- Учителю
- Методическое пособие по тригонометрическим выражениям
Методическое пособие по тригонометрическим выражениям
Бурлакова Елена Петровна,
учитель математики
СКО специализированной
школы-интерната для
одаренных в спорте детей
Тригонометрические выражения
Введение
Известно, что школьники испытывают немалые трудности, изучая тригонометрию. Одна из причин этого: отсутствие стандартных приемов преобразования тригонометрических выражений. Формирование навыков тождественных преобразований тригонометрических выражений требует специальной тренировки, которая осуществляется с помощью достаточно большого числа упражнений.
Тождественные преобразования тригонометрических выражений опираются на следующие основные формулы:
-
основные тригонометрические тождества;
-
формулы приведения;
-
формулы суммы и разности аргументов
-
формулы двойного аргумента
-
формулы тройного аргумента
-
формулы половинного аргумента
-
формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение
-
формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность)
Характерная особенность преобразования тригонометрических выражений состоит в том, что к одному и тому же результату можно придти разными путями.
Применение формул приведения: Для облегчения запоминания формул приведения следует запомнить следующее правило:
- правая часть формул приведения пишется под тем же знаком, какой имеет приводимая функция в соответствующей четверти;
- если в аргументе участвует угол π или 2π, то функция не меняется, а если участвует угол или , то функция меняется на кофункцию.
-
Найдите значение выражения:
Решение:
-
Найдите значение выражения:
-
Найдите значение выражения:
-
Найдите значение выражения:
-
Найдите значение выражения:
-
Найдите значение выражения:
-
Вычислите:
-
Найдите значение выражения:
-
Найдите значение выражения:
-
Найдите значение выражения:
-
Найдите значение выражения:
-
Найдите значение выражения:
Решение:
-
Упростите выражение:
Решение:
-
Найдите значение выражения:
-
Найдите значение выражения:
-
Упростите выражение:
Решение:
Применение основных тригонометрических тождеств:
-
Найдите значение выражения:
Решение: разложить по формулам квадрата суммы и квадрата разности
-
Упростите выражение:
Решение: поменять второе и третье слагаемое местами и применить формулу разности квадратов
-
Упростите выражение:
-
Найдите
возвести обе части равенства в квадрат
-
Упростите выражение:
-
Найдите значение выражения: , если
разделим числитель и знаменатель на
-
Найдите значение выражения:
Решение: разложить по формуле квадрата суммы и упростить
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
заменить и привести к общему знаменателю
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
. Найдите значение
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
заменить и , привести к общему знаменателю, вынести общий множитель
-
Упростите выражение:
Решение: применить формулу разности квадратов
-
Найдите значение , если
выразить , в третьей четверти
-
Найдите значение выражения:
применить формулы приведения, разности квадратов, тангенс суммы аргументов, половинного аргумента
-
Найдите значение выражения:
Решение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
Решение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
Решение: вынести общий множитель, заменить
Применение формул суммы и разности аргументов:
-
Вычислите:
привести к общему знаменателю, применить формулы приведения
-
Вычислите:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Найдите значение выражения: , если
-
Найдите значение выражения: , если
-
Найдите значение , если
-
Найдите значение , если
вычислить
-
Известно, что . Найдите .
-
Упростите выражение:
-
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
применить формулы приведения, раскрыть скобки и перегруппировать
Можно воспользоваться формулами тройного аргумента.
-
Упростите выражение:
Применение формул преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Найдите значение выражения
сгруппировать и применить формулы приведения
-
Найдите значение выражения
сгруппировать
-
Упростите выражение:
заменить и разность
-
Упростите выражение:
Решение: разложить на множители по формуле разности квадратов
-
Упростите выражение:
применить формулы половинного аргумента
-
Упростите выражение:
перегруппировать
-
Упростите выражение:
-
Вычислите:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
перегруппировать
-
Вычислите:
Решение:
-
Упростите выражение:
применить формулы приведения, основные тригонометрические тождества, формулы двойного угла
-
Вычислите:
добавить множитель
-
Упростите выражение:
применить формулу суммы котангенсов, формулы приведения
-
Упростите выражение:
Решение: применить формулу суммы аргументов, раскрыть скобки, упростить
-
Упростите выражение:
Решение:поменять второе и третье слагаемые, применить формулы суммы синусов и суммы косинусов, вынести общий множитель и упростить
Применение формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность):
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
Решение:
-
Упростите выражение:
=
-
Упростите выражение:
Решение:
-
Найдите значение выражения , если
-
Упростите выражение:
-
Вычислите:
-
Вычислите:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Найдите значение выражения:
Применение формул двойного аргумента:
-
Найдите значение выражения:
-
Найдите значение выражения:
умножить и разделить на
-
Найдите значение выражения:
-
Вычислите
-
Найдите значение выражения , если
применить основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса двойного аргумента
-
Найдите значение выражения , если
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Найдите значение , если
возведем обе части равенства в квадрат
-
Найдите значение выражения:
-
Упростите выражение:
-
Вычислите:
-
Упростите выражение:
-
Найдите наибольшее значение выражения:
. Наибольшее значение равно 2.
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Найдите значение выражения: , если
-
Найдите значение выражения: , если
-
Найдите значение выражения: , если
;
;
;
Т.К. значит и имеют разные знаки и
Применение формул тройного аргумента:
-
Упростите выражение:
Решение:
-
Упростите выражение:
Применение формул половинного аргумента:
-
Найдите значение выражения , если
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
Решение:
-
Упростите выражение:
-
Найдите значение выражения:
Решение:
-
Упростите выражение:
Вычисление обратных тригонометрических функций:
-
Найдите значение выражения:
-
Найдите значение выражения:
-
Найдите значение выражения:
-
Найдите значение выражения:
применить формулы приведения
-
Найдите значение:
применить формулы суммы аргументов
-
Найдите значение:
применить формулы двойного угла
Литература
-
А. П. Цыпкин, «Справочное пособие по методике решения задач по математике для средней школы», Москва «Наука», 1984 г.
-
И. П. Рустюмова, С. Т. Рустюмова, «Пособие для подготовки к ЕНТ по математике», Алма-Аты, 2008 г.
-
Сборник тестов по математике 2000-2012 г.