Первообразная и неопределенный интеграл 11 класс

Сабақтың тақырыбы/ Тема урока: Первообразная и неопределенный интеграл

Мақсатары/Цели:

1.ввести понятие первообразной; доказать теорему о множестве первообразных для

заданной функции(применяя определение первообразной); ввести определение

неопределенного интеграла; доказать свойства неопределенного интеграла;

отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.

2. активизировать мыслительную деятельность; способствовать усвоению способов

исследования; обеспечить более прочное усвоение знаний.

3. Воспитание познавательной самостоятельности: развитие умения самостоятельно

анализировать, самооценивать, взаимооценивать результаты, делать выводы.

Сабақтың барысы / Ход урока:

1. Ұйымдастыру-мақсатты кезеңі / Организационно- целевой этап

Сабақтың мақсатын қою / Постановка целей урока.

Сабақтың мотивациясы / Мотивация урока. Предлагается решить задачи. Условия задач записаны на доске. Учащиеся дают ответы по решению задач 1, 2.

1. Закон движения тела S(t) , найти его мгновенную скорость в любой момент времени. V(t) = S(t).

2. Зная, что количество электричества, протекающего через проводник выражается формулой

q (t) = 3t - 2 t, выведите формулу для вычисления силы тока в любой момент времени t.

I (t) = 6t - 2. (Актуализация опыта решения задач на использование дифференцирования ).

II. Қайталанатын материалдар / Повторяемый материал:

Повторить вычисление производных, формулы для вычисления производных

III. Жаңа материалды мазмұндау / Изложение нового материала.

3.Зная скорость движущегося тела в каждый момент времени, найти закон его движения. 4.Зная, что сила тока проходящего через проводник в любой момент времени I (t) = 6t - 2 , выведите формулу для определения количества электричества, проходящего через проводник.

Учитель : Возможно ли решить задачи № 3 и 4 используя имеющиеся у нас средства ?

( Создание проблемной ситуации ).

Предположения учащихся :

- Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,

обратную дифференцированию.

- Операция дифференцирования сопоставляет заданной

функции F (x ) ее производную. F (x) = f (x).

Учитель : В чем заключается задача , дифференцированию?

Вывод учащихся :

- Исходя из данной функции f (x) , найти такую функцию

F (x) производной которой является f (x) , т.е. f (x) = F(x) .

Учитель : Такая операция называется интегрированием, точнее неопределенным интегрированием.

Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.

Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача - вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

В чем состоит неопределенность этой обратной операции предстоит выяснить.

Введем определение. ( кратко символически записывается на доске ).

Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежутке X, называют первообразной для функции задан ной на том же промежутке, если для всех x X выполняется равенство

F(x) = f (x) или d F(x) = f (x) dx .

Например. ( x) = 2x, из этого равенства следует, что функция x является первообразной на всей числовой оси для функции 2x. Используя определение первообразной , выполните упражнение

Проверьте, что функция F является первообраз- ной для функции f, если

1) F (x) = 2 cos 2x , f (x) = x - 4 sin 2x .

2) F (x) = tgх - cos 5x , f (x) = + 5 sin 5x.

3) F (x) = x sin x + , f (x) = 4x sinx + x cosx + .

Решения примеров записывают на доске учащиеся, комментируя свои действия.

Учитель : Является ли функция х единственной первообразной для функции 2х ?

Учащиеся приводят примеры х + 3 ; х - 92, и т.д. ,

Вывод делают сами учащиеся: любая функция имеет бесконечно много первообразных. Всякая функция вида х + С, где С - некоторое число, является первообразной функции х.

Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку учителя.

Теорема. Если функция f имеет на промежутке первообразную F, то для любого числа С функция

F + C также является первообразной для f . Иных первообразных функция f на Х не имеет.

Доказательство проводят учащиеся под руководством учителя.

а) Т.к. F - первообразная для f на промежутке Х, то F (x) = f (x) для всех х Х Тогда для х Х для любого С имеем : ( F (x) + C ) = f (x) . Это значит, что F (x) + C - тоже первообразная f на Х .

б) Докажем , что иных первообразных на Х функция f не имеет. Предположим , что Ф тоже первообразная для f на Х.

Тогда Ф(x) = f (x) и потому для всех х Х имеем: Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, следовательно Ф - F постоянна на Х. Пусть Ф (x) - F (x) = C , тогда Ф (x) = F (x) + C, значит любая первообразная функции f на Х имеет вид F + C.

Учитель : в чем заключается задача отыскания всех первообразных для данной функции ?

Вывод формулируют учащиеся Задача отыскания всех первообразных, решается отысканием какой-нибудь одной: если такая первообразная найдена, то любая другая получается из нее прибавлением постоянной.

Учитель формулирует определение неопределенного интеграла.

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f

называют неопределенным интегралом этой

функции. Обозначение. ; - читается интеграл.

= F (x) + C, где F - одна из первообразных для f , С пробегает множество действительных чисел.

f - подынтегральная функция; f (x)dx - подынтегральное выражение; х - переменная интегрирования; С - постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла учащиеся изучают по учебнику самостоятельно и выписывают их в тетрадь.

( ) = f (x) dx.

1. = F (x) + C.

Интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.

2. = + .

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

3. = A .

T.k. ( x ) = ( ) x, то при - 1,

4. = = + С.

Применение сделанных выводов на практике, в процессе решения примеров.

Используя свойства неопределенного интеграла, решите примеры № 1 (2,3 )

Вычислите интегралы.

1. , Какие свойства неопределенного интеграла следует применить, решая следующий пример ?

2. Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски комментирует выполняемые действия.

Учитель :Теперь вы можете решить физическую задачу определения пройденного пути по известной скорости ? по известному ускорению ? Решите задачи № 3 и 4 и запишите решение в тетрадь.Учитель выборочно проверяет запись решения.

Решите задачу. Тело свободно падает в пустоте. Пусть s (t) - координата тела в момент t .

Т.о. g = s(t) и g - постоянная. Требуется найти функцию s (t) - закон движения.

Задание A:

Укажите первообразную функции .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Ответ: 1.

6. Итоги урока.

7. Домашнее задание.

Прочитать и разобрать §1. Решить следующие задачи №1,2,3,4 (четные)