Урок по геометрии на тему:

"Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности"

Цели урока:

• Вывести формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

• Научить учащихся применять указанные формулы в процессе решения задач.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний учащихся

1.Теоретический опрос.

Два ученика вызываются к доске для подготовки доказательства теорем о вписанной в правильный многоугольник и описанной около правильного многоугольника окружностях. Фронтальный опрос (проводится в то время, пока у доски идет подготовка к доказательству теорем). - Какая формула используется для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника? - Назовите формулу для вычисления угла правильного n-угольника. - Сформулируйте следствия из теорем о вписанной в правильный многоугольник и описанной около правильного многоугольника окружностях. - Что вы понимаете под словами центр правильного многоугольника? Заслушать доказательства теорем, подготовленных у доски. 2. Индивидуальная работа по карточкам (данный этап работы подходит в то же время, что и фронтальный опрос).

I уровень (карточка № 1)

1. Найдите углы правильного восемнадцатиугольника. 2. Угол правильного n-угольника равен 108 . Вычислите количество его сторон. 3. Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна 45 ?

II уровень (карточка № 2)

1. Сумма углов правильного n-угольника равна 1440 . Чему равна сумма углов другого правильного многоугольника, если известно, что вершины первого многоугольника, взятые через одну, служат вершинами второго.

2. Докажите, что в правильном пятиугольнике ABCDE диагонали AC и AD делят угол BAE на три равные части.

III уровень (карточка № 3)

1. Вокруг правильного многоугольника описана окружность с радиусом, равным 10 см, и в этот же многоугольник вписана окружность с радиусом, равным 5 см. Чему равно число сторон этого многоугольника?

2. В правильном многоугольнике диагонали MN и KE пересекаются в точке F так, что MF=6 см, NF=8см, KE=16см. Найти KFи EF.

III. Изучение нового материала Вывод формул для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности можно организовать в два этапа. а) Решение частной задачи (самостоятельно с последующим обсуждением решения). б) Вывод формул в процессе решения задач на доказательство (один из учеников решает у доски, остальные в тетрадях).

Задача. В правильный шестиугольник вписана окружность радиуса 8 см. Найдите: а) сторону шестиугольника; б) площадь шестиугольника; в) радиус описанной около него окружности. При необходимости можно использовать следующие подсказки и наводящие вопросы: - Разбейте ABCDEF на треугольники с общей вершиной O. - Чем является радиус OH вписанной в треугольник AOB окружности? - Чему равен угол AOB? - Вычислите градусную меру угла AOH. - Перечислите все известные элементы треугольника AOH. Как найти его неизвестные элементы? - Что можно сказать о площадях треугольников AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA?

IV. Закрепление изученного материала 1. Работа в рабочих тетрадях: решить задачу № 65. (Ответ: =8 см; R =8 см; P =48 см; S =96 см.) 2. Разобрать задачу № 1089 учебника. - Квадрат вписан в окружность. Что нужно знать для определения стороны квадрата? (Для определения стороны квадрата нужно знать радиус описанной около него окружности.) - Как по известному периметру треугольника можно вычислить радиус описанной около него окружности? (Найдем сторону треугольника, а затем используем формулу R=2asin .) Далее учащиеся самостоятельно записывают решение задачи: a= P : 3 = 18: 3 = 6 (см) R=2asin = 2*6*= 6(см) a= = = = 3(см) Ответ : a= 3 см. 3. Решить самостоятельно задачи. I уровень - № 66 из рабочей тетради, № 1087 (1, 2), 1088 (1, 3). II уровень - № 66 из рабочей тетради, № 1090, № 1091. Учащимся, успешно справившимся с решением предложенных задач, можно порекомендовать решить дополнительные задачи.

Дополнительная задача. Центры двух окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды, которая в одной из окружностей является стороной вписанного правильного четырехугольника, а в другой - стороной вписанного правильного треугольника. Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если длина указанной хорды равна 8 см. Решение: Хорда CD является одновременно стороной правильного четырехугольника и правильного треугольника, вписанных в окружности с центрами O и O соответственно. OK и OK - радиусы окружностей, вписанных в данные четырехугольник и треугольник.

, где R и R- радиусы окружностей, описанных около данных четырехугольника и треугольника, то есть

(см),

(см),

Тогда (см),

(см).

(см).

Ответ: см.

V. Подведение итогов урока

Домашние задание

П. 108; вопросы 5-7.

Решить задачи № 67, 68 из рабочей тетради; задачи № 1087 (3, 5), 1088 (2, 5), 1093 из учебника.