- Учителю
- Учимся решать олимпиадные задачи (геометрия) 5 класс
Учимся решать олимпиадные задачи (геометрия) 5 класс
Математические олимпиады (геометрия)
(А.В.Фарков «Учимся решать олимпиадные задачи (геометрия) 2 - е издание)
5 класс
-
Рост Буратино 1 метр, а длина его носа раньше была 9 сантиметров. Каждый раз, когда Буратино врал, длина его носа удваивалась. Как только нос стал длиннее самого Буратино, тот врать прекратил. Сколько раз буратино соврал? А
-
Прямоугольник разрезали по ломаной линии,
состоящей из 3 равных отрезков. Начало разреза в
точке А (рис. 1). Получили две равные фигуры.
Как это сделали? Рисунок 1
-
Как разрезать квадрат 4 × 4 прямыми линиями так, чтобы из полученных частей можно было составить 32 равных квадрата? Не разрешается оставлять неиспользованные части, также накладывать их друг на друга.
-
Разрежьте квадрат 5 × 5 на 5 прямоугольников таким образом, чтобы у соседних прямоугольников стороны не совпадали. При этом 4 прямоугольника были бы равны, а пятый являлся квадратом. Найдите все решения.
-
Как разрезать квадрат 5 × 5 на 7 прямоугольников, среди которых нет одинаковых?
-
Разрежьте квадрат 5 × 5 на 10 одинаковых четырёхульников, не являющихся прямоугольниками.
-
Разрежьте каждую фигуру на три равные части (рис. 2). Резать можно только по сторонам клеточек. Части должны быть равными и по площади, и по форме.
а б
Рисунок 2
-
Разрежьте фигуру на 2 равные части (рис. 3).
Рисунок 3
-
Разрежьте фигуру, полученную из квадрата 7 × 7 вырезанием четырёх угловых клеток 1 × 1 (рис. 4), на уголки вида и (уголки состоят из квадратиков размера 1 × 1), так чтобы квадратики, отмеченные на рисунке, оказались только в больших уголках.
Рисунок 4
Фигура, изображённая на рис. 5, состоит из 7
одинаковых квадратиков. Её периметр равен 16.
Найдите площадь фигуры.
Рисунок 5Рисунок 6
-
Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника. Площади трёх из них: 3, 4, 5 (рис. 6). Найдите площадь четвёртого прямоугольника.
-
На рис. 7 изображено 13 точек. Сколько квадратов с вершинами в этих точках можно нарисовать? (Точки рассматриваются в вершинах квадратиков со стороной 1).
- Рисунок 7
-
Из 26 спичек длиной по 5 см сложили прямоугольник наибольшей площади. Чему равна его площадь?
-
Расположите изображённые на рис. 8 два острых
-
угла таким образом, чтобы образовались четыре тупых угла. Рисунок 8
-
Рисунок 9
-
Сколько треугольников на рис. 9?
-
Изображённые на рис. 10 фигуры 1, 2, 3 и 4 являются
-
квадратами. При этом периметр первой фигуры равен 16 см,
-
периметр второй - 24 см. Найдите периметр фигуры 4.
-
Рисунок 10
-
Рисунок 11
-
Сколько различных по величине углов изображено на рис. 11?
-
Сколько треугольников на рис. 12?
-
Рисунок 12
-
Разрежьте квадрат на 3 части, из которых можно было бы сложить треугольник с тремя острыми углами и различными сторонами.
-
Разрежьте прямоугольник на 3 треугольника таким образом, чтобы среди полученных треугольников лишь 1 был прямоугольный.
-
Олимпиадная задача по математике - это задача повышенной трудности, нестандартная как по формулировке, так и по методам решения. Среди олимпиадных задач встречаются как нестандартные задачи, для решения которых требуются необычные идеи и специальные методы, так и задачи более стандартные, но которые можно решить оригинальным способом.
-
Олимпиадные задачи по математике встречаются иногда в контрольных работах по математике, их предлагают на разнообразных математических соревнованиях, и, конечно же, без них не обойтись на математических олимпиадах разного уровня.
-
Практически в каждой олимпиадной работе по математике встречается, как минимум одна задача по геометрии. И именно геометрические олимпиадные задачи вызывают наибольшие трудности у учеников. При этом можно утверждать, что как раз геометрия лучше всего развивает нестандартное мышление и помогает выделить математически одарённых людей.
-
Геометрические олимпиадные задачи очень разнообразны. Это и задачи на разрезание, и на построение и нахождение углов. Но чаще всего встречаются задачи, которые используют в своём решении какую - то необычную идею, как правило, дополнительное построение.
-
</ Рассмотрим наиболее часто встречающиеся методы и приёмы решения разнообразных типов олимпиадных задач по геометрии.
-
В 5 - 6 классах наиболее часто встречаются различные задачи на разрезание. Рассмотрим одну из наиболее трудных задач такого типа.
-
Задача 1. Разделите квадрат 5 × 5 клеток с вырезанной центральной клеткой на четыре равные части. Найдите как можно больше способов. Разрезать можно только по сторонам квадратов.
-
Решение. Так как всего в квадрате остаётся 24 клетки, а надо разделить исходную фигуру на четыре равные части, то каждая из частей будет содержать по 6 клеток. Рассмотри, какие фигуры можно получить из 6 клеток (рис. 1).
-
Располагая по-разному выделенное нами фигуры в квадрате 5 × 5, получим следующие 7 способов (они показаны на рис 2).
-
Как видно, из 34 различных шестиклеточных фигур решение получилось только для семи из них (на рис. 1 он выделены).
-
Иногда в 5 - 6 классах встречаются и задачи на подсчёт числа фигур. Рассмотрим одну из таких задач.
-
Задача 2. Сколько треугольников изображено на рис. 3?
-
Рисунок 3
-
Решение. Подсчёт треугольников начнём с тех треугольников, которые не разбиты на другие треугольники. Таких треугольников будет по 3 в каждом квадрате, то есть 6. Теперь посчитаем число треугольников, состоящих из 2 треугольников. В каждом квадрате таких треугольников будет по 3, итого их 6. Теперь посчитаем число треугольников, состоящих из 3 фигур (2 треугольника и 1 четырёхугольник), всего их будет 2. И наконец, подсчитаем число треугольников, содержащих по 4 фигуры: это будет 2 самых больших треугольника, получающихся от деления прямоугольника на 2 части. Таким образом, всего получается 16 треугольников.
-