- Учителю
- Задача Архимеда. Урок одной задачи.
Задача Архимеда. Урок одной задачи.
Урок одной задачи
в 9 классе физико-математического профиля.
Тема: Задача Архимеда.
Цели:
- познакомить учащихся с авторской задачей Архимеда, позволяющей понять его гениальность;
- повторить теоретические положения планиметрии;
- рассмотреть несколько способов решения задачи;
- воспитывать у учащихся умение видеть красоту и изящество решения геометрических задач, культуру геометрического построения;
- развивать способность анализировать, умение по-разному взглянуть на один и тот же вопрос.
I. Ребята, сегодня мы с вами решим следующую задачу Архимеда.
Задача:
Хорды АВ CD окружности радиуса R перпендикулярны и делятся точкой пересечения на отрезки а, b, с и d (рис. 1). Докажите, что сумма квадратов этих (отрезков есть величина постоянная для данной окружности, равная квадрату ее диаметра, то есть
Рис. 1
Мы посвятим урок данной задаче, потому что эта задача:
1) задача Архимеда (287-212 гг. до н.э.), позволяющая понять его гениальность;
2) она - конкурсная - во многих вузах ее предлагают на вступительных экзаменах;
3) она позволяет повторить ряд важнейших фактов и задач планиметрии;
4) она трудная!;
5) она решается удивительно красиво и изящно и различными способами.
II. Решение задачи различными способами.
1) Авторское решение задачи.
Пусть а, b, с, d - данные отрезки хорд АВ и СD (рис. 2). Пусть АD = х, ВС = у. Тогда по теореме Пифагора для треугольника АED:
(1)
А по теореме Пифагора для треугольника ВЕС:
(2)
Проведем АК // СD. Тогда ВК = 2R - диаметр (так как КАВ = 90°).
Рис.2
CKAD - равнобочная трапеция, поскольку в окружность можно вписать только равнобокую трапецию, СК =АD = х. КСВ = 90° (опирается на диаметр). Тогда по теореме Пифагора для треугольника КСВ имеем:
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получаем требуемое:
Задача решена!
2) Решение задачи с использованием тригонометрических формул.
К тем же обозначениям (рис. 1 и 2) добавим следующие (рис. 3):
САЕ = , АСЕ =
(из прямоугольного треугольника АЕС). Тогда по расширенной теореме синусов для треугольника САВ:
или .
Рис. 3
Для треугольника АСD по расширенной теореме синусов имеем
или .
Итак,
, (3)
. (4)
Возведем обе части равенств (3) и (4) в квадрат и сложим:
С учетом равенств (1) и (2) задача решена:
3) Использование симметрии.
1-ый способ.
Воспользуемся свойством угла с вершиной внутри круга.
Рис. 4
Согласно свойству угла с вершиной внутри круга полусумма дуг АD и ВС равна 90° (рис. 5).
Рис.5
Тогда
AD+BC=180°. (*)
Проведем прямую , содержащую диаметр, так что // АВ. Из соображений симметрии
DK=BC=y.
Тогда и дуга DК равна дуге ВС (равные хорды стягиваются равными дугами). Значит,
AD+DK=180°.
Если это так, то АК - диаметр, и ADK= 90°. По теореме Пифагора для треугольника АDK
,
что равносильно решению задачи.
2-ой способ.
Построим отрезок ТК, симметричный АВ относительно центра окружности O (рис.6).
Рис. 6
В силу симметрии ТК=АВ, СР=ЕD=d, РК=ВЕ=b. Очевидно, что РD=c. Из прямоугольного треугольника DРК имеем
Очевидно, что АК - диаметр (так как АВКТ - прямоугольник), и тогда ADK = 90°. По теореме Пифагора для треугольника АDК
, или
Задача решена!
3-ий способ
Воспользуемся тем же рисунком. ВК = с - d; АВ = a + b, и ABK = 90°АВК - 90° (опирается на диаметр). Тогда
,
или
Но по известной задаче о равенстве произведений отрезков хорд ab=cd. Тогда 2аb и -2cd сократятся! Решение задачи получено.
4) Использование формулы .
Проведем в треугольнике АВС высоту АК (рис. 7).
Рис. 7
Тогда H - ортоцентр (точка пересечения высот) в треугольнике АВС. Покажем, что АН =AD = х.
Действительно, АDС = АВС = (вписанные, опирающиеся на одну дугу). Тогда 1 = 90° - (из АВК) и 2 = 90° - (из АDE). Поскольку АЕ - высота и биссектриса в АDH, то он - равнобедренный, и
АН = AD = x.
Далее применим хорошо известную нам формулу
. (5)
Следовательно,
, т.е. .
5) Использование свойства ортоцентра.
Свойство ортоцентра: «Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон треугольника, принадлежат описанной окружности».
Рис.8
Точки Н и Н' симметричны друг другу относительно стороны ВС (рис. 8).
С учетом вышесказанного способ выглядит так (хорда СО опущена вниз для удобства работы с рис. 9):
,
,
.
Рис.9
Но аb = cd - из равенства произведения отрезков хорд. Тогда
Задача решена!
6) Векторное решение.
Рис. 10
;
,
, (6)
, .
Докажем, что ;
AD+BC=180° - см. формулу (*),
А углы и - центральные, равные соответственно дугам AD и ВС.
Тогда , и , откуда следует, что
.
По формуле (6):
.
Задача решена!
III. Итоги урока
IV. Домашнее задание. Решить задачу Архимеда методом координат.