- Учителю
- Урок по теме'Арифметическая и геометрическая прогрессия'
Урок по теме'Арифметическая и геометрическая прогрессия'
Тема урока: Арифметическая и геометрическая прогрессии
.
Эпиграф к уроку: "Сравнение есть основа всякого понимания и всякого мышления, чтобы какой-нибудь предмет был понят ясно, отличайте его от самых сходных с ним предметов и находите сходство с самыми отдельными от него предметами, тогда только вы выясните себе все существенные признаки, а это значит - понять предмет". (К.Д. Ушинский)
Цели урока:
1. Образовательные - продолжить работу над определениями арифметической, геометрической прогрессий; формулами n-го члена, суммы n первых членов, суммы бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1; характеристическими свойствами, которым обладают члены прогрессий; выработать общие рекомендации по выполнению заданий, содержащих данные прогрессии.
2. Развивающие - продолжить дальнейшую работу по выработке умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.
3. Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.
Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний.
Форма проведения урока:
Индивидуальное выполнение учебных заданий; фронтальная проверка, коррекция и формулировка выводов, составляющих новый материал.
Оборудование Компьютер, мультимедийный проектор,веб-камера.
Структура урока:
1.Подготовительный этап ( мотивация изучения нового, выявление целей урока и ориентация учащихся в учебной деятельности на уроке).
2.Актуализация ЗУН
3.Отработка ЗУН по теме
4.Самостоятельная работа
5. Сравнение и решение задач практического направления
6.Применение свойств прогрессий к решению уравнений
7.Подведение итогов урока и домашнее задание.
Ход урока
I Подготовительный этап Тему сегодняшнего урока мы узнаем, отгадав кроссворд
1'. Как называется график квадратичной функции?
2.Математическое предложение, справедливость которого доказывается.
3.Упорядоченная пара чисел, задающая положение точки на плоскости.
4.Наука, возникшая в глубокой древности в Вавилоне и Египте, а учащиеся России начинают её изучать с 7 класса.
5.Линия на плоскости, задаваемая уравнением Y=кх+b
6.Числовой промежуток
7.Предложение, принимаемое без доказательства
8.Прямая, к которой неограниченно приближаются точки кривой при удалении в бесконечность
9.Название второй координаты на плоскости
10.Французский математик 19 века, «отец» алгебры, юрист, разгадал шифр, применяемый испанцами в войне с французами, а нам помог в быстром решении квадратных уравнений.
Итак, тема урока «Прогрессии». «Прогрессия" - латинское слово, означающее "движение вперед", было введено римским автором Боэцием (VI век) и понималось в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность
А почему во множественном числе, какие знаете прогрессии, дать определение.
Сегодня на уроке мы подведем итог по теме «Прогрессии», решая задачи, определить к какому виду прогрессии она относится, и какие свойства надо применить.
II.Актуализация знаний
1)Но прежде проверим знания по теме.
А) Заполнить таблицу (за отворотом доски, потом проверить)
Арифметическая
прогрессия ( )
Геометрическая
Прогрессия ( )
Определение
Формула n-го члена
Характеристическое свойство
Формула суммы n членов
Б) за компьютером двое решают задачи тестирующей программы из раздела «Дополнительные задания»
В) 2 ученика на месте выполняют тест
2) Остальные учащиеся устно выполняют задания: (задания проектируются на экран,электронный диск «Практикум»)
Каждой из предложенных последовательностей дать характеристику (задание на узнавание последовательности)
(an): an=5n арифмет.прогрессия.
(bn): bn=1; bn+1=5bn геометр.прогрессия.
(сn): с1=1; cn+1=cn -5 арифмет.прогрессия
(dn): 1;2;4;8;… геометр.прогрессия.
(xn): 1;4;9;16;… числовая последовательность
(yn): 1;-2;4;-8;… геометр.прогрессия.
(zn): zn=103n-1 геометрич.прогрессия
3)
Это ошибочное мнение. График прогрессии это множество точек плоскости на множестве натуральных чисел
Появление верных графиков.
4) 1.Дана геометрическая прогрессия (bn): b1 = 25, q = .Не решая задачи, выяснить:
Может ли среди членов этой прогрессии находиться число 50?
2.Дана арифметическая прогрессия: 1, 4, 7, 10, 13, ... .Не решая задачи, выяснить:
Может ли на сотом месте стоять число 297. Сделайте вывод.
-
Проверить ответ учащегося, заполнявшего таблицу доски, с помощью учащихся
-
Отметить результаты теста на месте и по тестирующей программе, в это время учащиеся класс записывают тему урока
III. Отработка ЗУН
1)Петя довольный пришел из школы и предложил папе
заключить сделку: в учебном году 34 недели; за 1 неделю Петя получит
1 копейку, за вторую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д.
Как вы думаете ,в каком классе учится Петя,и что нового он узнал в школе?
Петя в 9 классе, на уроке алгебры была тема «Сумма членов геометрической прогрессии» и на уроке рассматривалась задача :Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат, ученого Сету, и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два, за третью - еще в два раза больше и т.д. Сколько зерен должен получить изобретатель шахмат?"
2 64-1
18 446 744 073 709 551 615
Масса такого числа зерен больше триллиона тонн.
Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.
Петя должен получить 234-1 или 171798691,83руб
|V.Сравнение и решение задач практического направления
Задачи 1 и 2 обсудить, выяснив алгоритм решения и свойства прогрессий, которые надо применить:
Задача 1.При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?
Задача2
Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки. Сколько плиток понадобиться для 7 ряда
Что общего в решении этих задач и что их различает
Решение у доски
Задача 3. Отдыхающий, следуя совету врача, загорал первый день 5 мин., а в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 мин. В какой день недели время его пребывания на солнце будет равно 40 мин., если он начал загорать в среду.
Решение:
а1=5, d=5, аn=40 n=8. Т.е. на восьмой день, т.е. опять в среду
4.Защита домашних задач сильными учащимися у доски(решение подготовлено заранее)показ через веб.камеру.
Задача 510. (Задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича) Клиент взял в банке кредит в размере 50 000 рублей на 5 лет под 20% годовых. Какую сумму клиент должен вернуть банку в конце срока?
Задача 472 (Задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича) За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 у.е., а за каждое следующее кольцо платили на 2 у.е. меньше, чем за предыдущее. Кроме того в конце работы заплатили еще 40 у.е.. Сколько колец в колодце, если потом выяснили, что средняя стоимость одного кольца оказалась 22 у.е?
Решение:
а1=26 d= -2, аn=28-2n, Sn=27n-n2, , 9n2-41n-360=0, n=9 (nN)
Ответ: 9 колец
Задача 526. (Задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича)
Два приятеля положили в банк по 10 000 рублей каждый, причем первый положил деньги на вклад с ежеквартальным начислением 10%, а второй - с ежегодным начислением 45%. Через год приятели получили деньги вместе с причитающимися им процентами. Кто получил большую прибыль?
Решение: вклад изменяется в одно и тоже число т.е. геометрическая прогрессия
1 приятель 2 приятель
b1=10 000 b1=10 000
4 квартала, т.е. найти b5 в конце года, т.е. найти b2
q=1,1 q=1,45
b5=14 641 рубль, b2= 14 500
Ответ: первый больше.
VI. Применение свойств прогрессий к решению уравнений
Прочти задачу.
Вычислить: 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 256 + 512.
Расставь этапы решения задачи в правильном порядке:
1. найти номер последнего члена прогрессии;
2. найти знаменатель или разность прогрессии;
3. вычислить искомую сумму;
4. определить вид прогрессии.
1. определить вид прогрессии.
2. найти знаменатель или разность прогрессии;
3. найти номер последнего члена прогрессии;
4. вычислить искомую сумму;
S9=2*(29 - 1)=2*511=1022
Используя, полученный алгоритм подумайте над вопросом « Как решить уравнения?»
Решить уравнение
1) (x2 + x + 1) + (x2 + 2x + 3) + (x2 + 3x + 5) + . . . + (x2 + 20x + 39) = 4500
Каждое слагаемое отличается на (х+2), следовательно арифметическая прогрессия, где а1= x2 + x + 1
an= x2 + 20x + 39 , an= а1+(x+2)(n-1), n=20,
(x2 + x + 1+ x2 + 20x + 39)*20:2=4500
(2x2 +21 x + 40)10=4500,
2x2 +21 x + 40=450,
2x2 +21 x - 410 =0,
Ответ: 10; - 20,5 x=10, x=-20,5
Решить уравнение
2) + x + x2 + x3 + . . . = , x < 1.
+1+ x + x2 + x3 + . . . = 1+3,5 ,
Бесконечная убывающая прогрессия с q=x, q<1, тогда S=, т.е. =4,5 и т.д.
Ответ:,
vII.Подведение итогов и домашнее задание:
Домашнее задание:
Решить уравнение
1). (обсудить характеристическое свойство ариф.прогрессии)
2). 2x + 1 + x2 x3 + x4 x5 + . . . = , x < 1 (обсудить преобразование левой части и её вид)
3)№ 521, 522 (Задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича)
Х.Рефлексия.
Учитель: У каждого из вас на столе карточки (розовая, зелёная, жёлтая). Уходя из класса, прикрепите на доску одну из них. Карточка розового цвета обозначает: "Я удовлетворён уроком, урок был полезен для меня, я много, с пользой и хорошо работал на уроке, и получил заслуженную оценку, я понимал всё, о чём говорилось и что делалось на Карточка зеленого цвета обозначает: "Урок был интересен, я принимал в нём активное участие, урок был в определённой степени полезен для меня, я отвечал с места, я сумел выполнить ряд заданий, мне было на уроке достаточно комфортно".Карточка желтого цвета обозначает: "Пользы от урока я получил мало, я не очень понимал, о чём идёт речь, мне это не очень нужно, домашнее задание я не понял, к ответу на уроке я был не готов".