этими определениями следуют пять требований или постулатов:

«Допустим:

1. что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;

2. и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;

3. и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;

4. и что все прямые углы равны между собой;

5. и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных - самый знаменитый. Затем Евклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы ко всем наукам. Аксиомы - это такие очевидные вещи, которые, по словам Аристотеля, «необходимо знать каждому, кто будет что-то изучать». Постулат - это лишь принцип, который геометр предлагает принять своему собеседнику, но который не является ни «очевидным», ни «аксиоматическим» и который можно отвергнуть, не приходя к противоречию.

Сформулировав определения, постулаты и аксиомы, Евклид доказывает в книге 1 свойства треугольников среди которых - условия равенства, причем два треугольника равны, если они совмещаются при наложении. Далее описывается построения биссектрисы угла, отрезка и перпендикуляра к прямой. В эту книгу включены также теория параллельных и вычисление площадей некоторых плоских фигур.

В книге 2 заложены основы так называемой геометрической алгебры. Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Произведение двух чисел, АВ, таким образом, - не что иное, как площадь прямоугольника со сторонами А и В. Произведение трех чисел - объем.

Книга 3 целиком посвящена геометрии окружности, а в книге 4 изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее.

Книга 5 написана на более высоком уровне, а теория отношений, которая в ней изучается, - вещь очень тонкая. Теория пропорций представляет собой шедевр математической литературы всех времен. На протяжении многих веков она интересовала математиков. Однако построение множества чисел не входило в намерение Евклида, он лишь стремился обосновать измерение величин.

Евклид включает в понятие величины длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы, хотя нигде об этом не писал. Отказавшись использовать геометрическую очевидность, избегая также обращение к арифметике, он не приписывал величинам численных значений. Книга 6 также посвящена планиметрии.

В книгах 7-9 изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида, сюда входят теории делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел.

Книга 10 читается с трудом, но считается одной из самых тонких; она содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые там представлены геометрически прямым и прямоугольниками.

Книга 11 посвящена стереометрии. В книге 12, с помощью метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников. Предметом книги 13является построение правильных многогранников.

Текст Начал на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Древнейший из их, написанный Проклом, является важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. В частности, Прокл дает краткое изложение истории греческой математики (т.н. Эвдемов обзор), обсуждает весьма непростую взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль созерцания в доказательствах (фрагмент из Порфирия). Из древних комментаторов следует упомянуть еще Паппа, из новых Пьера Рамуса,Федериго Коммандино, Христофа Шлюсселя (Клавия) и Савелиуса.

«Начала» - не единственный труд Евклида, ему принадлежат, кроме того:

• «Data», близко связанное с первыми четырьмя книгами Начал.

• «О делении фигур», которое сохранилось частично и только в арабском переводе и дает деление геометрических фигур на две или более части, равные или состоящие в заданном отношении.

• «Phaenomena», посвященное приложениям сферической геометрии к проблемам астрономии.

• «Оптика», посвященное теории перспективы

• «Катоптрика», посвященное математической теории зеркал. Первое издание состоялось в Париже, 1557.

• «Начала конических сечений» в четырёх книгах. Не сохранилось. Упоминается в I книге «Конических сечений» Аполлония Пергского.

• «Геометрические места на поверхностях». Упоминается у Паппа Александрийского (VII книга Математического собрания). Не сохранилось.

В число утверждений, которые принимаются в "Началах" без доказательства, входила и аксиома о параллельных линиях. Эта аксиома по многим причинам смущала математиков. Она значительно сложнее других аксиом. Сложнее и по утверждаемому его факту, и по своей формулировке. С этой целью стремились доказать аксиому о параллельных. Пытались логически вывести её утверждение из остальных аксиом Евклида. Не один раз казалось, что многовековые поиски доказательств правили, наконец, к успеху. Великий русский математик Н.И. Лобачевский впервые строго научно установил полную бесплодность попыток доказательств аксиом о параллельных. Он доказал, что утверждение этой аксиомы нельзя вывести из остальных аксиом Евклида. Геометрия Лобачевского в настоящее время имеет широкое применение. На неё опираются очень многие теории современной физики и астрономии. Однако область применений геометрии Евклида остаётся достаточно широкой. Её должны знать все , независимо от своей будущей специальности. А потому евклидову геометрию изучают и будут изучать в школах.

mobil 1 esp formula 5w 30

Задача об удвоении куба

Задача об удвоении куба носит ещё название делосской или делийской задачи. С её возникновением связывают обычно легенду о разразившейся на острове Делосе гуме и об условии, которое поставил оракул в храме Аполлона перед делосцами, молившими божество об избавлении от лихой беды. Вероятно, было это так.

Боги бывают милостивыми, но чаще всего они злы. Злость их не имеет границ. За вину одного расплачиваются многие. А часто и вины никакой нет. Вины нет, а наказание есть…

День за днём гибли и гибли люди на острове Делосе. Чума как незваная гостья, нагло заходила в каждый дом и пятнала своей костлявой рукой каждую семью.

Все дни неумолчно ревёт море. Попрятались птицы, укрылись в горах звери. Гигантские волны, обрушиваясь на прибрежные скалы, приносили с собой запах тлена, запах смерти…

Горе, страшное горе нависло над Делосом. За что прогневались боги? Какую жертву требуют они?

Почему молчит оракул? Почему спит Пифия? День сменяется ночью, ночь - ещё более тягостным днём, а спасенья всё нет и нет.

Наконец, после долгих дней непрерывного сна, прорицательница пробудилась. Она сидела у входа в пещеру, из глубины которой неслись густые, тлетворные миазмы. Её длинные, всклоченные, нечесаные волосы развевались на ветру, как бесчисленные змеи на голове Медузы Горгоны. Под действием вредоносных испарений Пифия впала в состояние транса и начала выкрикивать слова, смысл которых не был понятен непосвященным. Этот смысл могли разгадать только жрецы, да и то лишь после того, как сверялись со старыми книгами.

На этот раз смысл бессвязного бормотания Пифии был таков: Аполлон, божественный покровитель острова, требовал удвоить алтарь в его храме. На этом алтаре по особо торжественным праздникам верховный жрец храма приносил кровавые жертвы.

Требование поначалу показалось очень простым. Измученные изнурительным бедствием делосцы бросились в каменоломню и после нескольких дней лихорадочного труда выточили из громадного куска гранита куб, в точности равный храмовому алтарю.

Обвязав камень верёвками, обессиленные люди впряглись в лямки и поволокли его к храму. С неимоверными усилиями подняли его на старый жертвенник и укрепили. Желание бога было выполнено - объём нового жертвенника был точно вдвое больше старого. Жители ликовали…

Радость оказалась преждевременной. Неумолимая, незваная гостья по - прежнему ходила из дома в дом, и по - прежнему воздух оглашался воплями и стенаниями. Что же бог? Чего же он хочет ещё? Разве они не сделали того, что он просил?

Вновь поднялась на высохших ногах старая прорицательница и вновь уселась у входа в священную пещеру. И опять, как прежде, извивались на ветру её нечесаные волосы, похожие на бесчисленных змей Горгоны, и опять тяжелые испарения окутали её и помутили рассудок. Снова полились бессвязные выкрики и бормотания. Жрецы открыли свои божественные книги и стали искать смысл того, что им передала Пифия своём горячечном бреду. На этот раз смысл прорицания был таков: удвоить жертвенник, не меняя его формы. Не раздумывая, как и в первый раз, бросились воспарявшие духом делосцы в каменоломню.

Однако на этот раз дело оказалось намного труднее, чем прежде. Кто - то предложил выточить куб, ребро которого точно в два раза больше ребра храмового алтаря. Однако тут же это предложение было высмеяно - объём такого куба будет не в два, а в восемь раз больше объёма куба, стоящего в храме. Несколько каменщиков взялись выточить куб с объёмом, лишь приблизительно вдвое превосходящим объём куба, выточенного ими же несколько дней назад. И это было отвергнуто - богу надо было дать точное решение.

После целого ряда бесплодных попыток решить задачу несколько человек вызвались съездить в Афины, чтобы посоветоваться с тамошними математиками.

Посланные возвратились через несколько дней. Некто Гиппократ с острова Хиоса, находившийся в то время в Афинах, предложил найти ребро искомого куба как первое из двух средних пропорциональных между двумя величинами, из которой одна - ребро куба, стоящего в храме Аполлона, вторая - вдвое больше её.

И вновь застучали молотки. Через несколько дней жертвенник был готов. Тащить его в храм пришлось значительно большему числу людей, чем в первый раз. Убрали два старых куба и на их место водрузили новый.

…И на этот раз жестокий бог обманул надежды несчастных делосцев. Смерть беспощадной рукой продолжала косить ни в чем неповинных людей. Чего же ещё надо жестокосердному Аполлону? Разве мало ему тех жертв, что уже принесены? Разве они не старались во всё следовать его велениям?

В третий раз поднялась высохшая, как безжизненная олива, Пифия и заняла место у пещеры. В третий раз измученные жители с острова с болью и надеждой прислушивались к каждому её вздоху.

Веление, которое в этот раз передал Аполлон, было таково: куб был построен с использованием недопустимых инструментов. Надо было это сделать, не прибегая ни к какой иной помощи, кроме циркуля и линейки. Только эти инструменты божественны. Все остальные не достойны того, чтобы с их помощью исполнять волю богов.

Чёрный мрак вновь опустился над Делосом…

Гиппократ Хиосский, с которым мы уже познакомились, занимался не только луночками, образованными дугами окружностей, с его именем связана также одна из попыток решения задачи об удвоении куба. Как известно, эта задача состоит в требовании построить с помощью циркуля и линейки ребро куба, объем которого в два раза больше объема данного куба. Если a - ребро данного куба, x - ребро искомого, то, в соответствии с задачей, мы должны иметь x³ = 2 a³ (1)

Гиппократ задачи не решил. Ни с помощью циркуля и линейки, ни с помощью иных инструментов. Но он показал, что эта задача может быть сведена к задаче о нахождении двух средних пропорциональных между двумя заданными величинами, из которых первая равна ребру искомого куба, другая - вдвое больше ее. Тогда ребро искомого куба будет первой средней пропорциональной. Действительно, если воспользоваться современными обозначениями, то мы будем иметь: xa=yx=y2a. Из этих двух пропорций получаем: x2=2y;y2=2ax (2). Исключив из последних равенств y , после сокращения получающегося при этом соотношении на x , придем к равенству (1).

mobil 1 esp formula 5w 30

Неевклидова геометрия

Сохранились студенческие записи лекций Лобачевского (от 1817), где им делалась попытка доказать пятый постулат Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» за 1822/23 и 1824/25 Лобачевский указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы.
7 февраля 1826 Лобачевский представил для напечатания в Записках физико-математического отделения сочинение: «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке). Но издание не осуществилось. Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Лобачевским в его труд «О началах геометрии» (1829-1830), напечатанный в журнале «Казанский вестник». Это сочинение стало первой в мировой литературе серьёзной публикацией по неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского.
Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. В качестве альтернативы предлагает другую аксиому: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. Разработанная Лобачевским новая геометрия не включает в себя евклидову геометрию, однако евклидова геометрия может быть из нее получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна.
Однако научные идеи Лобачевского не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 г. советом университета в Академию наук, получил у М. В. Остроградского отрицательную оценку. Среди коллег его почти никто не поддерживает, растут непонимание и невежественные насмешки. Венцом травли стал издевательский анонимный пасквиль, появившийся в журнале Ф.Булгарина «Сын отечества» в 1834 г. Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какой-нибудь серьезной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю! Если не ученость, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего.
Но Лобачевский не сдается. В 1835-1838 он публикует в «Ученых записках» статьи о «воображаемой геометрии», а затем выходит наиболее полная из его работ «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных».
Не найдя понимания на родине, он пытается найти единомышленников за рубежом. В 1840 г. Лобачевский печатает на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных», где содержится четкое изложение его основных идей. Один экземпляр получает Гаусс, «король математиков» той поры. Как много позже выяснилось, Гаусс и сам тайком развивал неевклидову геометрию, однако так и не решился опубликовать что-либо на эту тему. Ознакомившись с результатами Лобачевского, он выразил свою симпатию к идеям русского учёного косвенно: рекомендовал избрать Лобачевского иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества. Восторженные отзывы о Лобачевском Гаусс доверил только своим дневникам и самым близким друзьям. Это избрание состоялось в 1842 году. Однако положения Лобачевского оно не укрепило. Ему осталось работать в родном университете ещё четыре года.
Лобачевский не был единственным исследователем в этой новой области математики. Венгерский математик Янош Бойяи независимо от Лобачевского в 1832 году опубликовал своё описание неевклидовой геометрии. Но и его работы остались неоценёнными современниками.
Лобачевский умер непризнанным. Спустя несколько десятилетий ситуация в науке коренным образом изменилась. Большую роль в признании трудов Лобачевского сыграли исследования Э. Бельтрами (1868), Ф. Клейна (1871), А. Пуанкаре (1883) и др. Появление модели Клейна доказало, что геометрия Лобачевского так же непротиворечива, как и евклидова.

Модель Лобачевского

Модель Клейна

Модель Пуанкаре

За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями - преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.
Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами.

mobil 1 esp formula 5w 30

Система математических задач, решаемых методом площадей

В современных учебниках, пособиях и различного рода задачниках, к сожалению, уделяется мало внимания психологическим факторам, влияющим на успешность обучения математике. А именно, воспитание у учащихся уверенности в своих силах, развитие умения пользоваться прошлым опытом. В данном реферате предлагается разработка системы математических задач, решаемых методом площадей.
Реферат построен следующим образом. Берутся два общеизвестных утверждения, которые являются базовыми. На основе этих утверждений выстраиваются две «цепочки» задач по нарастающему уровню сложности. Решения задач в этих «цепочках» основаны на базовых утверждениях и на решении предыдущих задач.
Утверждение 1. Два треугольника являются равновеликими, если равны их высоты и основания.

Задача 1. Докажите, что диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника. Решение. Высоты треугольников ABD и BCDравны. AD = BC (по свойству параллелограмма). Тогда в силу утверждения 1 S_▲ABD = S_▲BCD

Решение. Высоты треугольников ABD и BCDравны. AD = BC (по свойству параллелограмма). Тогда в силу утверждения 1 S_▲ABD = S_▲BCD

Задача 2. На стороне CD параллелограммаABCD взята произвольная точка Е. Зная, что S_▲ABE = S, найдите площадь параллелограммаABCD. Решение. Проведем дополнительное построение: КЕ?AD. Тогда из задачи 1 следует, что S_▲KBE = S_▲CBE, а S_▲AKE = S_▲ADE . Отсюда S_ABCD = 2S

Решение. Проведем дополнительное построение: КЕ?AD. Тогда из задачи 1 следует, что S_▲KBE = S_▲CBE, а S_▲AKE = S_▲ADE . Отсюда S_ABCD = 2S

Задача 3. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и CD взяты произвольные точкиM и N. Докажите, что площадь четырехугольника KMEN равна площади четырех образовавшихся треугольников.

Решение. Проведем отрезок КЕ. Тогда в силу задачи 2 S_▲KME = S_▲KMB + S_▲MEC, а S_▲KNE = S_▲AKN + S_▲EDN

Отсюда S_▲KMEN = S_▲KMB + S_▲MEC + S_▲KNE+ S_▲EDN

Решение. Проведем отрезок КЕ. Тогда в силу задачи 2 S_▲KME = S_▲KMB + S_▲MEC, а S_▲KNE = S_▲AKN + S_▲EDN

Отсюда S_▲KMEN = S_▲KMB + S_▲MEC + S_▲KNE+ S_▲EDN

Задача 4. Внутри параллелограмма ABCD взята произвольная точка О. Зная площадь трех треугольников с вершиной в точке О, найдите площадь четвертого треугольника.

Решение. Пусть S_▲ADO = S₁, S_▲ABO = S₂,S_▲BOC = S₃. Произведем дополнительное построение: КЕ?АВ. Введем следующие обозначения: S_▲EOD = a, S_▲KCO = b, S_▲BKO = c, S_▲AEO = d. Тогда S₂ = с +d , S_▲DOC = a + b, S₁+ S₃ = a + b + c + d . Отсюда S_▲DCO = S₁ + S₃- S₂

Задача 5. Каждая диагональ четырехугольника делит его на треугольники одинаковой площади. Докажите, что это параллелограмм. Решение. Из условия следует, что верны равенства: S₁ + S₂ = S₃ + S₄ и S₁ + S₄ = S₃ + S₂ . Откуда получим, что S₁ = S₃, а S₂ = S₄. Отметим, что S2S1=AOOC, S4S3=AOOC. Кроме этого, соответствующие высоты треугольников BOC, COD и AOB, AOD равны, соответственно, площади относятся как длины оснований. Из того, что S₁ = S₃ и S₂ = S₄. следует, что AOOC=AOOC. Следовательно, AO = OC . Аналогично можно доказать, что BO = OD . Можно сделать вывод, что диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, а это значит, что ABCD - параллелограмм.

Решение. Из условия следует, что верны равенства: S₁ + S₂ = S₃ + S₄ и S₁ + S₄ = S₃ + S₂ . Откуда получим, что S₁ = S₃, а S₂ = S₄. Отметим, что S2S1=AOOC, S4S3=AOOC. Кроме этого, соответствующие высоты треугольников BOC, COD и AOB, AOD равны, соответственно, площади относятся как длины оснований. Из того, что S₁ = S₃ и S₂ = S₄. следует, что AOOC=AOOC. Следовательно, AO = OC . Аналогично можно доказать, что BO = OD . Можно сделать вывод, что диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, а это значит, что ABCD - параллелограмм.

Утверждение 2. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

Задача 6. В параллелограмме ABCD точка К - середина АВ, а L - середина ВС. Зная, что S_KBLD= S , найдите S_ABCD . Решение.
Проведем диагональ ВD. Тогда,
исходя из утверждения 2, получим,
что S_ABCD = S.

Решение.
Проведем диагональ ВD. Тогда,
исходя из утверждения 2, получим,
что S_ABCD = S.

Задача 7. В четырехугольнике ABCD точка Е, середина АВ, соединена с вершиной D, а точкаF, середина CD, - с вершиной В.
Докажите, что S_ABCD = 2S_EBFDРешение.
Проведя диагональ ВD и рассуждая аналогично задаче 6, получим, что S_ABCD = 2S_EBFD

Решение.
Проведя диагональ ВD и рассуждая аналогично задаче 6, получим, что S_ABCD = 2S_EBFD

Задача 8. В произвольном четырехугольнике проведены отрезки, соединяющие середины сторон этого многоугольника. Зная площади
трех из полученных четырехугольников, найдите площадь четвертого. Решение. В силу утверждения 2 и обозначений, использованных для элементов чертежа, получим S₁ = a + b, S₂ = b + c, S₃ = c + d, S₄ = a +d. Тогда, зная S_1, S₂, S_3, S₄ получим, что S₄ = S₁+ S₃ - S₂ .

Решение. В силу утверждения 2 и обозначений, использованных для элементов чертежа, получим S₁ = a + b, S₂ = b + c, S₃ = c + d, S₄ = a +d. Тогда, зная S_1, S₂, S_3, S₄ получим, что S₄ = S₁+ S₃ - S₂ .

Задача 9. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника. Решение.
В силу задачи 1 и утверждения 2 будем иметь

S_▲AOB = S_▲BOC = S_▲COD =S_▲DOA

Решение.
В силу задачи 1 и утверждения 2 будем иметь

S_▲AOB = S_▲BOC = S_▲COD =S_▲DOA

Задача 10. Середины двух параллельных сторон параллелограмма соединены с противолежащими вершинами. Какая часть площади параллелограмма ограничена проведенными отрезками? Решение.
Проведем отрезок МК. Тогда
в силу задачи 9 S_MFKE = 41SABCD.

Решение.
Проведем отрезок МК. Тогда
в силу задачи 9 S_MFKE = 41SABCD.

Задача 11. Дан выпуклый четырехугольникABCD. Середины сторон АВ и CD обозначены соответственно через К и М, точку пересечения отрезков ВМ и СК - через Р, точку пересечения отрезков АМ и DК - через О. Докажите, S_MOKP =S_▲BPC + S_▲AOD

Решение. Проведем диагональ ВD. Так как DК иВМ медианы вновь полученных треугольников, то SAKD=21SABD, SBMC=21SBCD. Отсюда S_▲AKD + S_▲BMC = $$\frac{1}{2}S_{ABCD}$$ (1) Проведя диагональ АС и учитывая, что АМ иСК медианы уже вновь полученных треугольников, получим SKBC=21SABC,SAMD=21SACD .
Тогда S_▲KBC + S_▲AMD = $$\frac{1}{2}S_{ABCD}$$ (2).
Из равенств (1) и (2) следует, что S_▲AKD+ S_{▲BMC +} S_▲KBC + S_▲AMD = S_ABCD .
В этой сумме дважды учтены площади треугольников ВРС и АОD, но не учтена площадь четырехугольника МОКР. ПоэтомуS_MOKP = S_{▲BPC +} S_▲AOD.

Решение. Проведем диагональ ВD. Так как DК иВМ медианы вновь полученных треугольников, то SAKD=21SABD, SBMC=21SBCD. Отсюда S_▲AKD + S_▲BMC = $$\frac{1}{2}S_{ABCD}$$ (1) Проведя диагональ АС и учитывая, что АМ иСК медианы уже вновь полученных треугольников, получим SKBC=21SABC,SAMD=21SACD .
Тогда S_▲KBC + S_▲AMD = $$\frac{1}{2}S_{ABCD}$$ (2).
Из равенств (1) и (2) следует, что S_▲AKD+ S_{▲BMC +} S_▲KBC + S_▲AMD = S_ABCD .
В этой сумме дважды учтены площади треугольников ВРС и АОD, но не учтена площадь четырехугольника МОКР. ПоэтомуS_MOKP = S_{▲BPC +} S_▲AOD.

Задача 12. На продолжениях сторон выпуклого четырехугольника АВСD отложены отрезки BB₁ = AB, CC₁ = BC, DD₁ = CD и AA₁ = AD. Докажите, что площадь четырехугольника А₁В₁С₁D₁ в 5 раз больше площади четырехугольника АВСD. Решение. Медиана делит площадь треугольника пополам, поэтому площади треугольников ABC, BB₁C и CC₁B₁ равны между собой. Площадь треугольника ACDравна площади треугольника ADD₁, площадь треугольника ADD₁ равна площади треугольника AA₁D₁ и т. д. Тогда S_▲BB1C1 = 2S_▲ABC, S_▲CC1D1 = 2S_▲BCD, S_▲AA1B1 = 2S_▲DBA, S_▲DD1A1 = 2S_▲CAD. Суммируя эти равенства, получим S_▲BB1C1 + S_▲CC1D1 +S_▲AA1B1 + S_▲DD1A1.Обозначим площадь четырехугольника АВСD через S, тогда площадь четырех построенных треугольников равна 4S, а площадь четырехугольника А₁В₁С₁D₁ равна 5S.

Решение. Медиана делит площадь треугольника пополам, поэтому площади треугольников ABC, BB₁C и CC₁B₁ равны между собой. Площадь треугольника ACDравна площади треугольника ADD₁, площадь треугольника ADD₁ равна площади треугольника AA₁D₁ и т. д. Тогда S_▲BB1C1 = 2S_▲ABC, S_▲CC1D1 = 2S_▲BCD, S_▲AA1B1 = 2S_▲DBA, S_▲DD1A1 = 2S_▲CAD. Суммируя эти равенства, получим S_▲BB1C1 + S_▲CC1D1 +S_▲AA1B1 + S_▲DD1A1.Обозначим площадь четырехугольника АВСD через S, тогда площадь четырех построенных треугольников равна 4S, а площадь четырехугольника А₁В₁С₁D₁ равна 5S.

Задача 13. Вершина А квадрата АВСDсоединена с точкой О - серединой ВС, вершинаВ - с точкой Е - серединой СD, вершина С - с точкой N - серединой АD, а вершина D - с точкой К - серединой АВ. Точки пересечения проведенных прямых L, M, R, и Р служат вершинами четырехугольника LMRP.
Докажите, что SLMRP=51SABCD. Решение. ВКDE - параллелограмм, так как ВК =DE и ВК?DE, поэтому ВЕ?КD. АОСN - параллелограмм, так как АN = ОС и АN?ОС,поэтому ОА?СN. Учитывая, что О, Е, N, и К - середины сторон, из теоремы Фалеса следует, что АL = LP, BP = PR, CR = RM и DM = ML. Для большей наглядности дальнейшего хода решения задачи, представим чертеж в другом виде. Дальнейший ход решения совпадает с решением задачи 12.

Продолжим «цепочку» задач, исходной фигурой в которых будет выступать уже треугольник.

Решение. ВКDE - параллелограмм, так как ВК =DE и ВК?DE, поэтому ВЕ?КD. АОСN - параллелограмм, так как АN = ОС и АN?ОС,поэтому ОА?СN. Учитывая, что О, Е, N, и К - середины сторон, из теоремы Фалеса следует, что АL = LP, BP = PR, CR = RM и DM = ML. Для большей наглядности дальнейшего хода решения задачи, представим чертеж в другом виде. Дальнейший ход решения совпадает с решением задачи 12.

Продолжим «цепочку» задач, исходной фигурой в которых будет выступать уже треугольник.

Задача 14. На продолжении стороны АВтреугольника АВС взята точка К так, что АВ = ВК. Точка L - середина ВС. Зная, что S_{▲BKL = S}, найдите S_▲ABC. Решение. Сделаем дополнительное построение - проведем отрезок AL. В силу утверждения 2 и использованных на чертежах обозначенийS_▲ABC = 2S .

Решение. Сделаем дополнительное построение - проведем отрезок AL. В силу утверждения 2 и использованных на чертежах обозначенийS_▲ABC = 2S .

Задача 15. На продолжении сторон треугольника АВС построены отрезки AA₁ =AC,BB₁ = AB и CC₁ = BC . Докажите, что S_▲A1B1C1 = 7S_▲ABC. Решение.

Произведя дополнительные построения, приняв во внимание обозначения на чертеже и опираясь на утверждение 2, видим, что решение следует непосредственно из чертежа

Решение.

Произведя дополнительные построения, приняв во внимание обозначения на чертеже и опираясь на утверждение 2, видим, что решение следует непосредственно из чертежа.

Задача 16. На продолжении стороны треугольника АВС взята точка D так, что АС =СD. Пусть М - середина стороны АВ, а К - точка пересечения отрезков ВС и МD. Докажите, что площадь треугольника ВКD равна площади четырехугольника АМКС.

Решение.
В треугольнике АВD DМ и ВС - медианы. Поэтому S_▲AMD =S_▲BMD и S_▲ACB = S_▲CDB
. Эти равенства можно записать так: S_AMKC + S_▲CKD = S_▲MDK + S_▲BKD, S_AMKC + S_▲MBK = S_▲CKD + S_▲BKD

Сложив эти равенства и упростив выражение, получим S_AMCK = S_▲BKD .

Решение.
В треугольнике АВD DМ и ВС - медианы. Поэтому S_▲AMD =S_▲BMD и S_▲ACB = S_▲CDB
. Эти равенства можно записать так: S_AMKC + S_▲CKD = S_▲MDK + S_▲BKD, S_AMKC + S_▲MBK = S_▲CKD + S_▲BKD

Сложив эти равенства и упростив выражение, получим S_AMCK = S_▲BKD .

mobil 1 esp formula 5w 30