- Учителю
- Конспект урока по теме 'Логарифмическая функция'
Конспект урока по теме 'Логарифмическая функция'
КОНКУРС «Панорама методических идей»
Название конкурсной работы:
Конспект урока математики
«Логарифмическая функция»
Автор:Яшина Нина Михайловна,
учитель математики МБОУ «СОШ №1» г.Жиздры
Калужской области
2013
Область применения инновации: изучение математики на основе системно-деятельностного подхода методом групповой работы
Актуальность данной темы: Образование призвано обеспечить функциональную грамотность и социальную адаптацию обучающихся. Поэтому главной целью образования является развитие ребенка как компетентной личности путем включения его в различные виды ценностной человеческой деятельности: учеба, познание, коммуникация, личностное саморазвитие. Системно-деятельностный подход позволяет достигать успеха при достижении этой цели.
Конспект урока:
Цель:
Образовательная: доказать и вывести существование функции нового вида, познакомиться с ее названием, графиком, свойствами и определением;
Развивающая: развивать навык творческой работы в группах, умение дискутировать, прогнозировать, интерес к поиску, к решению проблемы;
Воспитательная: воспитывать интерес к математике, к сотрудничеству, к самоуважению.
Урок построен на работе в группах.
I Повторение.
Устно: Решите уравнение.
-
2х =4 ;
-
()х = ;
-
2х = 1
-
2х =
-
2х = 7
-
()х= 7
Учащиеся в группах обсуждают решение каждого уравнения, затем представитель каждой группы , по очереди рассказывает решение. Например:
1) 2х = 16, представим 16 в виде степени с основанием 2, получим 16 = 24. Имеем: 2х = 24 - равные степени с равными основаниями, отсюда получаем равенство показателей х = 4.
Вопрос: какое условие накладывается на основание?
Ответ: Основание - положительное и отличное от единицы.
2) ()х = ; рассуждают аналогично, ()х = ()4; х = 4;
3) 2х = 1, 2х = 20, х =0;
4) 2х = , 2х = 2-4, х =-4;
5) 2х = 7, х ?? Не целое число.
Вопрос: Оно должно ли существовать?
Ответ: Да, т.к. 2х > 0 всегда!
Вопрос: Как же можно решить уравнение?
Ответ: графическим способом.
Вопрос: Каким образом?
Ответ: Рассмотреть две функции, показательную у =2х и линейную у = 7.
Вопрос: Какая функция называется показательной?
Ответ: Функция вида у =aх, где а > 0, а1.
Решает желающий на доске.
Открывается проблема.
Вопрос: Как, с помощью каких операций найти значение корня уравнения
2х = 7? Это необходимо сегодня решить сегодня на уроке.
II Группы получают письменные задания по вариантам на плакатах.
Вариант 1.
Построить график функции у = 2х, дать определение этой функции, составить таблицу значений и выписать свойства.
Примерное выполнение работы учащимися в группе:
у = 2х - показательная функция, так как она имеет вид у = ах, где где а > 0, а1.
Х
-2
-1
0
1
2
3
у
1
2
4
8
График
при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.
x=0, y=20=1; Точка А.
x=1, y=21=2; Точка В.
x=2, y=22=4; Точка С.
x=3, y=23=8; Точка D.
x=-1, y=2-1=1/2=0,5; Точка K.
x=-2, y=2-2=1/4=0,25; Точка M.
x=-3, y=2-3=1/8=0,125; Точка N.
Cвойства:
-
Д(f) = (+);
-
нулей функции нет;
-
экстремумов функции нет;
-
функция возрастает на Д(f), т.к. а > 0;
-
функция не является ни четной , ни нечетной;
-
функция не периодическая;
-
у > 0 всегда, т.е. при хR;
-
Е (f) = (0; +).
Вариант 2.Построить график функции у = ()х, дать определение этой функции, составить таблицу значений и выписать свойства.
Примерное выполнение работы учащимися в группе:
у = ()х - показательная функция, так как она имеет вид у = ах, где где 0 < а < 1, а1.
Х
-2
-1
0
1
2
3
у
1
график функции y=(1/2)x. Найдем значения функции
при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.
x=0, y=(½)0=1; Точка A.
x=1, y=(½)1=½=0,5; Точка B.
x=2, y=(½)2=¼=0,25; Точка C.
x=3, y=(½)3=1/8=0,125; Точка D.
x=-1, y=(½)-1=21=2; Точка K.
x=-2, y=(½)-2=22=4; Точка M.
x=-3, y=(½)-3=23=8; Точка N.
Cвойства:
-
Д(f) = (+);
-
нулей функции нет;
-
экстремумов функции нет;
-
функция убывает на Д(f), т.к. 0 < а < 1;
-
функция не является ни четной , ни нечетной;
-
функция не периодическая;
-
у > 0 всегда, т.е. при хR;
-
Е (f) = (0; +).
Вопрос: Итак, в чем разница в свойствах?
Ответ: Если а > 0, то у = ах возрастающая на R;
Если 0 < а < 1, то у = ах убывающая на R;
Постановка проблемы
Вопрос: Вернемся к уравнению 2х = 7. Надо найти, при каком значении х показательная функция у = 2х принимает значение , равное 7.(Или ах = 7)
Может ли у = ах принимать значение 7?
Ответ: Да, может, т.к. Е (ах ) = R+, а 7 > 0.
Вопрос: Как же решить уравнение ах = 7, или 2х = 7?
Ответ: Надо выразить х , используя числа 2, 7 и математические операции.
Вопрос: возможно ли это?
Решение проблемы.
Вопрос: Имеет ли функция у = ах обратную?
Ответ: Да, имеет, поскольку функция у = ах монотонна на R.
Вопрос: Какими свойствами обладает график обратной функции?
Ответ: Он симметричен графику исходной функции относительно прямой у = х.
Вопрос: Постройте график обратной функции. Что можно сказать о графиках взаимно-обратных функций? Опишите свойства.
Ответ: (графики строятся в группах по вариантам, на тех же плакатах, в одной системе координат)
Д(f) = E( g), E(f) = D(g)
Вопрос: Итак, график функции имеется, значит должна существовать формула обратной функции, т.е. будем искать выражение х через у.
Каждая группа выводит формулу нахождения х для своего случая,
2х = у или ()х = у, выдвигая гипотезы. Они могут быть различны, например:
х = 2, х = , 2 = , х = у2 - 2.
Методом подстановки координат точки графика новой функции убеждаемся в неверности составленной формулы.
Поиск как бы заходит в «тупик».
Путем вопросов и общего совместного рассуждения, выстраивается гипотеза о существовании новой математической операции, нового действия.
Чтобы выразить х из формулы у = ах, т.е. получить показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить у
?
х = y х = y
Надо найти это значение х - «вспомогательное число», которое в переводе с
латинского означает логарифм.
Вопрос: Как будет называться функция?
Ответ: Логарифмическая.
Да!
logaОбозначение: х = y, т.е.: х = loga y.
Чтобы получить формулу для построения графика функции, поменяем х и у
местами, получаем: : у = logaх, а > 0, а1.
Работа с определением логарифмической функции.
Задание группам:
-
Сформулировать определение логарифмической функции(как обратной показательной).
-
Повторить ее основные свойства, используя свойства показательной функции и ее график.
Примерные ответы:
-
Функция вида у = logaх, где а > 0 и а1 называется логарифмической.
-
Свойства:
-
Д(f) = (0; +);
-
нуль функции - единственная точка х = 1;
-
экстремумов функции нет;
-
функция возрастает на (0; +) при а > 1,
убывает на (0; + ) при 0 < а < 1,
-
функция не является ни четной , ни нечетной;
-
функция не периодическая;
-
Е (f) = (-; +).
Вопрос: Итак, кто сообщит тему урока?
Ответ: Определение логарифмической функции.
Вопрос: Что нового еще узнали?
Ответ: Ее свойства и график.
График у = logaх называют логарифмической кривой, хотя нового названия можно было не придумывать. Ведь это та же экспонента, что служит графиком показательной функции, только по другому расположенная.
у = ех и у = lnx .(Рассмотреть графики).
Домашнее задание:
Построить графики функций и записать их свойства:
а) у = 3х и у = log3 x,
б) у = ()х и у = x.
П.38,свойства. Примеры 1-2.