Конспект плана повторительно-обобщающего урока по теме 'Решение задач'

Повторительно-обобщающий урок по геометрии в 8 классе

по теме «Решение задач»

Фадеева Лариса Анатольевна

преподаватель математики

ГАПОУ ИО «ИТК»

УКП №4, ОИК-8 г. Саянск Иркутской области

Тема: Решение задач (итоговое повторение)

Цель: Систематизировать знания о медиане треугольника.

Ход урока:

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Орг. момент

Предлагаю решить задачу: В равнобедренном треугольнике с боковой стороной длинной 4 см. проведена медиана к боковой стороне. Найти длину основания треугольника, если длина медианы равна 3 см.

Выполняют построение чертежа

В

2

D

3 2

А С

Вспомним, что называется медианой треугольника?

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Какой вывод можно сделать?

Посмотрите внимательно на рисунок к задаче, заметим, что АС является стороной двух треугольников АВС и ADC, причем в обоих треугольниках известны две другие стороны. Каким образом можно найти третью сторону?

Третью сторону можно найти по теореме косинусов, но для этого нужно знать величину угла, противолежащего неизвестной стороне.

Таким образом, задача свелась к нахождению величин углов АВС и ADC. Какой из углов можно найти?

Анализируя рисунок, замечаем, что в треугольнике АВD известны все три стороны. Следовательно, можно вычислить по теореме косинусов из треугольника АВD:

Из

не удовлетворяет условию задачи, .

А теперь попробуем решить задачу другим способом, применив свойство медианы треугольника заключающегося в том, что медиана делит треугольник на два равновеликих.

Убедите нас в равенстве площадей треугольников АDB и АDC!

Медиана делит треугольник на два равновеликих. У них равные основания и одна и та же высота. По этому площади этих треугольников равны.

Приглашаю к доске ученика, подготовившего второй способ решения.

Раз мы заговорили о площади треугольника, обратите внимание на то, что в треугольнике ADB известны все три стороны.

Следовательно, площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона. Значит, станет известна площадь и треугольника ADC.

Пусть тогда

составляем уравнение:

Получили иррациональное уравнение. Чтобы его решить возведем обе части уравнения в квадрат и сделаем проверку корней. Так как при возведении обеих частей уравнения в квадрат, могут появиться лишние корни.

получили биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной:

возвращаемся в нашу подстановку:

Сделаем проверку корней. Отрицательные корни, очевидно, не подходят по смыслу задачи.

При см. треугольник АВС получается равносторонним, следовательно, медиана АD является высотой. Значит треугольник ADC - прямоугольный. Применяя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ADC, получаем, что , что противоречит условию. Следовательно, .

Это противоречие можно доказать, используя формулу высоты в равностороннем треугольнике

Какой вывод можно сделать, сравнивая эти способы решения?

Они примерно равнозначны, но во втором способе вычисления оказались намного сложнее и, кроме того, пришлось проверять, почему см. не удовлетворяет условию задачи.

Сформулируйте условие аналогичной задачи для равностороннего треугольника

так как стороны треугольника равны, следовательно, достаточно указать длину медианы.

Задача: В равностороннем треугольнике проведена медиана к одной из сторон. Найдите стороны треугольника, если длина медианы равна 3 см.

Предлагаю решить вам задачу в общем виде: Найти стороны треугольника, если длина медианы равна m . Найти периметр треугольника, площадь треугольника, радиусы вписанной и описанной окружностей.

Где находится центр вписанной в треугольник окружности?

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении его биссектрис.

Где находится центр описанной около треугольника окружности?

Центр описанной - на пересечении его серединных перпендикуляров.

Что можно сказать о положении этих двух центров?

В нашем случае эти два центра совпадают.

В каком отношении пересекаются медианы в треугольнике?

Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1считая от вершины.

Приглашаю ученика, подготовившего решение этой задачи.

Так как медиана в равностороннем треугольнике является высотой, а высота находится по формуле , то ;

Так как площадь равностороннего треугольника находится по формуле , то;

;;

Предлагаю решить вам первоначальную задачу, используя определение средней линии треугольника.

Что называется средней линией треугольника?

Это отрезок, соединяющий середины боковых сторон треугольника.

Если провести все три средние линии треугольника, то можно решить задачу, используя свойство диагоналей и сторон параллелограмма.

Попробуем?

В

2

M D

3 2

А N С

Докажите, что четырехугольник AMDN - параллелограмм.

(по свойству средней линии треугольника). Четырехугольник, в котором противолежащие стороны равны и параллельны, является параллелограммом.

Какая формула связывает диагонали и стороны параллелограмма?

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Пусть , тогда

Составляем уравнение:

не удовлетворяет условию задачи.

Подведем итог.

Что мы вспомнили при решении нашей задачи?

Определение и свойства медиан треугольника.

Определение и свойства средней линии треугольника.

Где находятся центр вписанной в треугольник окружности и описанной около треугольника окружности.

Что задачу можно решить путем дополнительных построений внутри треугольника.

Формулу Герона.

Формулу, связывающую стороны и диагонали параллелограмма.

Способы решения этой задачи мы определили не все. Еще можно решить эту задачу, используя теорему Фалеса.

Используя внешние дополнительные построения можно решить эту задачу в одну строчку. Этот способ самый рациональный, более интересный, оригинальный. В этом вы убедитесь на следующем уроке.