- Учителю
- Сборник контрольных работ по математике для студентов 1-2 курса техникума
Сборник контрольных работ по математике для студентов 1-2 курса техникума
Министерство общего и профессионального образования Свердловской области
ГАПОУ СО «Карпинский машиностроительный техникум»
Сборник контрольных работ по математике для студентов 1-2 курсов техникума
Автор сборника Виноградова Е.А., преподаватель
2015
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Степень с действительным показателем
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Найдите значение выражения
а)
б)
а)
б)
2) Сравните числа
3) Дана функция f(x) = ax. Известно, что f(- 1,5) = 8. Найдите f(0,5).
3) Дана функция f(x) = ax. Известно, что f(1,5) = 1/8. Найдите f(- 2).
4) Упростите выражение
а)
б)
в)
а)
б)
в)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Показательная функция
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Изобразите схематически график и опишите свойства функции
у =
у =
2) Постройте график функции у = 2х - 1 (у = 3х - 1); назовите множество значений функции; выделите на рисунке часть графика, для которой
- 1/2 < y < 3 (- 2/3 < y < 2), и найдите соответствующие значения х.
3*) Постройте график функции у = (у = ) и найдите наименьшее и наибольшее значение этой функции на отрезке [-2; 4] ([-2; 2])
4) Решите графически уравнение
(1/2)х = 2 - х
3х = 2х + 3
5) Решите графически неравенство
3х < 1/3
(1/2)х > 2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Показательные уравнения
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите уравнения
10)
10)
-
При каком р корнями уравнения 0,5х - 1 = р являются 1 и - 3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Показательные неравенства
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите неравенства
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Свойства логарифмов
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Вычислить
2) Найти ООФ
3) Прологарифмируйте по основанию 10 выражение
х =
х =
4) Найдите х, если
5) Вычислите
а) log2535, если log57 = p
б) , если
а) log4921, если log73 = c
б) , если
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Логарифмическая функция
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Изобразите схематически график и опишите свойства функции
у = logx
у = logx
1*) Изобразите схематически график
y =log0,4(-x); y =; у =log2log241-x
y =lg; y =; y =lglg10x+1
2) Постройте график функции у = log2x - 1(у = log2(x - 1)); назовите множество значений функции; выделите на рисунке часть графика, для которой - 2 < y < 1 (- 1< y < 2), и найдите соответствующие значения х.
3*) Постройте график функции у = (у = ) и найдите наименьшее и наибольшее значение этой функции на отрезке [0,5;8] ([1,5;9]).
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Степенная функция
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Изобразите схематически графики функций
у = х,(х > 0); у =
у = х,(х > 0); у = (х - 1)п + 1,5,(х > 1)
2) Возрастает или убывает функция у = х р, (х > 0), если
р = ; р = lg17
p = ; p =
3) Решите графически уравнения
а) ; б)
в)
а) ; б)
в) ; в*)
4) Решите графически уравнение
log3x = 2x - 3
log1/2x = - 0,5x + 1
5) Решите графически неравенство
log1/2x > - 3
log3x < 2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Логарифмические уравнения
Вариант № 1 Вариант № 2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Логарифмические неравенства
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите неравенства
-
log5(2x + 3) > log5(x - 1)
-
log1/2(2x - 5) < - 2
-
lg2x + 3lgx < 4
-
4x-1 > 7
-
-
lg2x2 + 3lgx > 1
-
8*) - x lgx > 0
9*)
10) log2x+1(3 - 2x) < 1
11) log0,8 < 0
12) 2log5x - logx5 > 1
13) log3log1/2(2x + 1) > 0
14)
15) (x + 1)log0,73 - log0,727 > 0
-
log3(1 - x) < log3(3 - 2x)
-
log1/2(2x + 5) > - 3
-
lg2x + 5lgx + 6 > 0
-
(3х - 1)(3х - 2) 0
-
-
3logx - 2log2x 5
-
8*)
9*) logx2x
10) logx-2(2x - 7) < 1
11) log0,2 > 0
12) 3log7x - 2logx7 < 0
13) log2log(x - 1) < 1
14)
15) (5x - 2)log1,22 - 18log1,22 < 0
16) При каком значении р решением неравенства является промежуток?
log2(p - 3x) > log2(x2 - 3x); (- 3; 0)
log3(x2 + 2x) < log3(2x + p); (0; 2)
17) ООФ.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Иррациональные уравнения
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите уравнения
6*)
7*)
10)
11)
6*)
7*)
8)
9)
10)
11)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Иррациональные неравенства
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите неравенства
9*)
10*)
11*)
9*)
10*)
11*)
12) При каких значениях р решением неравенства является промежуток?
; [2; 18)
; [- 1; 15)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Системы уравнений
Вариант № 1 Вариант № 2 Вариант № 3* Вариант № 4*
Решите системы уравнений
5*) При каких значениях р система неравенств не имеет решений?
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тригонометрические преобразования
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Вычислить
, если tgx = - 2
, если tgx = - 3
2) Решите уравнения
а) cos(- 3x) = - 1; б) tg(5п + х) = 0
в) sin(2x + 6п) + cosп/4 =
а) sin(- 2x) = - 1; б) ctg(7п + х) = 0
в) cos(8п + 3х) + 1 = tgп/4
3) Упростите выражения
а)
б)
в)
а)
б)
в)
г*)
д*)
е*)
4) Дано cosp = - 5/13, п/2 < p < п
Найти sin(п/3 - р)
4) Дано sinp = 8/17, п/2 < p < п
Найти cos(п/6 - р)
5) Сравните с 0 выражения
cos5; tg1,6п; sin11п/9
sin4; cos1,8п; ctg9п/7
6) Найти х, если
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тригонометрические уравнения
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите уравнения
-
sinx = 0
-
2tg3x = 0
-
- 2cosx = 1
-
2sin(2x - 4п) =
-
sinx cos2x + cosx sin2x = 1
-
2sinx/2 cosx/2 = - 1
-
cos22x = 2
-
1 - sin2x = 0
-
3sin22x + 7cos2x - 3 = 0
-
2tg43x - 3tg23x + 1 = 0
-
(1 - cos2x)(сtgx + ) = 0
-
sinx = sin3
-
tg2x = , на отрезке [- п/2;п]
-
2cos2x - sinx - 1 = 0; 8 < x < 40
-
cosx = 0
-
3ctgx = 0
-
- 2sinx =
-
2cos(2x - 4п) =
-
cosx cos3x - sinx sin3x = 1
-
cos22x - sin22x = - 1
-
1/2 sin4x = 1
-
1 - cos2x = 0
-
2cos23x + 5sin3x - 4 = 0
-
2tgx - 2ctgx = 3
-
(sinx + 1)(ctg2x -) = 0
-
cosx = cos4
-
tgx/2=,на отрезке [- 3п/2;2п]
-
cos2x = 1 - 3cosx; 1 < x < 50
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тригонометрические уравнения
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите уравнения
-
сos2x - 5sinx - 3 = 0
-
tgx + ctgx = 2
-
sinx + sin5x = 0
-
3 - 4cos2x = 0
-
sinx - 7cosx = 0
-
3sin2x + sinx cosx = 2cos2x
-
3sin2x -sin2x + 5cos2x = 2
-
tg2x =
-
1 - 2sin = cos
-
sin2x = sin5x
-
cos3x = sinx
-
cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
-
sin2x sin6x = cosx cos3x
-
sin2x -cos2x = 1
-
sin22x + sin23x + sin24x + sin25x = 2
-
cos2x - sin2x = 3,5
-
4sinx + 5cosx = 6
-
sinx + cosx = 2,5 + 5sinx cosx
-
= sinx + 2cosx
-
-
-
(sinx + cosx)sin4x = 2
23)
-
cos2x + 3sinx = 2
-
tgx + ctgx = - 2
-
cosx + cos5x = 0
-
1 - 4sin2x = 0
-
5sinx + 6cosx = 0
-
4sin2x = 3sinx cosx + cos2x
-
2sin2x -sin2x = - 1
-
ctg2x =
-
2cos - 1 = cos
10)cos4x = cos6x
11) sin3x = cosx
12) sinx - sin3x - sin5x + sin7x = 0
13) cos3x cos6x = cos4x cos7x
14) sin3x + cos3x =
15)cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
16) sin4x + cos4x = 2,5
17) 3sinx + 5cosx = 4
18) sinx - cosx + 5sinx cosx = 1
19) = cosx - 2sinx
20)
21)
22) (sinx + cosx) = tgx + ctgx
23) 2sin7x + cos3x + sin3x = 0
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тригонометрические неравенства
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите неравенства
-
sinx < 1/2
-
cos2x > 0
-
tg(2x - п/3)<
-
sinx > cosx
-
3 - 4cos2x > 0
-
-
cos2x+5cosx+30
-
cosx > - 1/2
-
sin3x < 0
-
tg(2x + п/6)>
-
sinx < cosx
-
1 - 4sin2 x < 0
-
-
2sin2x+3sinx-20
17) 2tg2x 3tgx
18)
19) cosx - sinx - cos2x > 0
20)
21)
22) logxcos2x > 0
23) logcosxsin2x 0
8*); 9) > cos2x; 10); 11)
12*) log2(cos2x - 1/2 cosx) - 1 13*) 0,2cos2x - 25-cosx < 4(125)-0,5
14*) сos2x + sin2x + cosx - sinx 1, при - п/2 < x < п/2
15*) Найти ООФ:
16*) Найти решения неравенства , удовлетворяющих условию
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Наибольшее и наименьшее значения
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
а) f(x) = x3 - 2x2 + x - 3, [1/2; 2] б) f(x) = 1/2 sin3x , [4п/9; п]
в) f(x) = , [- 1; 2]
г) f(x) = , [- 1; 2]
д) f(x) = , [0; 3]
а) f(x) = x3 + 3x2 - 9x - 1, [- 4; - 1/3]
б) f(x) = 1/3 сos2x, [п/6; п]
в) f(x) = , [1/e; e3]
г) f(x) = , [- 1; 2]
д) f(x) = , [- 2; 0]
2) При каком значении х функция у = х3 - х2 [ у = х4 + х3] на отрезке [0,5; 1] ( [- 1; - 0,5] ) принимает наименьшее значение ?
3) Найдите область значений функции.
1) f(x) = ; 2) f(x) = ;3) Д - ть:
4) Hаибольшее значение функции f(x) = - x2 + bx + c равно 7, а значение с на 25% меньше b. Найти положительное значение b.
4) Hаименьшее значение функции f(x) = x2 + bx + c равно 1, а значение с на 25% больше b. Найти положительное значение b.
5) Найдите наименьшее [ наибольшее] значение функции на промежутке
f(x) = 3х4 - 8x3 + 6x2 + 5, (- 2; 1)
f(x) = 4х5 - 15х4 - 3, (- 1; 1)
6) В каких пределах изменяются значения функции?
f(x) = cosx + 1/2 cos2x, x[0; п]
f(x) = sinx + 1/2 sin2x, x[- п/2; п/3]
7) Площадь прямоугольника равна 81 см2 [ 25 см2 ]. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.
8) Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см [60 см]. При каком значении боковой стороны [ высоты, проведённой к основанию ], площадь треугольника наибольшая?
9) Число 24 [ 18 ] представьте в виде суммы двух положительных слагаемых, таких, что
произведение их квадратов принимает наибольшее значение.
[сумма их квадратов принимает наименьшее значение.]
10) Требуется изготовить закрытый [ открытый ] цилиндрический бак ёмкостью V. При каком радиусе основания на изготовление бака уйдёт наименьшее количество материала?
11*) Найдите отношение высоты к радиусу основания цилиндра, который при заданном объёме имеет наименьшую полную поверхность.
12*) Найдите отношение высоты к радиусу основания конуса, который при заданном объёме имеет наименьшую площадь боковой поверхности.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Производная
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Найти производные функций
а) f(x) = 5x3 - 3x9
б) f(x) = 6
в) f(x) =
г) f(x) = 1/6 х3 - 0,5х2 - 3х + 2
д) f(x) = е) f(x) =
ж) f(x) = е - 5х з) f(x) =
и) f(x) = ln(2x + 1) к) f(x) = ln cos
л) f(x) = log3(2x2 - 3x + 1) м) f(x) = cos(5 - 3x)
н) f(x) = ctg(2 - 5x)
о) f(x) = 2sin3x cos3x
п) f(x) = log(x2 - sinx)
а) f(x) = 2x7 + 3x3
б) f(x) = 6
в) f(x) =
г) f(x) = - 1/6 х3 +1,5х2 +5х - 3
д) f(x) = е) f(x) =
ж) f(x) = е - 0,3х з) f(x) =
и) f(x) = ln(3x - 4) к) f(x) = ln sin
л) f(x) = log1/2(3x2 - 2x + 50)
м) f(x) = sin(3 - 2x)
н) f(x) = tg(4 - 3x)
о) f(x) = cos24x - sin24x
п) f(x) = log(x2 + cosx)
2) Найти значение выражения
а) f '(0,5), если f(x) =
б) f '(- п/4), если f(x) = 3sin2x
в) f '(1) + f(1), если f(x) = г)f '(-3), если f(x) = e -1/3x -1 + ln(3 - 3x)
д) f '(0) + f ', f(x) = (x2 - 3х)cos3x
а) f '(- 0,5), если f(x) =
б) f '(- 3п/4), если f(x) = 5сos2x
в) f '(1) - f(1), если f(x) = г) f '(- 2),если f(x) = e 0,5x +1 + ln(1 - 2x)
д) f'(0) + f', f(x) = (3x2 + х)cos2x
3) Решите уравнение у '(х) = 0, если
а) у =
б) у = ln sinx
а) у =
б) у = ln cosx
4) Решите неравенство f '(x) < 0 [ f '(x) > 0 ], если
5) При каких значениях х функция не является дифференцируемой?
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Уравнение касательной
Вариант № 1 Вариант № 2
1)Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0.
а) f(x) = - x2 + 6x + 8, x0 = - 2
б) f(x) = e0,5x, x0 = ln4
а) f(x) = - x2 - 4x + 2, x0 = - 1
б) f(x) = ln(2x - e), x0 = e
2) Найдите уравнение касательной к графику функции
f(x) = x2 - 4x + 5
f (x) = x2 + 3x + 5
если эта касательная проходит через точку (0; 4) [ (0; 1) ] и абсцисса точки касания положительна [ отрицательна ].
3) К графику функции у = [ у = ] проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х0 = - 1 [ х0 = 1 ]. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции.
4) Какой угол (острый, прямой или тупой) образует с положительным направлением оси Ох касательная к графику функции в точках - 1; 0; 1?
у = х3 - х2
у = х2 - х3
5) В какой точке касательная к графику функции у = - х2 + 4х - 3 параллельна оси абсцисс?
5) В какой точке касательная к графику функции у = 0,5х2 + 1 параллельна прямой у = - х - 1 ?
6) Прямая у = х - 2 [ у = - х + 3] касается графика функции у = f(x) в точке х0 = - 1 [ х0 = - 2 ]. Найдите f(- 1) [f(- 2) ].
7) Найдите координаты точки, в которой касательная к графику функции у = log4(x - 2) [ у = log3(5 - x) ] в точке х0 = 3 [ х0 = 4 ] пересекает ось Оу.
8) При каком значении р прямая у = ех + р [ у = 2ех + р ] является касательной к графику функции f(x) = lnx ?
9) При каком значении р прямая у = 3 + х [ у = 4 - х ] является касательной к графику функции f(x) = e x - p [ f(x) = e - x - p ] ?
10) Найдите уравнение касательной к графику функции
если эта касательная проходит через точку (- 0,5; 0)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Исследование функций
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Найти стационарные (критические) точки функции.
f(x) = - x3/3 + x2/2 + 2x - 3
f(x) = - x3/3 - x2/4 + 3x - 2
2) Найти точки экстремума функции.
f(x) = 0,5х4 - 2х3; f(x) = xe
f(x) = 1,5х4 + 3х3; f(x) = x(1/e)
3) Найти экстремумы функции.
1-в) f(x) =
2-в) f(x) =
3-б) f(x) = ;
4) Найти промежутки убывания функции.
1-в) f(x) = х3 - 6х2 + 5
2-в) f(x) = х3 + 9х2 - 4
3-б) f(x) = lg sinx
5) Найти промежутки возрастания функции.
1);
2);
3-б)
6) Найти промежутки возрастания и убывания функции.
1) у = ; у = 1,5lg2x + lg3x
2) у = ; y = (x2 - 2x + 1)x
3-б) у =
7) При каком значении р функция имеет экстремум в точках х1 и х2 ?
f(x) = , х1 = 2, х2 = - 2
f(x) = , х1 = 0, х2 = 6
8) Постройте график функции.
а) у = х3 - 12х + 2
б) у =
в) у = - х4 + 2х3 + 2
г) у = 3х5 - 5х3 + 1
д) у =
а) у = - х3 + 3х + 1
б) у =
в) у = х4 - 2х3
г) у = 10х6 - 12х5 - 15х4 + 20х3 д) у =
а) у = cos2x - 2cosx
б) у =
в) у = 10
г) y =
д) у =
е*) у = . Сколько действительных корней имеет уравнение у = С ?
9*) При каком значении параметра р значения функции у = х3 - 6х2 + 9х + р в точке х = 2 и в точках экстремума, взятые в некотором порядке, являются членами геометрической прогрессии?
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Интеграл
Вариант № 1
2) При каком значении р :
Вариант № 2
2) При каком значении р :
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Первообразная
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Найти первообразные функций) f(x) = а)
б) f(x) =
в) f(x) = , при х > 0,5
г) f(x) = , если F(4) = - 2
д) f(x) = , если F(1,5) = 1
e) f(x) =() -1+ , при х > -0,5 ж) f(x) =
з) f(x) = и) f(x) =
к) f(x) =
л) f(x) =
м) f(x) =
а) f(x) =
б) f(x) =
в) f(x) = , при х > - 0,5
г) f(x) = , если F(- 15) = 6
д) f(x) = , если F(- 2) = 5
e) f(x) =() -1 - , при х > 0,5 ж) f(x) =
з) f(x) = и) f(x) =
к) f(x) =
л) f(x) =
м) f(x) =
2) Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через данную
точку. 1) f(x) = 2sin3x, М(п/3; 0); 2) f(x) = 3сos2x, М(п/4; 0)
3) Найти ту первообразную F(x) функции f(x) = 3х - 1 [ f(x) = 2х - 4], для которой уравнение F(x) = 5 [ F(x) = 1 ] имеет 2 равных корня.
4) Найти те первообразную функции f(x) = х2 - 5х + 3 [ f(x) = х2 - 2х + 1 ], графики которых касаются прямой у = - 3х - 1 [ у = 4х - 2].
5) В каких точках касательная к у = 1/3х3 - х2 - х + 1 параллельна у = 2х - 1?
6) Построить: f(x)=; у=2sin; y=sin2(log5(2-x)) + cos2(log5(2-x))
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь криволинейной трапеции
Вариант № 1 Вариант № 2
Вычислите площади фигур, ограниченных графиками
1) у = - х2 + 4х - 3, у = 0
1-б) у = х2 - 2, у = 2х - 2
2) у = х2 + 4х + 10, х = 0 и
касательной в точке х0 = - 3 3) y = sinx, y = cosx, x = п/4, х = п
4) f(x) = 4x, F(x), если график
функции f(x) пересекает график своей первообразной F(x) в двух точках, одна из которых (- 1; - 4).
5) f(x) = - 2x + 4, F(x), x = 1, если
график функции f(x) является касательной для графика F(x).
6) у = , у = 6 - х
7) у = ех, у = е2, х = 0
8) y =
9) y = , y = 0, x = - 4, x = 1
1) у = - х2 + х + 2, у = 0
1-б) у = х2 - 2, у = 2х - 2
2) у = х2 - 2х + 5, х = 0, и
касательной в точке х0 = 2
3) y = sinx, y = cosx,
4) f(x) = 2x, F(x), если график функции f(x) пересекает график своей первообразной F(x) в двух точках, одна из которых (3; 6).
5) f(x) = - 2x - 4, F(x), x = - 4, если
график функции f(x) является касательной для графика F(x).
6) у = , у = 4 - х
7) у = е -х, у = е, х = е
8) y =
9) y = , y = 0, x = - 9, x = 4
10) Найти р, если известна площадь фигуры, ограниченной графиками
у = , у = рх2, S = у = , у = рх, S = 4,5
11) В каком отношении парабола у = х2 [ у = х2 ] делит площадь круга
х2 + у2 8 [ х2 + у2 2 ]?
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Итоговая контрольная работа.
1)Найти: а)sin(arccos4/5); б)cos(arcsin1/6); в)cosxcosy, если х=,у=
г) ; д) tg, если ; е)
ж) , если tg з) (1/9)
и) lg(x3 + 8) - 0,5lg(x2 + 4x + 4) - lg(x2 - 2x + 4)
2) Решить уравнения.
а) arсcos(x - 1) = п/4 б) arctg(4x + 2) = - п/6 в)
г) д) logx - 1(x2 - 5x + 10) = 2 е) ж)
3) Решить неравенства. а)sinx+cosx <0; б)sin2x;в)2cos2x+5cosx- 3<0
г)5lgx - 3lgx - 1 < 3lgx + 1 - 5lgx - 1; д)log2(9 - 2x) < 3 - x; е)2logx25 - 3log25x > 1
4) Найти угловой коэффициент и угол наклона касательной, проведённой к графику функции у = 1 + sinx в точке с абсциссой х0 = п.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Основы геометрии
1) Найти площадь равнобедренного треугольника с углом при основании, если а) боковая сторона равна с; б) основание равно р
2) Стороны параллелограмма 6 и 10см, а острый угол равен . Найти S.
3) Длина тени дерева 10,2м, а длина тени человека ростом 1,7м равна 2,5м. Найти высоту дерева.
4) В треугольнике АВС: см. Найти СВ.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Взаимное расположение прямых в пространстве
Вариант №1
1) Даны четыре точки А; В; С; Е, не лежащие в одной плоскости. Могут ли пересекаться прямые АС и ВЕ? Ответ поясните.
2) Точки М; Р; К; Т - середины соответствующих отрезков ВС; DС; АD и АВ ( DСВА - тетраэдр). Найдите периметр четырёхугольника МРКТ, если
АС = 10см, ВD = 16см.
3) Прямая ЕК, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне АВ параллелограмма АВСD. Выясните взаимное расположение прямых ЕК и СD.
Вариант №2
1) Даны четыре точки А; В; С; Е, не лежащие в одной плоскости. Могут ли быть параллельными прямые АС и ВЕ? Ответ поясните.
2) Точки Е; М; К; Р - середины соответствующих отрезков АВ; АС; DС и DВ ( DСВА - тетраэдр). Найдите периметр четырёхугольника ЕМКР, если
ВС = 8см, АD = 12см.
3) Прямая МТ, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне ВС параллелограмма АВСD. Выясните взаимное расположение прямых МТ и СD.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Перпендикулярность прямой и плоскости
Вариант №1
1) АВСК - квадрат. Точка М - не принадлежит плоскости АВС, МА = МС.
Докажите, что АСВМК.
2) Прямая МА перпендикулярна к плоскости прямоугольного треугольника АВС
(). Докажите, что треугольник МСВ - прямоугольный с гипотенузой МВ.
Вариант №2
1) ЕВРК - квадрат. Точка М - не принадлежит плоскости ЕВР, МВ = МК.
Докажите, что КВЕМР.
2) Прямая МА перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD. Докажите, что треугольник МВС - прямоугольный с гипотенузой МС.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Перпендикуляр и наклонные
Вариант №1
Прямая МР перпендикулярна к плоскости треугольника МВК, МD - высота этого треугольника. Докажите, что РDВК. Найдите площадь треугольника ВРК, если МР = 12см, КВ = 15см, .
Вариант №2
Прямая ВР перпендикулярна к плоскости параллелограмма АВСD, ВК - высота параллелограмма, проведённая к DС. Найдите площадь треугольника DРС, если ВР = 6см, КР = 10см, SАВСD = 40см2.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Параллелепипед
Вариант №1
Стороны основания прямого параллелепипеда 6см и 4см, угол между ними . Диагональ большей боковой грани 10см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности параллелепипеда.
Вариант №2
В основании прямого параллелепипеда лежит ромб со стороной 12см и углом . Меньшая диагональ параллелепипеда 13см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности параллелепипеда.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Пирамида
Вариант №1
Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол . Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды, если сторона основания равна р.
Вариант №2
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды составляет с высотой угол . Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды, если сторона основания равна р.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Многогранники
Вариант №1
1) Найдите площадь полной поверхности куба, если расстояние от вершины верхнего основания куба до центра нижнего основания равно р.
2) Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 8см и 15см и углом между ними . Высота призмы 11см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности призмы.
3) Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если двугранный угол при стороне основания равен , а радиус окружности, описанной около основания, равен 2см.
Вариант №2
1) Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра, высота которого равна р.
2) Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 8см и 3см и углом между ними . Высота призмы 15см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности призмы.
3) Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если её апофема 4см, а угол между апофемой и высотой пирамиды равен .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Координаты вектора
Вариант №1
1) Найдите координаты вектора ,
2) Даны . Найдите координаты вектора .
3) Точки А(2; -1;0) и В(-2;3;2) являются концами диаметра окружности. Найдите координаты центра окружности и её радиус.
4) Даны точки А(0;4;-1), В(1;3;0),С(0;2;5). Найдите длину вектора .
Вариант №2
1) Найдите координаты вектора , .
2) Даны . Найдите координаты вектора .
3) Треугольник АВС задан координатами его вершин А(3;-4;2), В(-3;2;-4), С(1;3; -1). Найти длину медианы СМ.
4) Даны точки А(1;-1;0), В(-3;-1;2), С(-1;2;1).Найдите длину вектора .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Скалярное произведение
1) Ребро куба АВСDА1В1С1D1 равно 2. Вычислите скалярное произведение векторов а) б).
2) Вычислите косинус угла между векторами и выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) образуют эти векторы, если
а) б)
3) Ребро куба АВСDА1В1С1D1 равно р. Вычислите:
а) угол между прямыми АВ1 и ВС1 (А1В и АD1)
б) расстояние между серединами отрезков АВ1 и ВС1 (АС1 и В1С)
4) Вычислите угол между прямыми АВ и СD, если а)А(;1;0);В(0;0;); С(0;2;0); D(;1;) б) А(6;-4;8); В(8;-2;4); С(12;-6;4); D(14;-6;2)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём призмы
Вариант №1
Основание прямой призмы - ромб со стороной 13см и одной из диагоналей равной 24см. Найдите объём призмы, если диагональ боковой грани 14см.
Вариант №2
Основание прямой призмы АВСDА1В1С1D1 - параллелограмм АВСD. АВ = 12см, АD = 15см, ВАD = . Найдите объём призмы, если диагональ DС1 боковой грани равна 13см.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объёмы тел
Вариант №1
1) Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12см и составляет с боковым ребром угол .
2) В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом m и противолежащим ему углом .
Найдите объём цилиндра, если его высота равна h.
Вариант №2
1) Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12см и образует с высотой угол .
2) В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольник, одна из сторон которого равна р и образует с его диагональю угол . Найдите объём цилиндра, если его высота равна h.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Взаимное расположение прямых в пространстве
Вариант №1
1) Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.
2) а) Докажите, что все вершины четырёхугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются.
б) Вычислите площадь четырёхугольника ABCD, если ACBD, AC = 10см; BD = 12см.
Вариант №2
1) Даны две пересекающие прямые. Верно ли утверждение, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.
2) а) Дан прямоугольник ABCD, О - точка пересечения диагоналей. Известно, что точки A, B и О лежат в плоскости . Докажите, что точки С и D также лежат в плоскости .
б) Вычислите площадь прямоугольника ABCD, если AC = 8см; .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Параллельность прямой и плоскости
Вариант №1
Дан треугольник ABC, . Через прямую АС проходит плоскость , не совпадающая с плоскостью треугольника ABC.
а) Докажите, что ; б) Найдите длину отрезка АС, если ЕК = 4см.
Вариант №2
Дан треугольник ABC, . Через прямую МК проходит плоскость , параллельная прямой AC.
а) Докажите, что ВС : ВК = 7 : 3.
б) Найдите длину отрезка МК, если АС = 14см.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Перпендикулярность прямой и плоскости
Вариант №1
1) , М и К - произвольные точки плоскости .
Докажите, что АBМК.
2) Треугольник АВС - правильный, точка О - его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости АВС.
а) Докажите, что МА = МВ = МС.
б) Найдите МА, если АВ = 6см, МО = 2см.
Вариант №2
1) Дан треугольник АВС. . Докажите, что МАВС.
2) Четырёхугольник АВСD - квадрат, точка О - его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.
а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD.
б) Найдите МА, если АВ = 4см, ОМ = 1см.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Перпендикуляр и наклонные
Вариант №1
Из точки М проведён перпендикуляр МВ, равный 4см, к плоскости прямоугольника АВСD. Наклонные МА и МС образуют с плоскостью прямоугольника углы и соответственно.
а) Докажите, что треугольники МАD и МСD прямоугольные.
б) Найдите стороны прямоугольника.
в) Докажите, что треугольник ВDС является проекцией треугольника МDС на плоскость прямоугольника, и найдите его площадь.
Вариант №2
Из точки М проведён перпендикуляр МD, равный 6см, к плоскости квадрата АВСD. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол .
а) Докажите, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные.
б) Найдите сторону квадрата.
в) Докажите, что треугольник АВD является проекцией треугольника МАВ на плоскость квадрата, и найдите его площадь.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности прямой призмы
Вариант №1
Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна р, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол . Найдите:
а) Диагональ призмы.
б) Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани.
в) Площадь боковой поверхности призмы.
г) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.
Вариант №2
Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна р и образует с плоскостью боковой грани угол . Найдите:
а) Сторону основания призмы.
б) Угол между диагональю призмы и плоскостью основания.
в) Площадь боковой поверхности призмы.
г) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Пирамида
Вариант №1
Высота правильной треугольной пирамиды равна , радиус окружности, описанной около её основания, . Найдите:
а) Апофему пирамиды; б) Угол между боковой гранью и основанием; в) Площадь боковой поверхности пирамиды; г) Плоский угол при вершине пирамиды.
Вариант №2
Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна , высота пирамиды равна . Найдите:
а) Сторону основания пирамиды; б) Угол между боковой гранью и основанием;
в) Площадь поверхности пирамиды; г) Расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Координаты вектора
Вариант №1
1) Даны . Найдите координаты вектора .
2) Даны . Найдите координаты вектора .
3) Найдите значения m и n, при которых векторы и коллинеарны.
Вариант №2
1) Даны . Найдите координаты вектора .
2) Даны . Найдите координаты вектора .
3) Найдите значения m и n, при которых векторы и коллинеарны.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности цилиндра
Вариант №1
1) Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2) Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в . Высота цилиндра равна 5см, радиус цилиндра - см.
Найдите площадь сечения.
Вариант №2
1) Развёртка боковой поверхности цилиндра является прямоугольником, диагональ которого равна 8см, а угол между диагоналями - . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2) Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть квадрат. Эта плоскость отсекает от окружности основания дугу в . Радиус цилиндра равен 4см. Найдите площадь сечения.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём призмы
Вариант №1
1) Измерения прямоугольного параллелепипеда 2,5см, 5см и 5см. Найдите ребро куба, объём которого в два раза больше объёма параллелепипеда.
2) Найдите объём прямой призмы АВСА1В1С1, если .
Вариант №2
1) Измерения прямоугольного параллелепипеда 2см, 6см и 6см. Найдите ребро куба, объём которого в три раза больше объёма параллелепипеда.
2) Найдите объём прямой призмы АВСА1В1С1, если .
КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА
Площадь поверхности прямой призмы
Основание прямой призмы
Высота
Sбок.
Sполн.
Треугольник АВС, АС=15см, ВС=20см,
12см
Параллелограмм АВСК,АВ=3,АК=4,
8
Прямоугольник, стороны которого 14см и 5дм.
9см
Трапеция АВСК,АВ=7см,АК=3см,,
8см
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Правильная пирамида
В n-угольной правильной пирамиде a - сторона основания, к - боковое ребро, h - высота, p - апофема
n
a
к
h
n
a
h
p
А)
3
12см
15см
Д)
3
18см
13см
Б)
4
13дм
18дм
Е)
3
m
n
В)
3
m
n
Ж)
4
6дм
6дм
Г)
4
m
n
З)
4
m
n
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Правильные многогранники
Тип многогранника
Число граней
Число вершин
Число рёбер
6
12
30
8
12
12
20
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности цилиндра
В цилиндре r - радиус основания, h - высота. Найти х и у и заполнить таблицу.
r
h
Sбок.
Sцил.
А)
1см
2см
Б)
2см
1см
В)
25м
10,5м
Г)
см
7см
Д)
28см2
40см2
Е)
х
а
у
2у
Ж)
х
28см2
З)
х
12м2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности конуса
В цилиндре r - радиус основания, h - высота, l - образующая. Найти х и заполнить таблицу.
r
h
l
Sбок.
Sкон.
А)
1см
2см
Б)
12см
5см
В)
3м
5м
Г)
х
х
36см2
Д)
а
х
Е)
27см
810см2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём прямоугольного параллелепипеда
В прямоугольном параллелепипеде с квадратным основанием р - сторона основания, с - высота. Заполнить таблицу.
А)
Б)
В)
Г)
Д)
Е)
р
3
6
2
3
с
4
11
l
V
1,76
122,4
12
Q
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём прямоугольного параллелепипеда
Дан прямоугольный параллелепипед, основанием которого является квадрат.
А)
Б)
В)
Г)
Д)
Е)
Сторона квадрата
3,5
Диагональ квадрата
5
2
d
Периметр квадрата
4
P
Высота паралл-да
4
9,8
c
Объём паралл-да
12,74
28,4
V
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Уравнение сферы
-
Укажите центр и радиус сферы, заданной уравнением:
а)(х - 4)2 + (у - 2)2 + (z + 9)2 = 25; б) (х - 3,6)2 + (у + 0,75)2 + (z + 777)2 = 1,21
-
Проверьте, лежит ли точка А на сфере
а)(х + 1)2 + (у - 2)2 + (z - 3)2 = 9,если А(-1;-1;3)
б)(х - 2)2 + (у + 3)2 + (z + 4)2 = 16, если А(4;-3;-2)
-
Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат, если R = 8; R = 2,5
-
Напишите уравнение шара радиуса R с центром в начале координат, если R = 6
-
Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в точке С, если С(-3;2;4) и R = 5
-
Напишите уравнение шара радиуса R с центром в точке С, если С(5;4;-2) и R = 0,5
-
Составьте уравнение сферы с центром в точке С, проходящей через точку М, если а) С(0;-4;9), М(6;-1;0); б) С(-2;4;0), М(-2;4;3)
-
Докажите, что каждое из следующих уравнений задаёт сферу. Найдите координаты центра и радиус этих сфер
а) х2 - 9х + у2 + 2у + z2 = 34; б) х2 + у2 - 3z + z2 + 5у - х - 18 = 0
-
Найти координаты точек пересечения сферы с координатными осями
(х + 3)2 + у2 + (z - 5)2 = 25
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём цилиндра
Пусть r - радиус основания, h - высота, V - объём цилиндра. Заполнить таблицу.
r
h
V
А)
3
5
Б)
2
3
В)
0,5
9
Г)
4
6,4
Д)
3,6
120
Е)
3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём наклонной призмы
Основание
Высота
Объём
А)
Треугольник АВС, АВ=ВС=СА=3см
15см
Б)
Треугольник АВС, АВ=5м, ВС=6м, СА=9м
20м
В)
Квадрат АВСК, АВ=12
Г)
Параллелограмм АВСК, АВ=3см, АК=5см,
8см
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём конуса.
Пусть r - радиус основания, h - высота, V - объём конуса. Заполнить таблицу.
А)
Б)
В)
Г)
Д)
Е)
h
3cм
10м
2,5м
m
r
1,5см
4
1,5м
а
V
94,2м3
48
р
р
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности и объём шара
Пусть V - объём шара радиуса R, а S - площадь его поверхности. Заполнить таблицу.
А)
Б)
В)
Г)
Д)
Е)
R
4см
2,5см
0,75м
S
64см2
12см2
V
113,04см3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности и объём тел вращения
Пусть R- радиус, l- образующая,D- диаметр,H- высота, V- объём, S- площадь поверхности
R
l
D
H
Sосн.
Sполн. пов.
V
конус
а
в
конус
с
р
конус
в
а
конус
2
25
цилиндр
в
а
цилиндр
с
р2
цилиндр
а
в
цилиндр
с
р
шар
Нет
а
Нет
Нет
шар
Нет
Нет
Нет
100
шар
с
Нет
Нет
Нет
шар
Нет
Нет
Нет
36