Презентация к исследовательской работе Методы решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми

Выполнил: ученик 10«Б» класса, МБОУ СОШ №55, Коток Игорь Преподаватель: учитель математики Щербакова Т.И. Методы решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми

Цели и задачи: Цели: 1.Рассмотреть теоретический аспект угла между скрещивающимися прямыми. 2.Обобщить все знания, полученные в ходе исследования. 4.Сделать выводы. Задачи: Изучить литературу по данной теме. Познакомиться с новыми методами нахождения угла между скрещивающимися прямыми. Подобрать задачи по данной теме. Исследовать задачи на примере изученных методов и находить наиболее рациональное решение.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Гипотеза и предмет исследований. Гипотеза: «С помощью изученных методов можно найти наиболее рациональное решение задач ЕГЭ - С2.» Предмет исследований: «Геометрические задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.»

Поэтапно-вычислительный Алгоритм решения:  1. Определение типа прямых.  2. Параллельный перенос одной или обеих прямых.  3. Нахождение требуемого угла. α а b c A N M a) Пусть а и b –данные скрещивающиеся прямые. Через одну из них, например, b и через какую-нибудь точку А, лежащую на прямой а, проведем плоскость α. б) Через точку А проведем прямую с||b. Получившийся ∠MAN- угол между скрещивающимися прямыми. в) Выберем на прямой а- какую-нибудь точку М, а на прямой с-точку N. Получим треугольник AMN. Вычислим стороны треугольника по теореме косинусов и найдем cos ∠ MAN. cos ∠ MAN=

Метод трех косинусов a b b1 Алгоритм решения : Определить тип прямых. Спроектировать скрещивающуюся прямую на плоскость Найти косинус а и b-скрещивающиеся прямые. Проведем через прямую а плоскость α пересекающую прямую b. Спроектируем b на α. b1- проекция, cos ∠ α=cos ∠(b,b1)*cos ∠(a,b1) α

Метод проектирования обеих скрещивающихся прямых на плоскость перпендикулярную одной из них. А а а1 b1 b d1 d α B α Пусть а и b – скрещивающиеся прямые, плоскость α перпендикулярна прямой а, b пересекает α в точке В, точка А – проекция прямой а, а прямая b1 проекция прямой b. На прямой b лежит отрезок длинной d, а его проекция на плоскость α имеет длину d1. Тогда верна формула , где α- угол между прямыми а и b.

Пусть a и b – скрещивающиеся прямые, на прямой a находится отрезок длины d, и его ортогональной проекцией на прямую b является отрезок длиной d1. Тогда верна формула , где α – угол между прямыми a и b. а b d d1 Проектирования отрезка одной из скрещивающихся прямых на другую

Метод тетраэдра Весьма эффективен, встречается не часто. Для тетраэдра ABCD верна формула:

Координатный метод ,где Алгоритм решения: 1. На рисунке изображаем указанные в задаче прямые (которым придаем направление, т.е. векторы) 2. Вписываем фигуру в систему координат 3. Находим координаты концов векторов 4. Находим координаты Векторов 5. Подставляем в формулу косинус угла между векторами 6. После чего (если требуется в задаче), зная косинус, находим значение самого угла.

Единичный куб. х у z D (0, 0, 0) A (1, 0, 0) C (0, 1, 0) B (1, 1, 0) D1 (0, 0, 1) A1 (1, 0, 1) C1 (0, 1, 1) B1 (1, 1, 1)

Правильная шестиугольная призма. х у C F D E B A a a C (a, 0,0) F (- a, 0,0) х у z C1 (a, 0,c) F1 (- a, 0,c) a c

Правильная треугольная призма. c a O х у z

Правильная треугольная пирамида. х y O z H h

Правильная четырехугольная пирамида. a h х y z h

Правильная шестиугольная пирамида. a h C (a, 0,0) F (- a, 0,0) х y z

D C A B D1 C1 B1 A1 K x y z Пример а b 1) a и b – скрещивающиеся прямые. 2)Примем длину ребра куба равной 4 и одно деление на каждой из осей за 1. 3) На ребре ВВ1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К так, что BK:KB1=3:1. Найдите угол между прямыми AK и BD1. 4) Ответ:

В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми AС1 и СB1. 1) AC1 и CB1 – скрещивающиеся прямые. Ответ: Пример 2) 3) 4) х у z

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АS и ВС. Пример 1) AS и CB – скрещивающиеся прямые. 2)По теореме Пифагора , а 3)По теореме Пифагора , 4) 5) Ответ: х y z

В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ1 и ВF1 Пример 1) AS и CB – скрещивающиеся прямые. 2) 3) Ответ: 4) х у z

Вывод: Из рассмотренных способов решений задач самый рациональный – координатный способ. Используя этот метод и владея вычислительными навыками, мы можем решать практически все задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми. Для использования других методов необходимо иметь хорошо развитое логическое и пространственное мышление. Таким образом, изучив все методы решения, мы можем решать олимпиадные задачи и задания ЕГЭ части 2, подбирая к ним самое рациональное, выгодное и короткое решение. Но порой встречаются такие задачи, где не просто рационально решать тем или иным способом, не хватает данных или приходится выдумывать дополнительные построения. Зная несколько способов решения задач , мы можем быть уверенными в том, что справимся с экзаменационными и олимпиадными задачами.