- Учителю
- Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов».
Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов».
Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов».
Цели урока:
Образовательные:
1)выяснить зависимость корней квадратного уравнения ах2 + вх + с=0 от коэффициентов а, в, с.
2) Нахождение рациональных способов решения квадратных у уравнений
3) Использование рациональных способов при решении квадратных уравнений.
Развивающие:
1) Развитие навыка познавательного интереса
2) Развитие навыков исследовательской работы
2) Развитие навыков самостоятельной работы.
3) создать базу для продуктивного генерирования идей школьников.
4)развитие творческих способностей и осознанного усвоения и глубокого усвоения программы.
5) Развитие самоконтроля.
6) Развитие внимания.
Воспитательные:
1) Воспитание коммуникативности, умения слушать.
2) Воспитание умения осуществлять совместную деятельность.
Задачи урока:
-
Генерирование идей на основе разнообразных манипуляций с коэффициентами квадратных уравнений.
-
Поиск, конструирование объектов, соотнесение их друг с другом, с целью получения идей и фактов
-
Построение объектов с заданными свойствами, а свойство - это различная связь между коэффициентами.
-
Составление задач на основе этой идеи.
Тип урока: закрепление изученного материала.
Оборудование: доска, мультимедийный проектор, презентации к уроку.
План урока:
-
Нахождение математических особенностей коэффициентов квадратных уравнений.
-
Исследование математических особенностей коэффициентов квадратных уравнений.
-
Составление квадратных уравнений с учетом выделенных особенностей.
-
Перенос математических особенностей квадратных уравнений.
-
Актуализация знаний.
Практическое исследование:
Предлагается учащимся решить ряд квадратных уравнений, используя теорему обратную теореме Виета. После решения квадратных уравнений обратить внимание на коэффициенты уравнений и корни этих уравнений:
II. Организация учебно-познавательной деятельности.
Учащиеся объединяются в группы, дается задание для каждой группы.
1 группа.
-
х2 + х - 2 = 0, коэффициенты: 1 + 1 - 2 = 0, корни: х1 = 1, х2 = -2
-
х2 + 2х - 3 = 0, коэффициенты: 1 + 2 - 3 = 0, корни: х1 = 1, х2 = -3
-
х2 - 3 х + 2 = 0, коэффициенты: 1 - 3 +2 = 0, корни: х1 = 1, х2 = 2
-
14 х2 - 17 х + 3 = 0, коэффициенты: 14 - 17 + 3 = 0, корни: х1 = 1, х2 = 3/14
-
13х2 - 18 х + 5 = 0, коэффициенты: 13 - 18 + 5 = 0, корни: х1 = 1, х 2= 5/13
2 группа.
-
х2 - 2 х - 3 = 0, коэффициенты: 1 + (- 2) = 3 , корни: х1 = - 1, х2 = 3
-
2х2 + 3х + 1 = 0, коэффициенты: 2 + 1 = 3, корни: х1 = - 1, х2 = -1/2
-
5х2 - 4х - 9 = 0, коэффициенты: 5 + (- 9) = -4, корни: х1 = -1, х2 = 9/5
-
х2 - х - 2 = 0, коэффициенты: 1+ ( - 2) = -1, корни: х1 = -1, х2 = 2
-
14х2 + 3х - 11 = 0, коэффициенты: 14 +( - 11) = 3, корни: х1 = - 1,х2=11/14
После решений, учащиеся методом рассуждений приходят к следующим выводам:
III. Совместная деятельность учащихся.
Вывод №1.
Во всех предложенных уравнениях
первой группы коэффициенты а + в + с = 0 и один из корней равен 1, а другой c/a
Вывод №2.
Во всех предложенных уравнениях второй группы коэффициенты
а + с = в и один из корней равен - 1, а другой - c/a.
Учащиеся в ходе беседы выдвигают, свои гипотезы.
Формулирование гипотезы:
а) если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а + в + с = 0,
то х1 = 1, х2 = c/a
б) если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а + с = в,
то х1 = -1, х2 = - c/a
Предлагается доказать гипотезы, используя теорему обратную теореме Виета:
Доказательство гипотезы.
а) По условию а + в + с = 0, значит в = - (а + с).
Подставим значение «в» в уравнение ах2 + вх + с = 0,
получим: ах2 - (а + с)х + с = 0.
Почленно разделим на а≠0, получим:
х2 - (a+c)x/a + c/a =0,
х2 - (1+ c/a )х + c/a = 0.
По теореме обратной теореме Виета:
х1 + х2 = - b/a х1 х2 = c/a
значит х1=1, х2 = c/a
б) По условию в = а + с.
Подставим значение «в» в уравнение ах2 + вх + с = 0,
получим: ах2 + (а + с)х + с = 0.
Раскроем скобки: ах2 + ах + сх + с = 0.
Разложим левую часть на множители:
ах (х+1) + с (х + 1)=0,
(х + 1)(ах + с) =0,
х + 1 = 0 или ах + с = 0,
х1 = -1, х2 = - c/a.
Гипотезы доказаны, сделаются выводы:
Вывод:№1
Если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а + в + с = 0, то,
-
записать х1 = 1,
-
найти и записать х2 = c/a
Вывод:№2
Если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а - в + с = 0, то
-
записать х1 = -1,
-
найти и записать х2 = - c/a.
IV. Этап закрепления новых знаний.
Перенос математических особенностей простейших квадратных уравнений.
Установка учителя: Покажем, применение данных выводов при решении более сложных квадратных уравнений, не прибегая к способу замены переменной..
При решении квадратного уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Сначала надо посмотреть, нельзя ли записать его проще.
№1
(5х + 3)2 = 3(5х + 3) - 2,
(5х + 3)2 - 3(5х + 3) + 2=0.
Так как, а + в + с = о, то 5х + 3 = 1, 5х = -2, х = - 2/5 и 5х + 3 = 2, 5х = -1, х = - 1/5.
Ответ: - 2/5; - 1/5.
№2
(x2 - 2x)2 - 2(x2 - 2x) - 3 =0
Так как, а + с = в, то х1 = -1, х2 = 3
В первом случае, будет x2 - 2x = -1, x2 - 2x +1=0, х1 = 1, х2 = 1- два совпадающих корня
Во втором случае, будет x2 - 2x =3, x2 - 2x -3=0, х1 = -1, х2 = 3 .Ответ: -1; 1; 3.
Составление квадратных уравнений с учетом выделенных особенностей.
Установка учителя:
1) Составьте простейшие квадратные уравнения, если коэффициентами уравнения могут быть числа -5; 1; 4.
( х2 + 4х - 5 = 0, 4 х2 + х - 5 = 0, -5х2 + 4х + 1 = 0, -5 х2 + х +4 = 0)
2)Решите, составленные вами квадратные уравнения и установите связь между корнями .
а) х2 + 4х - 5 = 0, х1 = 1, х 2= -5
б)4 х2 + х - 5 = 0, х1 = 1, х 2= -5/4
в)-5х2 + 4х + 1 = 0, х1 = -1, х 2= -1/5
г) -5 х2 + х +4 = 0, х1 = -1, х 2= -4/5
(Учащиеся составляют уравнение по заданному условию и находят связь между корнями.) Делают вывод:
Если в квадратном уравнении поменять местами коэффициенты а и с, то значения корней в полученном уравнении будут взаимно обратными корням в исходном уравнении
V. Рефлексия.
Учитель:
На листе бумаги обведите свою ладошку. каждый палец - это какая то позиция, по которой необходимо высказать свое мнение. большой - для меня это важно и интересно … указательный - я получил конкретные рекомендации… средний - мне было трудно ( не понравилось)… безымянный - моя оценка психологической атмосферы… мизинец - для меня было недостаточно…
VI . Домашнее задание
№1 Решить уравнение
(1 - 3х)2 = 4 (1 - 3х) - 3,
№2 Составьте и решите простейшие квадратные уравнения, если коэффициентами уравнения могут быть числа -14; 3; 11.