Олимпиадные задания для 10 класса

Всероссийская олимпиада по математике.

Школьный этап 2015-2016 уч.года.

Олимпиадные задания за 10 класс.

1. При каком целом k неравенство

х²+2(4k-1)х+15k²-2k-7>0 верно при любом действительном х?

(7 б.)

2. Решите систему уравнений:

(x+y)(x+y+z)=72,

(y+z)(x+y+z)=120,

(x+z)(x+y+z)=96. (7 б.)

3. Решите в целых числах уравнение x²-3xy+2y²=7. (7 б.)

4. Решите уравнение |x-1|-|x-2|=1. (7 б.)

5.

(7 б.)

6.

(7 б.)

Ответы к олимпиадным заданиям по математике в 10 классе.

1. Ответ: при k=3.

Неравенство будет верно, если D<0. Найдя дискриминант и учитывая, что он должен быть отрицательным, получим неравенство k²-6k+8<0, которое будет иметь решения при 2<k<4, то есть при k=3.

2. Ответ: (2;4;6),(-2;-4;-6).

Сложив все три уравнения системы, получим уравнение (х+у+z)(2x+2y+2z)=288, из которого найдем х+у+z=12 или х+у+z=-12. Подставляя вместо х+у+z числа 12 и -12, получим в первом случае: x=2,y=4,z=6, а во втором: x=-2,y=-4,z=-6.

3. Ответ: (-5;-6), (5;6), (13;6), (-13;-6).

Разложим -3ху на два слагаемых -ху и -2ху. Тогда получим: х²-ху-2ху+2у²=7. Сгруппируем и вынесем за скобки (х-у) и получим: (х-у)(х-2у)=7. Учитывая, что 7=1·7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1), получим следующие четыре системы уравнений:

х-у=1, х-у=7, х-у=-1, х-у=-7,

х-2у=7, х-2у=1, х-2у=-7, х-2у=-1.

Решая данные системы, найдем решения уравнения: (-5;-6), (5;6), (13;6), (-13;-6).

4. Ответ: х2.

5. Ответ: см. рисунок

6.

Олимпиадные задания за 10 класс.

1. При каком целом k неравенство

х²+2(4k-1)х+15k²-2k-7>0 верно при любом действительном х? (7 б.)

2. Решите систему уравнений:

(x+y)(x+y+z)=72,

(y+z)(x+y+z)=120,

(x+z)(x+y+z)=96. (7 б.)

3. Решите в целых числах уравнение x²-3xy+2y²=7. (7 б.)

4. Решите уравнение |x-1|-|x-2|=1. (7 б.)

5.

(7 б.)

6.

(7 б.)

Олимпиадные задания за 10 класс.

1. При каком целом k неравенство

х²+2(4k-1)х+15k²-2k-7>0 верно при любом действительном х? (7 б.)

2. Решите систему уравнений:

(x+y)(x+y+z)=72,

(y+z)(x+y+z)=120,

(x+z)(x+y+z)=96. (7 б.)

3. Решите в целых числах уравнение x²-3xy+2y²=7. (7 б.)

4. Решите уравнение |x-1|-|x-2|=1. (7 б.)

5.

(7 б.)

6.

(7 б.)

Олимпиадные задания за 10 класс.

1. При каком целом k неравенство

х²+2(4k-1)х+15k²-2k-7>0 верно при любом действительном х? (7 б.)

2. Решите систему уравнений:

(x+y)(x+y+z)=72,

(y+z)(x+y+z)=120,

(x+z)(x+y+z)=96. (7 б.)

3. Решите в целых числах уравнение x²-3xy+2y²=7. (7 б.)

4. Решите уравнение |x-1|-|x-2|=1. (7 б.)

5.

(7 б.)

6.

(7 б.)