7


  • Учителю
  • Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть

Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть

Автор публикации:
Дата публикации:
Краткое описание:
предварительный просмотр материала

Задача №1

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 60º. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение.

Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть



Пусть дан цилиндр, прямоугольник АВСД - его осевое сечение, АД и ВС - диаметры оснований. Точка О - центр нижнего основания, точка Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть- центр верхнего основания. ОРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть(АВС), ОРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть - высота цилиндра.

АВРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьАД, АД проекция ВД на плоскость нижнего основания цилиндра, тогда Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьВДА - угол между диагональю ВД и плоскостью нижнего основания.

По условию ВД = 12 см, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьВДА = 60º. Из ∆ВАД (Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьВАД = 90º), Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьАВД = 90º-60º = 30º. АД = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьВД, АД = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть12 = 6 (см), по свойству катета, лежащего против Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьАВД = 30º.

Используя теорему Пифагора АВ = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, АВ = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть= Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть(см).

Площадь боковой поверхности цилиндра Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, где C - длина окружности, H - высота цилиндра. Н = АВ = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьсм, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, d = AД, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть



Ответ: Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть



Задача №2.

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 24Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьсм и наклонена к плоскости его основания под углом 30º. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение.

Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть



Пусть дан цилиндр, прямоугольник АВСД - его осевое сечение, АД и ВС - диаметры соответственно нижнего и верхнего оснований. Точка О - центр нижнего основания, точка Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть- центр верхнего основания. ОРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть(АВС), ОРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть - ось цилиндра, высота цилиндра.

АВРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьАД, АД проекция ВД на плоскость нижнего основания цилиндра, тогда Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьВДА - угол между диагональю ВД и плоскостью нижнего основания. По условию ВД = 24Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьсм, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьВДА = 30º. Из ∆ВАД (Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьВАД = 90º),АВ = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьВД, АВ = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть24Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть=12Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть(см) - по свойству катета, лежащего против угла 30º.

Используя теорему Пифагора АД = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, АД = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть= 36(см).

Площадь боковой поверхности цилиндра Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, где C - длина окружности, H - высота цилиндра. Н = АВ = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьсм, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, d = AД, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть



Ответ: Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть



Задача №3.

Расстояние от центра основания конуса до середины образующей равно 6 см. Угол между образующей и плоскостью основания равен 60º. Найдите площадь осевого сечения.

Решение.



Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть

Пусть дан конус, точка О - центр его основания, РО - ось конуса, РО - высота конуса. Построим осевое сечение конуса - равнобедренный ∆АРВ, АВ - диаметр основания конуса, РА=РВ - образующие. Точка М - середина РА, ОМ - расстояние от центра основания конуса до середины образующей РА. По условию ОМ = 6 см. РОРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьАВ, ОА - проекция наклонной РА на плоскость основания конуса, тогда Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРАО - угол между образующей и плоскостью основания конуса, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРАО = 60º.

Из ∆АРВ, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРВА = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРАВ = 60º, как углы при основании равнобедренного треугольника АРВ, значит ∆АРВ равносторонний, РА = РВ = АВ.

Рассмотрим ∆РОА (Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРОА = 90º), точка М - середина гипотенузы РА, значит это центр окружности, описанной около ∆РОА, ОМ = АМ = МВ = R, где R - радиус описанной окружности. Тогда РА = 2ОМ, РА = 2·6 = 12 (см).

Площадь осевого сечения Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть , Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть(см²).



Ответ: Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть



Задача №4.

Расстояние от центра основания конуса до образующей равно 3 см. Угол при вершине осевого сечения равен 120º. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Решение.

Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть



Пусть дан конус, точка О - центр его основания, SО - ось конуса, SО - высота конуса. Построим осевое сечение конуса - равнобедренный ∆МSК, МК - диаметр основания конуса, SМ=SК - образующие конуса, SОРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьМК. Опустим из точки О перпендикуляр на образующую SК, ОРРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьSК, тогда ОР - расстояние от центра основания конуса до образующей SК, ОР = 3 см.

По условию Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьМSК = 120º - угол при вершине осевого сечения. В равнобедренном ∆MSK высота SО - биссектриса, медиана. Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьМSО = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьКSО = 120º:2 = 60º. Тогда Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьSМК = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьSКМ = (180º - 120º):2 = 30º - как углы при основании равнобедренного треугольника.

Из ∆SРО (Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьSРО = 90º) SО = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, SО = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть= Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть

Из ∆SОК (Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьSОК = 90º) ОК = SО· tg Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьКSО, ОК = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть(см), тогда МК = 6·2 = 12 (см). Площадь осевого сечения конуса Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть



Ответ: Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть



Задача №5. В основании прямой призмы лежит ромб с большей диагональю, равной 6Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьсм. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 30º, меньшая - угол 45º. Найдите объем призмы.

Решение.

Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть

Пусть Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть - прямая призма, ромб АВСД - ее основание. Точка О - точка пересечение диагоналей ромба, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьА - острый, АС - большая диагональ ромба, ВД - меньшая диагональ ромба, АС > ВД. Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, АС - проекция Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть на плоскость основания, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, ВД - проекция Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть на плоскость основания. Так как АС > ВД, то Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть>Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть по свойству наклонных и их проекций, т.е. Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть - большая диагональ призмы. Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть- угол, образованный большей диагональю призмы с плоскостью основания, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть- угол, образованный меньшей диагональю призмы с плоскостью основания. По условию Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть=30º, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть= 45º.

Из ∆Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, (Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть=90º) АС = 6Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьсм, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть.

В ∆Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, (Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть=90º), Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть= 90º- 45º = 45º, значит ∆Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть - равнобедренный, ВД = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть= 6 см.

Объем призмы V = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, где Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть - площадь основания призмы, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть= Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть - высота призмы. Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть. V = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть.



Ответ: Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть.



Задача №6.

В основании прямой призмы лежит ромб. Большая диагональ призмы равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30º, а меньшая образует с боковым ребром угол 45º. Найдите объем призмы.

Решение.

Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть

Пусть Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть - прямая призма, ромб АВСД - ее основание. Точка О - точка пересечение диагоналей ромба, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьА - острый, АС - большая диагональ ромба, ВД - меньшая диагональ ромба, АС > ВД. Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, АС - проекция Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть на плоскость основания, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, ВД - проекция Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть на плоскость основания. Так как АС > ВД, то Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть>Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть по свойству наклонных и их проекций, значит Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть - большая диагональ призмы, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть- угол, образованный большей диагональю призмы и плоскостью основания. Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть- угол, образованный меньшей диагональю призмы и плоскостью основания. По условию Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть=30º, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть= 45º. Из ∆Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, (Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть=90º) АРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьС = 12 см, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть=Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть= Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть- по свойству катета, лежащего против угла 30º. Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть= А АРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть= 6 см.

Используя теорему Пифагора АС = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, АС = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть

Из ∆Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, (Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть=90º), Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, ΔРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть - равнобедренный, ВД = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть = 6 см.

Объем призмы V = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, где Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть - площадь основания призмы, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть= Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть - высота призмы. Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть. V = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть.

Ответ: Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть.

Задача №7.

Осевое сечение конуса прямоугольный треугольник. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если радиус основания конуса равен 5 см.

Решение.

Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть



Пусть дан конус, точка О - центр его основания, РО - ось конуса, высота конуса. Построим сечение конуса - прямоугольный равнобедренный ∆АРВ, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьАРВ = 90º, АВ - диаметр основания конуса, РА=РВ - образующие. ОА = ОВ = 5 см (по условию) - радиусы основания конуса, АВ = 2·ОА, АВ = 2·5 = 10 (см).

Так как ∆АРВ - равнобедренный, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьPАB =Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьPВA = 45º, как углы при основании равнобедренного треугольника. РА = АВ· cosРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьPAB, PA = 10· cos45º = 10· Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть= Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть

Площадь боковой поверхности конуса Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, где R=ОА = 5 см, l = РА = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьсм.

Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть(см²).



Ответ: Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьсм².













Задача №8.

Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найдите объем конуса.

Решение.

Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть

Пусть дан конус, точка О - центр его основания, РО - ось конуса, высота конуса. Построим сечение конуса - равносторонний ∆АРВ, РА=РВ=АВ = 10 см (по условию). РА, РВ - образующие конуса, РОРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть(АРВ), АВ - диаметр конуса. АО=ОВ - радиусы основания, АО=ОВ =Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть(см).

Из ΔРОА (Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРОА=90º), используя теорему Пифагора РО=Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть,

РО = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть(см).

Объем конуса Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, где Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть - площадь основания конуса. Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть25Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьсм². Тогда Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть.



Ответ: Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть









Задача №9.

Площадь боковой поверхности конуса равна 136Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьсм², а его образующая равна 17 см. Найдите объем конуса.



Решение.

Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть



Пусть дан конус, точка О - центр его основания, РО - ось конуса, высота конуса, РА - образующая, ОА - радиус основания конуса.

По условию РА = 17 см, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, где R = OA, l = РА, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, отсюда ОА = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, ОА = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть.

Из ∆РОА, (Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРОА=90º), используя теорему Пифагора РО=Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть,

РО = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть(см).

Объем конуса Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, где Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть - площадь основания конуса. Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть64Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьсм². Тогда Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть.



Ответ: Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть











Задача №10.

Площадь боковой поверхности конуса равна 65Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьсм², а его образующая равна 13см. Найдите объем конуса.



Решение.

Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть



Пусть дан конус, точка О - центр его основания, РО - ось конуса, высота конуса, РА - образующая, ОА - радиус основания конуса.

По условию РА = 13 см, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРешение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, где R = OA, l = РА, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, отсюда ОА = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, ОА = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть.

Из ∆РОА, (Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьРОА=90º), используя теорему Пифагора РО=Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть,

РО = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть(см).

Объем конуса Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, где Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть - площадь основания конуса. Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть = Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть, Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть25Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 частьсм². Тогда Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть.



Ответ: Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть













 
 
X

Чтобы скачать данный файл, порекомендуйте его своим друзьям в любой соц. сети.

После этого кнопка ЗАГРУЗКИ станет активной!

Кнопки рекомендации:

загрузить материал