- Учителю
- Разработка урока по геометрии 8 класс на тему Касательная к окружности
Разработка урока по геометрии 8 класс на тему Касательная к окружности
Нижегородская область Ветлужский район
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Белышевская школа
Урок изучения нового: «Касательная к окружности, ее свойство и признак»
Урок решения ключевых задач: «Касательная к окружности, ее свойство и признак»
Учебник:
Геометрия 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.
Глава VIII.
§ 1. Касательная к окружности.
606860 Нижегородская область Ветлужский район
с. Белышево МОУ Белышевская школа
тел.8831(50)32-125
Работу выполнила:
Чистова Елена
Николаевна
Учитель математики
Урок изучения нового: Касательная к окружности, ее свойство и признак
Учебная задача:
• Ввести понятие касательной к окружности и точки касания.
• Сформулировать и доказать свойство касательной и ее признак, показать их применение при решении задач.
Диагностические цели урока:
Учащиеся должны знать:
-
определение касательной к окружности, точки касания;
Учащиеся должны уметь:
-
Формулировать и доказывать теорему о свойстве касательной к окружности и ее признак;
Развивающая:
-
развивать логическое мышление;
-
умения применять знания в нестандартных ситуациях.
Воспитательная:
-
воспитывать аккуратность, культуру геометрической речи.
Метод обучения:
-
Объяснительно-иллюстративный
Средства обучения:
-
Доска, мел, рисунки, текст теста.
Форма работы:
-
Беседа.
Структура урока:
-
Повторение изученного ранее - 5 мин.
-
Актуализация знаний учащихся - 3 мин.
-
Мотивация учебной деятельности - 2 мин.
-
Постановка целей и учебных задач - 3 мин.
-
Сообщение темы урока - 2 мин.
-
Ознакомление с новым материалом - 25 мин.
-
Подведение итога урока и постановка домашнего задания -5 мин.
Ход урока
I. Мотивационно-ориентировочная часть
Актуализация знаний учащихся
Два ученика готовят решение домашних задач на доске, пока остальные учащиеся решают тест. Задания теста в распечатанном виде раздать на каждую парту.
Проверка домашнего задания
Проверить домашние задачи № 632, 633.
Задача № 632
Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.
Краткое решение (см. рис.):
Пусть р произвольная прямая и на ней отложим два отрезка AB и АС такие, что AB=AC=. По теореме Пифагора ОВ = ОС = обе точки В и С лежат на окружности, значит, прямая р является секущей по отношению к данной окружности.
Задача № 633
Даны квадрат ОАВС, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?
Краткое решение (см. рис.):
∆АСО - прямоугольный, так как ОАВС- квадрат. По теореме Пифагора АС2 = АО2 + ОС2 = 62 + 62 = 72 => АС = 6см.
ОН - высота равнобедренного треугольника АСО, проведенная к его основанию => ОН- медиана этого треугольника, то есть AH=HC=3см.
В ∆АОH по теореме Пифагора ОН2 = ОА2 - АН2 = 62 -(3)2 = 18 =>OH = 3 см 4,2 см.
Радиус окружности равен 5 см => OH < r =>AC и окружность пересекается в двух точках. Итак, секущими по отношению к этой окружности, являются АС и ОА. АВ и ВС не являются секущими, так как d=ОА = ОС = 6 см > r = 5 см. Ответ: АС и О А.
Мотивация.
Тест с целью проверки теории
1. Среди следующих утверждений укажите истинные. Окружность и прямая имеют две общие точки, если:
а) расстояние от центра окружности до прямой не превосходит радиуса окружности;
б) расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности;
в) расстояние от окружности до прямой меньше радиуса.
Верный ответ: 2.
2. Среди следующих утверждений укажите истинные:
а) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она имеет с окружностью общие точки.
б) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она пересекает окружность в двух точках.
в) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если расстояние от центра окружности до данной прямой не больше радиуса.
Верный ответ: б - истинно.
3. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание. Окружность и прямая не имеют общих точек, если...
Верный ответ: если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности
4. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание. Окружность и прямая имеют одну общую точку, если...
Верный ответ: если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности
5. Вставьте пропущенные слова.
Окружность и прямая имеют одну общую точку, если расстояние от ... до прямой ...
Верный ответ: ….центра окружности …. равно радиусу окружности
Постановка учебной задачи:
Мы познакомились с тремя видами взаимного расположения прямой и окружности и знаем как называется прямая, имеющая с окружностью две общие точки - это секущая.
А сегодня мы познакомимся с определением прямой, имеющей с окружностью одну общую точку, узнаем ее свойства и признаки.
II. Содержательная часть.
1 . Введение определения касательной и точки касания.
Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Рисунок и записи на доске и в тетрадях учащихся (см. рис.): р - касательная к окружности; А - точка касания.
2. Доказательство теоремы о свойстве касательной к окружности лучше провести в ходе беседы учителя с учащимися по рис., приготовленному на доске.
Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
- Предположим, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА. Сравните расстояние от центра окружности до прямой р с радиусом окружности.
(Расстояние от точки О - центра окружности - до прямой р меньше радиуса, так как радиус ОА в данном случае является наклонной по отношению к прямой р, а расстояние от точки О до прямой р - перпендикуляром к прямой р, а как известно, любая наклонная больше перпендикуляра, проведенного из той же точки к той же прямой что и наклонная.)
- Каково взаимное расположение прямой р и окружности? Почему?
- Может ли прямая р быть касательной к окружности? Объясни.
(Прямая р не может быть касательной к окружности, так как она имеет с ней две общие точки.)
- Верно ли предположение, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА? О чем это говорит?
(Предположение о том, что прямая р не перпендикулярна радиусу неверное, следовательно прямая р перпендикулярна радиусу.)
3. Ввести понятие отрезков касательных, проведенных из одной точки.
Определение: Отрезки АВ и АС называются отрезками касательных, проведенных из точки А, если прямые АВ и АС являются касательными к окружности, точки В и С - точками касания.
Рисунок и записи на доске и в тетрадях учащихся (см. рис.):
АВ и АС - отрезки касательных, проведенных из точки А.
В и С- точки касания.
4. Доказательство свойства отрезков касательных, проведенных из одной точки.
Творческое задание:
Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Для выполнения творческого задания дать учащимся 3-5 минут, а затем обсудить различные варианты решений. Если учащиеся не смогли самостоятельно справится с заданием, выполнить задание, используя наводящие вопросы.
Решение (см. рис.):
По теореме о свойствах касательной к окружности АВ ОВ и АС ОС => ∆АОВ и ∆АОС - прямоугольные, они равны по катету (ОВ = ОС) и гипотенузе (ОА) =>АВ = АС и 1 = 2.
Наводящие вопросы:
- Соединим точки А и О отрезком. Что вы можете сказать о треугольниках АОВ и АОС?
- Чем является луч АО для угла ВАС? О чем это говорит?
5. Знакомство с признаком касательной и его доказательство.
- Сформулируйте теорему, обратную свойству касательной к окружности.
Теорема: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
- Верна ли теорема, обратная свойству касательной к окружности?
- Докажите ее справедливость.
(По условию теоремы радиус является перпендикуляром к прямой, значит, расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Это говорит о том, что прямая и окружность имеют одну общую точку, т.е. прямая является касательной к окружности.)
6. Решение задачи на построение.
Дана окружность с центром в точке О и точка М на ней. Построить касательную к окружности, проходящую через точку М (см. рис.).
Вопросы для обсуждения:
- Предположим, а - касательная к окружности, проходящая через точку М. Каково взаимное расположение прямой а и радиуса ОМ?
- Как построить касательную к окружности, проходящую через М?
IV. Закрепление изученного материала
-
Разобрать решение задачи № 638.
Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ, если ОА=2см, а r = 1,5 см.
Решение (см. рис.):
∆АОВ - прямоугольный, по теореме Пифагора
АВ = (см).
Ответ: см.
Наводящие вопросы:
- Как построить касательную к окружности?
(Сначала провести радиус ОВ, где В - точка касания, затем провести прямую АВ так, что АВ ОВ.)
- Докажите, что прямая АВ является касательной к окружности.
(По признаку касательной к окружности.)
2. Решить самостоятельно задачи № 640, 635, 637.
Задача № 640
Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9 см
Краткое решение (см. рис.):
∆АОВ прямоугольный, ОА = 9 см, ОВ = 4,5 см => ВАО = 30°.
∆ОАС = ∆АОВ => ОАС = 30° => ВАС = 60°.
Ответ: 60°.
Задача № 635
Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.
Краткое решение (см. рис.):
В ∆АОВ ОА = АВ по условию задачи, ОВ = ОА как радиусы одной окружности => ∆АОВ - равносторонний, ОАВ = 60°.
ОА АС => САВ = 90° - 60° = 30°. Ответ: 30°.
Задача №637
Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке В. Докажите, что треугольник АСО равнобедренный.
Краткое решение (см.рис.):
∆АОС - равнобедренный (ОА = ОС как радиусы) => 1 = 30°, ОССD (радиус окружности перпендикулярен касательной) => ОСD = 90°.
АСD = 1 + ОСD = 180° - (А + АСD) = 180° - (30° + 120°) = 30° => ∆АСD - равнобедренный с основанием АD.
Дополнительная задача
АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных из точки В к окружности с центром О. Найдите АВ и ВС, если ОА = 16 см, а радиусы, проведенные к точкам касания, взаимно перпендикулярны.
Решение (см. рис.):
Т. к. ВА и ВС - отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, то ОААВ, ОССВ, АВ = ВС и 1= 2 =>AОВ =СОВ.
Т. к. ОА ОС и AОВ =СОВ = 45° => 1=45°, 2 = 45°.
∆АОВ - равнобедренный с основанием ОВ, значит, ОА = АВ.
По теореме Пифагора ОА2 + АВ2 = ОВ2 => так как ОА = АВ, то 2 ОА2=162=>ОA = 8 см => АВ = BС= 8 см.
Ответ: 8см, 88 см.
V. Подведение итогов урока
Домашнее задание
П. 69, вопросы 3-7;
Решить задачи № 634, 636, 639 учебника.
• Рассмотреть свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки и показать его применение в процессе решения задач.
Урок: Касательная к окружности. Решение задач
Цели урока:
• Закрепить теоретический материал п. 69.
• Совершенствовать навыки решения задач по теме.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Актуализация знаний учащихся
Теоретический опрос
(Три ученика готовятся у доски.)
- Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.
- Сформулируйте и докажите теорему о свойстве отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки.
- Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.
Проверка домашнего задания
Проверить домашнюю задачу № 639 через графопроектор.
Задачам 639
Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ, если АОВ = 60°, а r = 12 см.
Решение (см. рис.):
∆АОВ- прямоугольный, А = 90° - О = 30° =>ОВ = ОА => ОА = 24 см.
По теореме Пифагора АВ = (см).
Ответ:(см).
Наводящие вопросы
- Каково взаимное расположение касательной АВ и радиуса ОВ.
- Как найти катет АВ треугольника АОВ?
Далее можно заслушать учащихся, подготовивших у доски доказательства теорем.
Решение задач на готовых чертежах
(Самостоятельно с последующей проверкой по готовым ответам.)
-
Рис. Дано: К = 5, АВ- касательная.
Найти: ОВ.
ОТВЕТ: OB=
-
Рис. Дано: АВ - касательная; АВ = 12, ОВ = 13.
Найти: R окружности.
ОТВЕТ: R = 5.
-
Рис. Дано: АВ, ВС - касательные, ОВ = 2, АО = 4.
Найти: ВОС.
ОТВЕТ: ВОС=120
-
Рис. Дано: АВ - касательная, R = 6, АО = ОВ.
Найти: АО.
ОТВЕТ: АО=10.
5. Рис. Дано: М, М, К -точка касания.
Найти: PABC.
ОТВЕТ: PABC= 34.
6. Рис. Дано: АВ = 10 см, О - центр окружности, СD - касательная, АЕ || СD. Найти: ОС.
ОТВЕТ: ОС = .
III. Решение задач
1. Самостоятельно решить задачи № 641, 644, 647, записав краткое решение (учитель в это время оказывает индивидуальную помощь менее подготовленным учащимся).
Задача № 641
Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.
Краткое решение (см. рис.):
В ∆ОАС С = 90°, ОС = ОА => ОАС = 30° => ВАС= 60°.
Задача № 644
Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что АМС =3ВМС.
Краткое решение (см. рис.):
МА и МВ - отрезки касательных, проведенных из точки М => 1=2. Точки О и С симметричны относительно точки В => ОВ = ВС и О, В, С лежат на одной прямой => ∆OMB = ∆СМВ по двум катетам => 2 =3 =>АМС = 3ВМС.
Задача № 647
Отрезок АН - перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА= 5 см, АН = 4 см; б) НАО = 45°, ОА= 4 см; в) НАО= 30°, ОА= 6 см?
Краткое решение (см. рис.):
а) ОА = 5 см, АН = 4 см => ОН = = 3 см = r=> АН - касательная к окружности.
б) HОA = 45°, ОА = 4 см => ОН = НА, ОН2 + НА2 = ОА2=>2 ОН2 = 16 => ОН = см 3 см => АН является касательной к окружности.
в) HОA = 30°, ОА = 6 см =>OH = OA = 3 см = r=> АН - касательная к окружности.
Ответ: а) да; б) нет; в) да.
IV. Самостоятельная работа
К первой задаче из самостоятельной работы записать краткое решение (можно на рисунке); ко второй задаче - полное решение.
1уровень
I вариант
1. Прямая КЕ касается окружности с центром в точке О, К- точка касания. Найдите ОЕ, если КЕ = 8 см, а радиус окружности равен 6 см.
2. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 3 см, АС = 5 см. Докажите, что АВ - отрезок касательной, проведенной из точки А к окружности с центром в точке С и радиусом, равным 3 см.
II вариант
1. Прямая МN касается окружности с центром в точке О, М- точка касания, МNО = 30°, а радиус окружности равен 5 см. Найдите N0.
2. В треугольнике МNК МN = 6 см, МК = 8 см, NК = 10 см. Докажите, что МК - отрезок касательной, проведенной из точки К к окружности с центром в точке N и радиусом, равным 6 см.
II уровень
I вариант
1. АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см. Найдите ВО, если АОС = 60°.
2. Докажите, что основание АС равнобедренного треугольника АВС является касательной окружности с центром в точке В и радиусом, равным медиане треугольника, проведенной к его основанию.
II вариант
1. МN и NК - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О, MNК = 90°. Найдите радиус окружности, если ОN= 2 см.
2. Докажите, что стороны равностороннего треугольника касаются окружностей, проведенных с центрами в его вершинах и радиусами, равными любой из его биссектрис.
III уровень
I вариант
1. ЕК и ЕF - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 6 см, КОF = 120°, А - точка пересечения КF и ОЕ. Найдите ОА и АЕ.
2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность радиусом, равным данному отрезку, касающуюся сторон данного угла.
II вариант
1. РМ и РN - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см, МОN= 120°, Е - точка пересечения МN и ОР. Найдите ОЕ и РЕ.
2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла, с центром, удаленным от вершины угла на расстояние, равное длине данного отрезка.
V. Подведение итогов урока
Домашнее задание
Решить задачи № 641, 643, 645, 648.