Формулы сокращенного умножения

"Уважение к минувшему - вот черта, отличающая образованность от дикости".

А.С. Пушкин

Цели урока:

1. Образовательная - закрепить знания учащихся о формулах сокращенного умножения,

2. сформировать умения применять их в простых случаях и в заданиях повышенной сложности.

3. Развивающая - развить умения сравнивать, выявлять закономерности, обобщать,

4. на историческом материале показать учащимся зависимость между математикой и

5. общекультурными устремлениями человечества.

6. Воспитательная - воспитать ответственное, творческое отношение у учебному труду.

Оборудование:

Компьютер с проектным аппаратом и экраном, карточки.

Используемая литература.

1. Алгебра. Учебник для 7 класса под редакцией Теляковского. М., "Просвещение", 1991.

2. Н.П. Кострикина. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 класс. М., "Просвещение", 1991.

3. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. М., "Просвещение", 1989.

ХОД УРОКА

1. Актуализация знаний

Дописать формулы ( правильные ответы показать, самопроверка)

(а ± b)² = a² ±2ab +b²

a² - b² = (a - b)(a + b)

(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

a³ ± b³ =(a ± b)( a² ± ab + b²)

(a +b +c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

3. Работа на листах с печатной основой (один из учащихся комментирует решение,

другие записывают решение примера в тетради):

Заполните пропущенные места:

1) a⁴ -8 a² +16 = ( ____)^__

2) - 12ab -3 a² - 12 b² =__•(_____)=___•(____)^___

3) 25a⁶ + ____+ 9 b² = (5 a³ +3b)²

4) 16 - 8 a² b² + _____= (4 - a² b²)²

5) (2a - ___)³ = 8 a³ - 12 a²b + 6a b² - b³

6) (3b + 2a)³ = 27 b³ + _____+_____+ 8 a³

7) 125 + ____+ 15a² +_____= (5 +a)³

8) (3m - ___)· (____+3m) = 9m²- 4n²

9) (a² +____)· (____- b³) = a⁴ - b⁶

10) _____- 0,09b⁴ = (1,2 a² - 0,3 b²)( 1,2 a² + 0,3 b²)

4. Письменная проверочная работа:

Вариант 1

Вариант 2

1) 2x² - 4x +2 =__•(_____)=___•(____)^___

1) -5a² -10ab -5 b² =__•(_____)=___•(____)^___

2) -3x² +12x - 12 =__•(_____)=___•(____)^___

2) -a² +10ab - 25b²=__•(_____)=___•(____)^___

3) (2a +___)(2a - ___) = 4a² - b²

3) ( ___ - 3x)( ___+ 3x)= 16y² - 9x²

4) (5x + ___)(5x - ___) = 25x² - 0,16y⁴

4) 100m⁴ - 4n⁶= (10m² - ___)(___ + 10m²)

Проверка результатов письменной работы).

Ответ.

Вариант 1

Вариант 2

1) 2x² - 4x +2= 2•(x²-2x+1)=2•(x-1)²

1) -5a² -10ab -5 b² =-5•(a²+2ab+b²)=-5•(a+b)²

2) -3x² +12x - 12 =-3•(x²-4x+4)=-3•(x-2)²

2) -a² +10ab - 25b²=-(a²-10ab+25b²)=-(a-5b)²

3) (2a +b)(2a - b) = 4a² - b²

3) ( 4y - 3x)( 4y+ 3x)= 16y² - 9x²

4) (5x + 0,4y²)(5x - 0,4y²) = 25x² - 0,16y⁴

4) 100m⁴ - 4n⁶= (10m² - 2n³)(2n³ + 10m²)

6. Работа с видеоматериалами.

1 видеосюжет. Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около

4 тысяч лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Но в то время они

формулировались словесно или геометрически. У древних греков величины обозначались

не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не "а²", а "квадрат на

отрезке а", не "ab", а "прямоугольник, заключенный между отрезками a и b". Правило,

сформулированное во второй книге "Начал" Евклида в III веке до нашей эры, звучало так: "Если прямая

линия как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым

прямоугольником, заключенным между отрезками".

Запишите это правило формулой и докажите ее, исходя из геометрических соображений (рис.1).

Ответ. Если прямая линия (имеется в виду отрезок) рассечена на 2 отрезка а и b, то квадрат на всей прямой,

т.е. (а + b)² равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между

отрезками а и b, т.е. равен а² + b² + 2ab.

Значит, (а + b)² = a² +2ab +b²

Действительно, площадь квадрата со стороной (а + b) равна сумме площадей квадрата со стороной а, квадрата

со стороной b и 2^х прямоугольников с длиной а и шириной b.

2 видеосюжет. Много полезного узнали греческие ученые у вавилонян. Но история математики сложилась

так, что эти открытия стали потом приписывать грекам. Например, одно из самых замечательных утверждений

во всей геометрии до сих пор называют именем греческого математика - теоремой Пифагора. Оно

формулировалось так: "Для любого прямоугольного треугольника площадь квадрата, построенного на

гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах" (рис.2). Многое из Вавилона ушло

потом в другие восточные страны, в том числе в Индию. И в одной из древних индийских рукописей сохранился

чертеж, взглянув на который можно убедиться в справедливости теоремы Пифагора. Докажите, что квадрат

гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е. с² = а² + b², используя данный рисунок и формулу

сокращенного умножения.

Ответ. Действительно, по рисунку видно, что (а + b)² = с² + 4S

a² +2ab +b² = с² + 4

a² +2ab +b² = с² + 2ab

с² = а² + b² (рис.3)

Почему это утверждение очень важно? Потому что с его помощью можно вычислить длины наклонных.

Чтобы найти расстояние от вершины шеста до конца его тени, не надо натягивать веревку. Достаточно

измерить длину шеста и длину тени. Если взять веревку длиной в 12 локтей и завязать на ней узлы,

разбивающие ее на 12 равных частей, то с помощью такой веревки можно построить прямой угол, натянув

ее на 3 колышка. Считают, что так строили прямые углы египтяне, а треугольник со сторонами 3, 4, 5

называют египетский (рис.4).

Ну, а что Пифагор? Неужели его слава незаслуженна? Наверно, это не так. Скорее всего, ему первому

удалось доказать эту теорему, опираясь не на рисунок, а на рассуждения.

7. Решение заданий повышенной сложности.

1) Представьте выражение 24xy в виде разности квадратов двух многочленов.

Решение. 24xy = 12xy + 12 xy = 2x·6y + 2x·6y = (x +6y)² - (x - 6y)²

или 24xy = 2•6x•y + 2•6x•y = (6x + y)² - (6x - y)²

или 24xy = 2•xy•6 + 2•xy•6 = (xy + 6)² - (xy - 6)²

2) Представьте выражение 2а(а² + 3b²) в виде суммы кубов двух многочленов.

Решение. 2а(а² + 3b²) = 2a³ + 6ab² = a³ + 3ab² + a³ + 3ab² = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a + b)³ + (a - b)³;

3) Представьте выражение 2b(3a² + b²) в виде разности кубов двух многочленов.

Решение. 2b(3a² + b²)= 6a²b + 2b³ = b³ + 3a²b + b³ + 3a²b = b³ + 3a²b + 3ab² + a³ - (a³ + 3ab² - 3a²b - b³) = (a + b)³ - (a - b)³.

7. Подведение итогов урока.

8. Выставление оценок

РАБОЧИЙ ЛИСТ

1. Дописать формулы

(а ± b)² =

(a - b)(a + b)=

(a ± b)³ =

a³ ± b³ =

2. Заполните пропущенные места:

1) a⁴ -8 a² +16 = ( ____)^__

2) - 12ab -3 a² - 12 b² =__•(_____)=___•(____)^___

3) 25a⁶ + ____+ 9 b² = (5 a³ +3b)²

4) 16 - 8 a² b² + _____= (4 - a² b²)²

5) (2a - ___)³ = 8 a³ - 12 a²b + 6a b² - b³

6) (3b + 2a)³ = 27 b³ + _____+_____+ 8 a³

7) 125 + ____+ 15a² +_____= (5 +a)³

8) (3m - ___)· (____+3m) = 9m²- 4n²

9) (a² +____)· (____- b³) = a⁴ - b⁶

10) _____- 0,09b⁴ = (1,2 a² - 0,3 b²)( 1,2 a² + 0,3 b²)

3. Проверочная работа:

Вариант 1

Вариант 2

1) 2x² - 4x +2 =__•(_____)=___•(____)^___

1) -5a² -10ab -5 b² =__•(_____)=___•(____)^___

2) -3x² +12x - 12 =__•(_____)=___•(____)^___

2) -a² +10ab - 25b²=__•(_____)=___•(____)^___

3) (2a +___)(2a - ___) = 4a² - b²

3) ( ___ - 3x)( ___+ 3x)= 16y² - 9x²

4) (5x + ___)(5x - ___) = 25x² - 0,16y⁴

4) 100m⁴ - 4n⁶= (10m² - ___)(___ + 10m²)

3. Решение заданий повышенной сложности.

1) Представьте выражение 24xy в виде разности квадратов двух многочленов.

2) Представьте выражение 2а(а² + 3b²) в виде суммы кубов двух многочленов.

3) Представьте выражение 2b(3a² + b²) в виде разности кубов двух многочленов