- Учителю
- Урок геометрии Площадь трапеции
Урок геометрии Площадь трапеции
Урок геометрии 8 класс
Тема. Площадь трапеции.
Цели урока:
I.Образовательные цели урока:
1.Вывести формулу площади трапеции;
2.Закрепить навыки её использования с помощью задач;
II .Развивающие цели урока :
3.Развитие у детей умения обобщать, логически мыслить, применять в своих рассуждениях аналогию, наблюдение ,рационально применять свои знания;
III.Воспитательные цели урока:
4.Воспитание интереса к математике с помощью элементов занимательности ,
знакомства с историей возникновения понятия «площадь».
Девиз:
«О, геометрия, ты вечна!
Гордись, прекрасная собой!
Твое величье бесконечно!»
Цитата:
«От «Начал» Евклида шли все замыслы совершенного обоснования
геометрии».
Оборудование:
Портрет Евклида, сообщения учащихся, тесты, карточки с заданиями,
рабочие тетради по геометрии, дидактические материалы,
интерактивная доска, слайды.
Ход урока:
Орг момент.
Актуализация знаний М N
- Что такое МN?
- Назовите формулу для вычисления площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника.
Выяснение и формулировка темы урока.
-Назовите лишнюю фигуру. (треугольник, т.к. три угла, а у остальных четыре, квадрат, т.к. все стороны равны, трапеция, т.к. не умеем находить её площадь)
- Как вы считаете, что мы узнаем на нашем урок, как звучит его тема ? (Площадь трапеции)
Поиск новых знаний
На примере прямоугольной трапеции
- На какие фигуры можно расчленить нашу трапецию? (Два треугольника или треугольник и прямоугольник). Давайте рассмотрим второй случай.
- Значит, площадь трапеции будет состоять из площади квадрата и площади треугольника.
а
h
в
Вывод формулы.
S=а х h+1/2(в-а) х h=h(а+1/2в-1/2а)= 1/2h(2а+в-а)= 1/2h(а+в)
Вывод : Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.
-А что такое (а+в)/2? (средняя линия трапеции).
- Значит площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.
Первичное закрепление.
Работа с учебником.
Чтение теоремы о площади трапеции.
Вы познакомились с другим способом вывода площади трапеции, но результат получается одинаковый.
Применение новых знаний на практике.
-
№ 42; 43, 44 из ТПО,
-
482 из учебника.
Проведём высоту СМ. Т.к. трапеция равнобедренная, то АН=МД=1,4 см.
Четырёхугольник ВСМН -прямоугольник, значит ВС=НМ=3,4-1,4 см.
Треугольник СМД- прямоугольный с углом МСД=45°, значит по свойству равнобедренного треугольника МД=СМ=1,4см.
Найдём площадь трапеции S=(АД+ВС)/2хВА=(1,4+3,4+2)/2х1,4=4,76 см²
Решение задачи №519
Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна h, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Дано:
Решение:
Способ 2:
Площадь трап. = полусумме оснований на высоту.
Полусумма оснований - это по половинке от каждого основания
сложить, так? Т. е если по чертежу то это нужно определить DM+AN
(или MC+NB)
А высота h =MO+ON
Т. к. диагонали перпендикулярны, то треуг. DOC и треуг. AOB -
равнобедренные с прямым углом в вершине. Верно?
А высота h делит каждый из этих треугольников ещё на два подобных -
тоже РАВНОБЕДРЕННЫХ и прямоугольных только с вершинами в точке М
для треуг. DOC и с вершинами в точке N для треуг. AOB
Потому что угол при вершине был прямой (=90) и высотой делится
пополам. Т. о. получается угол в 45 градусов, угол при вершине М
для треуг. , скажем DMO тоже=90 и на оставшийся угол остаётся опять
45 град. Получаем треугольник с РАВНЫМИ УГЛАМИ при гипотенузе, т.
е. РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК.
Откуда следует, что DM=MO
Аналогично можно доказать, что треуг. ANO тоже равнобедренный и,
следовательно, ON=AN
Тогда полусумма оснований (DM+AN) оказывается равной MO+ON, а это и
есть h - длинна высоты.
Т. о. площадь такой трапеции = h*h
Следует из приложения
Рефлексия.
-Какое открытие мы смогли сделать на уроке?
- Чему равна площадь трапеции? (Площадь трапеции равна половине произведения её основания на высоту).
- Как можно сформулировать эту же формулу по-другому? (Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту).
Д/З П.53, стр. 126-127, № 481 и дополнительная задача
№ 481
Решение
Проведём высоту СН. Треугольник СНД прямоугольный с углом в 45°, значит он равнобедренный, т.е. СН=НД+6 см. Тогда АД=АН+НД=6+6=12 см.
Т.к. S=(АД+ВС)/2хВА=(6+6+6)/2х6=%; см²
Приложение.
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, при решении задачи будет полезен следующий теоретический материал.
1. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований.
Проведем через точку C прямую CF, параллельную BD, и продлим прямую AD до пересечения с CF.
Четырехугольник BCFD - параллелограмм ( BC∥DF как основания трапеции, BD∥CF по построению). Значит, CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC.
Треугольник ACF прямоугольный (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой). Поскольку в равнобедренной трапеции диагонали равны, а CF=BD, то CF=AC, то есть треугольник ACF - равнобедренный с основанием AF. Значит, его высота CN является также медианой. А так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то
что в общем виде можно записать как
где h - высота трапеции, a и b - ее основания.
2. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее высота равна средней линии.
Так как средняя линия трапеции m равна полусумме оснований, то
3. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты трапеции (или квадрату полусуммы оснований, или квадрату средней линии).
Так как площадь трапеции находится по формуле
а высота, полусумма оснований и средняя линия равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями равны между собой:
то
4. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то квадрат ее диагонали равен половине квадрата суммы оснований, а также удвоенному квадрату высоты и удвоенному квадрату средней линии.
Так как площадь выпуклого четырехугольника можно найти через его диагонали и угол между ними по формуле
sin 90º =1, и диагонали равнобедренной трапеции равны, то площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна
откуда
Дидактическая цель урока: включение школьников в поисковую деятельность на основе аналогии с помощью технологии проблемного обучения с применением мультимедиа.
Тип урока: изучение нового материала и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности.
Методы обучения: словесный, наглядный, проблемный, частично - поисковый.
Формы организации деятельности учащихся: фронтальная, групповая, индивидуальная, самостоятельная в режиме самоконтроля и взаимоконтроля.
Средства обучения: дидактический материал, учебник Атанасян Л.С. [и др.] Геометрия:
учебник для 7 - 9 кл. - М.: Просвещение, 2005.
Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, экран, раздаточный материал, чертежные принадлежности, мультимедийная презентация по теме.
Цели урока:
-
Обучающие:
-
повторить основные свойства площадей, формулы площадей параллелограмма, треугольника, свойства трапеции;
-
расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками;
-
доказать теорему о площади трапеции и показать её применение в процессе решения задач;
-
осуществить межпредметную связь геометрии с алгеброй;
-
Развивающие:
-
развитие навыков исследовательской деятельности;
-
развитие способности самостоятельно отыскивать способ доказательства теоремы;
-
развитие аргументированной математической речи;
-
Воспитательные:
-
воспитание интереса к предмету;
-
воспитание умения слушать, признать ошибку;
-
воспитание таких качеств личности, как инициатива, организованность, привычка к системному труду, самостоятельность.
Ход урока
-
Орг. момент - 1 мин
Цель: обеспечить нормальную внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически подготовить учащихся к общению и предстоящему занятию.
-
Приветствие
Здравствуйте, ребята. Садитесь. Меня зовут Моргунова Юлия Александровна. Сегодня у нас на уроке присутствуют гости, которые пришли посмотреть, как мы работаем. Не волнуйтесь, работаем в обычном режиме.
2. Целеполагания и мотивация - 2 мин
Цель: поднять мотивацию учащихся к участию в процессе познавательной деятельности, организация активной самостоятельной работы каждого ученика при решении задач.
Знакомство с планом урока, постановка проблемы и целей урока.
-
Дата (Запишите в рабочих тетрадях число: 27.11.12, классная работа)
-
тема урока. Сегодня мы проводим урок из раздела геометрии по теме «Площадь трапеции». А.С. Пушкин говорил «Вдохновение нужно в геометрии, не меньше, чем в поэзии». А лейтмотив этого урока - слова американского математика Джорджа Пойа «Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому». Они раскрывают цель урока: мы должны будем открыть формулу площади трапеции и научиться её применять при решении задач.
3. Актуализация опорных знаний - 8 мин
Цель: поднять мотивацию учащихся к участию в процессе познавательной деятельности, проверить правильность, полноту, осознанность ранее полученных знаний, мобилизовать силы учащихся.
-
Фронтальный опрос. Чтобы урок прошел успешно, чтобы открыть формулу площади трапеции, мы должны повторить основные понятия, определения темы «Площади».
-
Что такое площадь многоугольника? (Величина той части плоскости, которую занимает многоугольник)
-
Площади каких многоугольников мы уже можем находить? Чему равна площадь прямоугольника, квадрата, треугольника, параллелограмма? (Демонстрируются на слайдах четырехугольники, формулы записываются учащимися на доске).
-
a a
b a b ha c a hb a
a b b
-
Как называется четырехугольник, который вы видите на экране? (трапеция)
А В
С D
-
Дайте определение трапеции. (четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны)
-
Как называются стороны трапеции? АВ, СD - основания, АС, ВD - боковые стороны
-
Изучение нового материала - 15 мин
Цель: открыть формулу площади трапеции, способ её доказательства. Работая в паре, способствовать формированию у учащихся умений и навыков при работе в команде.
-
У вас на парте лежат два треугольника, сложите из них трапецию. У вас должно получиться следующее:
-
С помощью какого свойства площадей мы можем найти площадь данной трапеции? (Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников)
-
Чему равна площадь получившейся трапеции по свойству?
S трапеции=S треугольника +S треугольника
-
Площадь каждой изученной фигуры выражается через сторону и высоту к ней. Условимся называть высотой трапеции - перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. (Учащиеся записывают определение в конспект)
-
Сделайте чертеж в тетради.
-
Запишем дано
А В
Дано: АВСD - трапеция,
АВ, СD - основания, АН - высота
АВ = b, СD = a, АН = h, SАВСD = S.
С Н D Найти: S
Решение:
-
Чему равна площадь получившейся трапеции по свойству?
S трапеции=S треугольника +S треугольника
-
, ,
-
Сформулируйте вывод: обсуждаются варианты словесных формулировок формулы для нахождения площади трапеции. Выбирается наилучший вариант.
-
Сравните полученную формулу и формулировку с предложенными в учебнике (стр.127). Каждый ученик записывает в тетрадь формулу площади трапеции и формулировку.
Можно выразить площадь трапеции разными способами:
Например, достроим трапецию до параллелограмма, тогда площадь трапеции можно найти…?
S трапеции=S параллелограмма - Sтреугольника
-
Первичное закрепление изученного - 10 мин
Цель: закрепить приобретённые знания.
У каждого на столе лежит тест на закрепление изученного. Ответы запишите в таблицу в конце теста. Время на его выполнение - 7 мин.
Каждый учащийся получает и выполняет предложенный тест (см. приложение) с последующей самопроверкой с помощью мультимедийного проектора.
-
Площадь какой фигуры можно найти по формуле
Ответ: А.
А Б В Г
2. По какой из формул можно найти площадь фигуры?
М В А. S=ВД·СК
С Д К Б. S=ВД·МВ Ответ: В. S=ВД
В. S=ВД
Г. S=(СД+МВ) ·ВД
3. Найдите площадь трапеции.
25см А. 30 см²
10см Б. 230 см² Ответ: В. 280 см²
В. 280 см²
Г. 560 см²
31см
4. Установите соответствие между фигурой и ее площадью.
6 2 10 2
8 8 10 9 5 8 6
10 8 6 10
1 2 3 4
А. 40 Б. 42 В. 48 Г. 64 Ответ: 1-г; 2-а; 3-б; 4-в.
5. Найдите площадь трапеции АВСД?
А 8 В
5
11 45º
С Х Д
Решение:
A.1)
. Значит BX=XD=5.
2) CD=CX+XD; CD=11+5=16
3)
Поменяйтесь с соседом по парте своими листами. Проверьте результаты теста. Если ответ неправильный, то зачеркните его. Но не исправляйте!
Номер задания
1
2
3
4
5
Ответ
А
В
В
1Г,2А,3Б,4В
60
-
Итог урока - 2 мин
Цель: подвести итог урока, оценить работу учащихся, создать условия для самооценки учебной деятельности, закрепить положительные эмоции от открытия нового.
Фронтальная беседа:
-
Что мы открыли сегодня на уроке?
-
Длины каких отрезков в трапеции мы должны знать, чтобы по формуле найти ее площадь?
-
Дайте словесное описание формулы нахождения площади трапеции.
-
Запишите формулу для нахождения площади трапеции.
-
Какой приём использовали для доказательства?
-
Домашнее задание - 1 мин
Цель: сообщить учащимся о дом, задании и разъяснить методику его выполнения.
-
П.53, № 480 (а, б)
-
Желающим предлагается найти свои способы доказательства теоремы о площади трапеции.
Тест
-
Площадь какой фигуры можно найти по формуле
А Б В Г
-
По какой из формул можно найти площадь фигуры?
М В А. S=ВД·СК
С Д К Б. S=ВД·МВ
В. S=ВД
Г. S=(СД+МВ) ·ВД
-
Найдите площадь трапеции.
25см А. 30 см²
10см Б. 230 см²
В. 280 см²
Г. 560 см²
31см
-
Установите соответствие между фигурой и ее площадью.
6 2 10 2
8 8 10 9 5 8 6
10 8 6 10
1 2 3 4
А. 40 Б. 42 В. 48 Г. 64
5. Найдите площадь трапеции АВСД?
А 8 В
5
11 45º
С Х Д
Номер задания
1
2
3
4
5
Ответ