Исследовательская работа Сравнение треугольников в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Гимназия №2» г .Брянск

Методическое объединение математики ,физики и информатики

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Сравнение треугольников в геометрии Евклида и геометрии Лобачевского

Выполнила:

ученица 7 «Б» класса

МБОУ «Гимназия № 2»

Иваницкая Алина

Руководитель работы:

Новикова Т.Н.

Г. Брянск - 2016 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………………3

1.История исследований треугольника как фигуры и как понятия

1. Понятие «Геометрия» как науки и понятие «Треугольник» как геометрической фигуры……............................................................................... 4

2. Треугольники в древнем и современном мире……………………………..4

2.Основные сведения об особенностях геометрии Евклида

2.1.Особенности в геометрии Евклида………………………………………...7

2.2.Понятие треугольник в Евклидовой геометрии…………………………....8

3.Основные сведения об особенностях геометрии Лобачевского

3.1.Основные отличия геометрии Лобачевского……………………………...9

3.2.Понятие треугольник в геометрии Лобачевского…………………………9

4.Проанализировать треугольник в геометрии Евклида и Лобачевского………..11

5.Заключение работы………………………………………………………………….14

ВВЕДЕНИЕ

Меня заинтересовала такая на первый взгляд простая фигура ,как треугольник. Я решила узнать о треугольниках, которые отличаются от тех, что мы изучаем в школьной программе, тем самым выйти за курс учебника и найти для себя и для сверстников информацию ,которая мало кому известна. Я считаю, что это очень важно так как это развивает мышление , смекалку, находчивость, понимание пространства вокруг. Исследовательская работа даёт понять, что есть в это мире очень много того ,что мне неизвестно .Именно поэтому актуальность данной работы очень важна для развития каждого человека.

Цель работы :проанализировать и сравнить «Треугольник» в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского

Этапы работы:

1. Изучение теоретической основы понятия «Треугольник» в природе, в науке и в практике.

2.Изучение особенностей геометрии Евклида и Лобачевского.

3.Сопоставление понятия «Треугольник» в геометрии Евклида и геометрии Лобачевского.

4.Изготовление наглядного электронного пособия по материалам исследовательской работы .

5.Практическое применение практических знаний на занятиях факультатива.

6.Оформление работы ,презентации на конференцию.

Задачи работы

1.История треугольника

2.Увидеть треугольники в окружающем мире.

3.Изучить и проанализировать особенности Евклидовой геометрии.

4.Изучить и проанализировать геометрию Лобачевского

5.Сравнить понятие геометрии , свойства, признаки , особенности треугольников в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского.

6.Сопоставить треугольники в Евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского(таблица)

7.Составить фрагмент заседания по материалам работы.

8. Подготовить электронное пособие для урока геометрии по материалам работы.

9.Сделать вывод

1.1.Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от geo - земля и metrein - измерять)- наука о пространстве, точнее - наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Важную роль играли и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений. За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем, но они не были еще систематизированы и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построение прямых углов и т.д. Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории.

Немного из истории…

Традиционно считается, что родоначальниками геометрии являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел , превратившие его в науку.

Геометрическая фигура, состоящая из трёх точек ,не лежащих на одной прямой и соединённых отрезками ,называется треугольником.

1.2.Изначально наше внимание привлекла самая обыкновенная геометрическая фигура-треугольник. Мы заметили , что треугольники окружают нас везде и повсюду. Например: дорожные знаки ,горы ,посуда ,здания в архитектуре ,игрушки ,украшения ,линейки и даже чайные пакетики.

Вы когда-нибудь замечали ,что штатив стоит также на трёх ножках ,а не на четырёх? А почему? Три точки образуют единую плоскость , поэтому и штатив будет стоять устойчивее. И кстати, если мысленно соединить эти три точки, то получится треугольник.

Во многих живописных работах можно встретить треугольники . Картина «Приход весны и лета» художник-Бурлюк

Треугольные крыши также встречаются на каждой улице.

«Египетский треугольник»

Название «египетский треугольник» появилось уже в 5 веке до н.э. Принадлежит оно прямоугольному треугольнику, стороны которого равны соответственно 3, 4 и 5.

Назван он был так потому, что очень широко применялся еще в Древнем Египте в различных сферах жизнедеятельности .Египетский треугольник уже тогда был знаком людям далеко за пределами Древнего Египта, но, видимо, его уникальные свойства заметили и начали использовать впервые именно там.

В Египетском треугольнике в пространстве достаточно сложно отложить прямой угол, (как же это сделать, когда в природе редко встретишь прямые линии, а уж тем более прямые углы, не от чего отталкиваться, но египтяне изобрели интересный способ. Они брали веревку, отмеряли на ней узелками 12 частей, а потом складывали из нее треугольник, стороны которого равны 3 , 4 и 5 частям соответственно. В этом треугольнике прямой угол получался сам собой! А уже имея такой инструмент, они могли с большой точностью строить свои сооружения, например, пирамиды. А также использовать его для разметки земли под сельскохозяйственные работы.

Египетский треугольник тесно связан с Пифагором.

Возможно, изучение интересных особенностей египетского треугольника и подтолкнуло Пифагора на попытку обобщения зависимостей во всех других прямоугольных треугольниках. Что ему, как известно, удалось!

Кстати, оказывается, теорема Пифагора попала в Книгу Рекордов Гиннеса как теорема с самым большим количеством доказательств (их насчитывается около 500)

Главная мера длины - локоть. Прямоугольный треугольник был со сторонами 3 локтя,4 локтя и 5 локтей.

Треугольник-мистическая фигура .Он окутан множеством историй ,легенд и тайн. Берму́дский треуго́льник (англ. Bermuda Triangle) - район в Атлантическом океане, в котором происходят таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен треугольником, вершинами которого являются Флорида, Бермудские острова и Пуэрто-Рико. Поэтому смело можно сказать, что треугольник встречается и в географической сфере.

На уроках географии мы , узнавая всё больше и больше о горах, заметили, что они похожи на треугольники , но стороны этих «треугольников» искажённые . Мы наглядно сравнили их и поняли ,что это что - то новое для нас.

Треугольники в природе

Когда мы обсуждали проект, то глядя в окно мы заметили , что деревья имеют форму треугольников , но не совсем похожих на те , что мы изучали в школьном курсе. Мы решили разобраться именно с этими «странными» треугольниками.

Благодаря этой информации, мы показали , что треугольники можно встретить не только в учебниках, но и на дорогах , в городах ,в живописи ,в архитектуре и во многих других сферах .Нас заинтересовала эта фигура и мы решили узнать различие треугольников в пространстве и на плоскости. Выяснить в чём они похожи , и как люди пришли к другой геометрии ,к абсолютно другим треугольникам

2.1..Евклид-древнегреческий учёный ,живший около 300 г .до .н .э. В его тринадцати книгах «Начала» впервые было представлено аксиоматическое построение геометрии. На протяжении около двух тысячелетий этот труд остаётся основой систематического курса геометрии. Царь Птолемей спросил у Евклида ,нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии ,чем его «Начала». Евклид на это ответил : «В геометрии нет царского пути»

Имя Евклида навсегда связано с одним из ответвлений математики, получившим название «Евклидова геометрия». Столь прочная слава закрепилась за Евклидом заслуженно, благодаря его труду «Начала». В школах всего мира, долгие столетия геометрия преподавалась по «Началам» Евклида. В английских школах до сегодняшнего дня учебники геометрии по своей форме напоминают этот ученый трактат. В мировой литературе "Начала" принадлежат к числу самых популярных и распространенных математических трудов. Несмотря на столь огромную популярность Евклида как автора «Начал», сам он, его облик и жизненный путь известны очень мало. Нет исторически верных сведений о его жизни, неизвестны даже точные даты его рождения и смерти. Велики заслуги Евклида. О том, как высоко оценены его труды, свидетельствует факт, что "Начала" оставались фундаментальным математическим трудом на протяжении свыше 2000 лет.



Как известно, в III веке до нашей эры греческий геометр Евклид в своей книге "Начала" сформулировал систему аксиом, из которых последовательно, одна за другой, выводятся все основные теоремы геометрии. И никогда не получалось двух противоречащих друг другу теорем, доказательства которых равноправно вытекали бы из принятой системы аксиом. Это означает, что аксиоматика Евклида непротиворечива.



Аксиомы евклидовой геометрии являются продуктом повседневных человеческих наблюдений, кроме одной - аксиомы о параллельных, называемой также пятым постулатом.

Первым систематическим изложением геометрии, дошедшим до нашего времени, являются "Начала" - сочинения александрийского математика Евклида. В "Началах" был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы). Изложение геометрии Евклидом долгое время служило недосягаемым образцом точности, безукоризненности и строгости. Только в начале 20 века математики смогли улучшить логические основания геометрии.

Основные постулаты Евклида:

Из каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую;

Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо;

Из любого центра можно описать окружность любого радиуса;

Все прямые углы равны;



Через точку не лежащую на данной прямой можно провести прямую, параллельную данной и только одну.

2.2На базе этих постулатов шло успешное развитие геометрии, но в то время как другие постулаты считались совершенно очевидными, очевидность пятого постулата оспаривалась. Много веков усилия большого числа ученых были направлены на доказательство пятого постулата. Это объяснялось тем, что число аксиом стремились свести к минимуму. Ученые думали, что пятый постулат можно доказать как теорему, опираясь на остальные. Многие геометры пытались обойти его, заменяя пятый постулат другим, казавшимся более очевидным. На этом пути было сформулировано много положений, но все они были эквивалентны пятому постулату Евклида.



Например:

сумма углов треугольника равна 180°,

во всех треугольниках сумма углов одна и та же,

через любую точку внутри угла можно провести секущую, пересекающую обе стороны угла,

существуют два подобных, но не равных треугольника,

теорема Пифагора,

для всякого треугольника существует описанная окружность и др.

Особый интерес математиков всегда вызывала пятая аксиома о параллельных прямых. В отличие от остальных аксиом элементарной геометрии, аксиома параллельных не обладает свойством непосредственной очевидности. Поэтому на всем протяжении истории геометрии имели место попытки доказать аксиому параллельных, то есть вывести ее из остальных аксиом геометрии.

Именно геометрию Евклида мы изучаем до сих пор, но мы решили пойти дальше и узнали о «другой» геометрии ,которую открыл Н. И. Лобачевский.

3.1.Николай Иванович Лобачевский-русский математик, создатель неевклидовой геометрии ,деятель университетского образования и народного просвещения. Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии». Открытие Лобачевского ,не получившее признание современников ,совершило переворот в представление о природе пространства, в основе которой более 2 тысяч лет лежало учение Евклида , и оказало огромное влияние на развитие математического мышления .Труды по алгебре ,математическому анализу, теории вероятностей, механике ,физике и астрономии .

Деятельность Лобачевского вызывает изумление. Наряду с большой административной и педагогической работой он, не покладая рук, занимался и наукой. Лобачевскому было всего 34 года, когда он решил «многовековую» проблему V постулата из «Начал» Евклида и построил свою, неевклидову геометрию.



Имя Лобачевского известно всему миру. Он вошёл в историю математики как революционер в науке и «Коперник геометрии». Николай Лобачевский решил проблему, над которой человечество бесплодно билось более двух тысяч лет. Анализируя попытки доказать V постулат, Лобачевский сделал чрезвычайно смелый вывод о его недоказуемости. Раз V постулат недоказуем как теорема, то принципиально возможна другая геометрия, отличная от евклидовой,- неевклидова геометрия, отправной точкой которой является отрицание V постулата.



3.2.«Геометрия Лобачевского», как её теперь называют, является крупнейшим завоеванием науки и составляет целую эпоху в развитии математики и смежных ей наук.



Лобачевский, получив в геометрии необычные результаты, натолкнулся на косность и рутину. Ученого высмеяли как человека, сумасбродного в науке, который написал сатиру на геометрию, пытаясь доказать, что белое - это чёрное, круглое - четырёхугольное, что сумма всех углов в прямолинейном треугольнике меньше двух прямых и ряд других нелепостей .Приходится удивляться мужеству Лобачевского, который без моральной поддержки со стороны, окружённый непроницаемой стеной равнодушия, не пал духом и пронес свои убеждения через всю многотрудную жизнь.

Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики вообще. Открытие неевклидовой геометрии произвело переворот не только в геометрии .

Лобачевский остался верен науке даже тогда, когда на него обрушилось сразу несколько невзгод (смерть старшего сына, ухудшение материального положения, насильственное

отстранение от университета). За год до смерти, будучи совершенно слепым, Лобачевский диктует своим ученикам новое сочинение, названное им «Пангеометрией», где показывает, что евклидова геометрия есть частный случай неевклидовой геометрии. Эту последнюю свою работу он с любовью посвящает Казанскому университету, где прошла вся его творческая жизнь Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики вообще. Открытие неевклидовой геометрии произвело переворот не только в геометрии и даже не только в математике, но можно сказать, в развитии человеческого мышления вообще.

24 февраля 1856 года Лобачевского не стало. Какого-нибудь десятка лет не дожил он до всеобщего признания своих людей.



Развитию и распространению идей Лобачевского содействовали своими трудами такие замечательные учёные, как: Герман Людвиг ,Карл Гаусс, Фердинанд Гельмгольц , Бернхард Риман, Анри Пуанкаре.

4.«Чем отличается геометрия Лобачевского

от геометрии Евклида?»

Евклидова аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Аксиома Лобачевского о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Вывод: геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме - пятой. Но главное различие кроется в понимании самой природы пространства.

Подобные треугольники

1 признак : Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

2 признак: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.

3 признак : Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

В геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников

Различие в признаках равенства треугольников

Геометрия Евклида

В Геометрии Евклида существует всего 3 признака равенства треугольников

В геометрии Лобачевского

В геометрии Лобачевского имеет место четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Сумма углов треугольника

Геометрия Евклида

Как, например, в геометрии Евклида доказывается, что сумма углов треугольника равна 180°? Классическое доказательство приведено на рисунке. Используется свойство углов при накрест лежащих прямых, и выходит, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 °

Геометрия Лобачевского

Так как в геометрии Лобачевского параллельность сохраняется только в одном направлении, то для нахождения суммы углов треугольника нужно провести две прямые, параллельные данной, в разные стороны. Понятно, что теперь сумма углов треугольника меньше 180. Эта разница была названа Лобачевским дефектом треугольника.

Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника - классическая теорема евклидовой геометрии. Утверждает, что сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180°.

Определим криволинейный треугольник как фигуру, состоящую из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех друг окружностей, соединяющих эти точки. Например, правильный криволинейный треугольник можно получить следующим способом. Из каждой вершины правильного треугольника проведем окружность, радиус которой равен его стороне, и наименьшей из двух возможных дуг этой окружности соединим соседние вершины. Дело в том ,что рассматривая сумму углов треугольника мы узнали удивительные факты:

На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180°

В плоскости Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°

Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского

1)Геометрия на плоскости

2)Существуют признаки подобных треугольников

3) 3 признака равенства треугольников

4)Сумма углов треугольника всегда равна 180°

Геометрия Лобачевского

1)Геометрия в пространстве

2)Подобных треугольников не существует

3)4 признака равенства треугольников

4)Сумма углов треугольника меньше 180°, а на сфере больше180°

5.Вывод работы

1.Геометрия Евклида работает на маленькой поверхности, а геометрия Лобачевского на развернутой плоскости с учетом кривизны поверхности.



2. Треугольники геометрии Евклида мы встречаем в учебниках , в науках , а треугольники Лобачевского мы можем увидеть в окружающем мире.



3.Геометрия Лобачевского (в том числе и 5-ый постулат) совершенно верна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло).



4.Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.

Заключение исследовательской работы

Данная исследовательская работы меня заинтересовала . В ходе работы, я узнала исторические сведения о математике и учёных, развивавших математику, посмотрела на треугольники, как в повседневной жизни , так и с научной точки зрения, освоила новые программы в компьютере .Не стоит забывать, что в работе важно всё: от выбора шрифта и фона в презентации до составления плана работы, поиска информации. Скорее всего, в следующем году я также проведу исследовательскую работу или составлю проект ,ведь очень важно каждому человеку развивать себя, узнавать новую информацию, новые удивительные факты.

Список использованных источников:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Евклид

https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_Лобачевского

https://ru.wikipedia.org/wiki/Лобачевский,_Николай_Иванович

pandia.ru/text/79/014/74072.php

xreferat.com/54/1282-1-evklid-i-lobachevskiiy.html

schools.keldysh.ru/sch1215/data/t_geom3.html

to-name.ru/biography/nikolaj-lobachevskij.htm

sto-geniev.narod.ru/uchenye/lobachevskiy.html

https://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольник

www.chitalnya.ru/work/198440/

dic.academic.ru/dic.nsf/bse/104199/Лобачевского

www.bestreferat.ru/referat-207255.html

pandia.ru/text/79/014/74072.php</</p>