7


  • Учителю
  • Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Автор публикации:
Дата публикации:
Краткое описание:
предварительный просмотр материала

Факультативное занятие №1

Предмет Математика.

Класс 11

Цели урока:

  • Образовательные: отработать основные умения для решения логарифмических уравнений, неравенств; повторить основные свойства логарифмов.

  • Развивающая: развивать логическое мышление, память.

  • Воспитательная: повысить активность и самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний.

  3. Диагностическая работа.

  4. Домашнее задание.

Оборудование: доска, мел, раздаточный материал.2.Актуализация знаний

(5 минут)

Такая задача в ЕГЭ раньше имела номер С3, теперь - №15. Типовой пример (из демоверсии 2016) выглядит так:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Для начала напишем проверочную работу, которая включает в себя 6 заданий, запишите на листочке фамилию, имя и свой вариант. Итак, приступаем к выполнению контрольной работы.



3.Диагностическая работа (35 минут)

Входная контрольная работа

Вариант №1

1. Между какими последовательными целыми числами располагается число?



2. Найти значение выражения:



3. Сравнить величины:



4. Напишите О.Д.З (область допустимых значений) для уравнения: log32-3) = log3(2х)

5. Решить неравенство:



6. Какую вспомогательную переменную нужно ввести в ходе решения неравенства?





Контрольная работа

Вариант №2

1. Между какими последовательными целыми числами располагается число?



2. Найти значение выражения:



3. Сравнить величины:



4. Напишите О.Д.З (область допустимых значений) для уравнения: Log22-5) = log2(4х)

5. Решить неравенство:



6. Какую вспомогательную переменную нужно ввести в ходе решения неравенства?







Итак, ребята, время вышла, подписываем и сдаем листочки с контрольной работой.

Выполняют контрольную работу, сдают листочки.

4. Домашнее задание (5 минут)

Вычислить



Вычислить



Вычислить



Берут карточку с индивидуальным домашним заданием.



Факультативное занятие №2

Предмет Математика.

Класс 11.

Цели урока:

  • Образовательные: повторить основные свойства логарифмов; отработать основные умения для решения логарифмических уравнений, неравенств.

  • Развивающая: развивать логическое мышление, память.

  • Воспитательная: повысить активность и самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Проверка домашнего задания.

  3. Актуализация знаний.

  4. Закрепление изученного материала.

Оборудование: доска, мел, учебник, наглядные пособия.

Педагогическая технология: кооперативное обучение.2.Проверка выполнения домашнего задания

(2 минуты)

Подпишите и сдайте листочки с домашним примером.

Проверяют домашнее задание. Выставляют себе оценки.

3.Актуализация знаний

(20 минут)

Напомню, откуда появились

логарифмы. Например, решая уравнение 3х=9, сразу находим ответ х=2, потому что помним наизусть, что 32=9. Но если нам дадут уравнение 3х=11, ответ «не угадывается». Понимаем, что х должен быть чуть больше двух, но уже число - не целое. Тогда его записывают в виде: (логарифм по основанию 3 от числа 11). Он означает степень, в которую нужно возвести число 3, чтобы получилось число 11.

«Логарифмом положительного числа b по основанию a (a >0, a) называют число Логарифм положительного числа b по основанию a (a) обозначают так: ». Так же важно помнить, что есть положительное число для любого (положительного, отрицательного или нуля). Из этого можно сделать вывод, что логарифм отрицательного числа, а так же логарифм нуля не существует (не имеет смысла), Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы.

Пример:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

В качестве основания логарифма будем рассматривать только a >0. В общем виде запись имеет смысл, когда a и b >0.

Ребята, объясните, почему?

- какие основные свойства логарифмов вы помните?

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМА

(полагая везде числа а, b, с положительными, причем a≠1)

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Основное логарифмическое тождество

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Логарифм произведения - это сумма логарифмов

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Логарифм частного - это разность логарифмов

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Показатель степени основания логарифмаКонспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы, в частности если m = n, мы получаем формулу:Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы, например:Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Переход к новому основанию

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы, частности, если c = b, то Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы, и тогда:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы



Решают примеры у доски и самостоятельно.

Рассказывают правило.



4.Закрепление изученного материала

(15 минут)

А сейчас разберем с вами первый пример, из контрольной работы:

Пример. Установить, между какими последовательными целыми числами находится число .

Решение. Поскольку логарифмическая функция с основанием 7 монотонно возрастает, то <<; 2<<3.

Ответ: 2<<3

А сейчас разберем у доски примеры из контрольной работы:

Пример:

Пример:



Выполняют самостоятельную работу, сдают тетради.



Факультативное занятие №3

Предмет Математика.

Класс 11.

Цели урока:

  • Образовательные: вспомнить и отработать навыки сравнения логарифмов; вспомнить что такое О.Д.З; как найти О.Д.З. для логарифмического уравнения, неравенства.

  • Развивающая: развивать логическое мышление, память.

  • Воспитательная: повысить активность и самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний.

  3. Закрепление изученного материала.

  4. Домашнее задание.

Оборудование: доска, мел, раздаточный материал.3.Актуализация знаний

(10 минут)

Для начала давайте вспомним:

Что такое логарифм? (отвечают)

Повторим основные свойства: на листочках я вам раздала свойства логарифмов вам их необходимо расписать:

1) Переход к новому основанию c:



=

3)Переход к новому основанию b:

Подписываем и сдаем листочки. И продолжаем выполнение упражнений.

1 задание: Между какими последовательными целыми числами располагается число: ;. Это задание понятно как выполнять?

Вспоминают, что такое логарифм. Решают небольшую проверочную.

4.Закрепление изученного материала

(40 минут)

Хорошо, тогда переходим к номеру №3, здесь необходимо было сравнить величины.

1. и ( )

2. и ( > )

3. и ( > )

Решение: =

3 =

, значит .

Значит,.

Данным способом можно сравнивать не все логарифмы. Рассмотрим следующий пример. Основания разные, логарифмируемые числа разные. Так же, как и при сравнении иррациональных чисел, применяется метод «оценки» или сравнение с каким-нибудь «хорошим» числом.

Пример: Сравнить и

<0, а >0, значит, <.

Пример: сравнить

и >1

Значит:

Пример: Сравнить

Решение: и

, значит

, следовательно,

.

( Дать каждому домашнюю работу на сравнение).

Рассмотрим следующий пример№4 из контрольной работы.

Необходимо написать ОДЗ для логарифмического уравнения. Для начала вспомним, что такое ОДЗ? (Область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл).

Область допустимых значений логарифма (ОДЗ логарифма):

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

состоит из трёх условий:

1) Под знаком логарифма должно стоять положительное число:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

2-3) В основании логарифма должно стоять положительное число, отличное от единицы:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Все три условия должны быть выполнены одновременно.

Таким образом, чтобы найти ОДЗ логарифма

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

надо решить систему из трёх неравенств:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Если в основании логарифма стоит число:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

ОДЗ логарифма содержит всего одно условие:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Если под знаком логарифма стоит число, а в основании - выражение с переменной:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

то в область допустимых значений нужно записать два условия:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Примеры нахождения ОДЗ логарифма рассмотрим отдельно.

Пример 1. Решить уравнение Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Решение. Находим ОДЗ:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Решение системы:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Преобразуем уравнение к виду

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Получили уравнение I типа, которое решается по определению логарифма:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Откуда Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Из полученных значений корень Х = 4 не подходит по ОДЗ.

Получаем ответ: Х = 6.

Пример 2. Решить уравнение Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Решение. Записываем условия, определяющие ОДЗ:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Заданное уравнение относится к I типу. Получаем:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Снова используем определение логарифма:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы т. е. Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы откуда Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Полученные корни проверяем подстановкой в условия, определяющие ОДЗ уравнения. Убеждаемся, что корень Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы подходит, а корень Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы не подходит по ОДЗ.

Получаем ответ: Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Пример 3. Решить уравнение Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Решение. Записываем условия, определяющие ОДЗ:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Данное уравнение относится ко II типу, т. е. решается по свойству равенства логарифмов. Получаем:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы т. е. Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Раскладываем левую часть на множители:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы откуда получаем Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Подставляем найденные значения в ОДЗ, находим, что уравнение имеет только один корень Х = 3.

В ответе имеем: Х = 3.

А теперь рассмотрим примеры:

1) log2(х2+5х-6) = log2(4х);

2) log32-3) = log3(2х);

3) log32-3) = log3(2х+5).

Сейчас проведем небольшую самостоятельную работу:

1. Между какими последовательными целыми числами располагается число:



2. Сравнить величины:



3. Напишите О.Д.З (область допустимых значений) для уравнения:





Слушают учителя, выполняют задания, самостоятельную работу, сдают листочки.



5.Домашнее задание (3 минуты)

Написать ОДЗ и решить уравнение:

.



Написать ОДЗ и решить уравнение:

log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24).



Написать ОДЗ и решить уравнение:

2log3(x - 2) + log3(x - 4)2 = 0.



Получают карточку с домашним заданием.



Факультативное занятие №4

Предмет Математика.

Класс 11

Цели урока:

  • Образовательные: отработать основные умения для решения логарифмических уравнений, неравенств; повторить метод интервалов для решения логарифмических уравнений и неравенств.

  • Развивающая: развивать логическое мышление, память.

  • Воспитательная: повысить активность и самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Проверка домашнего задания.

  3. Актуализация знаний.

  4. Закрепление изученного материала.

Оборудование: доска, мел, раздаточный материал.2.Актуализация знаний

(5 минут)

Как и всегда, в начале занятия мы проведем небольшую самостоятельную работу:

1)

2)Вычислить: =

3) Вычислить:

Время вышло, подпишите и сдавайте листочек.

Выполняют проверочную работу.

3.Закрепление изученного материала (40 минут)

На прошлом занятии мы разбирали примеры на сравнение логарифмов, на отыскание О.Д.З, сегодня мы должны разобрать остальные два задания. Это решение неравенства методом интервалов, и введение вспомогательной переменной.

Метод интервалов - это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f (x) > 0 и f (x) < 0.

Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Решить уравнение f (x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;

2. Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;

3. Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f (x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;

4. Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.

Задача. Решите неравенство:

(x - 2)(x + 7) < 0

Работаем по методу интервалов. Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

(x - 2)(x + 7) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x - 2 = 0 ⇒ x = 2;

x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:

f (x) = (x - 2)(x + 7);

x = 3;

f (3) = (3 - 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;

Получаем, что f(3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Переходим к последнему пункту - надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.

Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

(x - 2)(x + 7) < 0

Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

Задача 2. Решите неравенство:

(x + 9)(x - 3)(1 - x) < 0.

Задача 3. Решите неравенство:

x(2x + 8)(x - 3) > 0.

Задача 4. Решить неравенство:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Задача 5. Решить неравенство:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

А теперь разберем примеры из контрольной работы (рассматриваем два примера из контрольной работы).

Итак, хорошо, переходим к заданию №6. Здесь необходимо было ввести вспомогательную переменную, для более легкого, простого решения логарифмического уравнения, неравенства.

В общем виде решение стандартного логарифмического уравнения, сводящегося к квадратному, можно изобразить так:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

ОДЗ: f(x)>0 (в стандартных уравнениях проблем с посторонними практически корнями не возникает).

Пусть

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

тогда переходим к уравнению

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Если квадратное уравнение имеет два корня t1 и t2, то, возвращаясь к исходной переменной, получаем два простейший логарифмических уравнения</:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Примеры.

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Сейчас мы рассмотрим примеры из контрольной работы, а затем разберем несколько задач на метод введения вспомогательной переменной, которые встречались в ЕГЭ в 2014-2015 годах.

(Разбираем примеры из ЕГЭ на данный метод).

Хорошо, мы рассмотрели все примеры из контрольной работы, на следующем занятии будем разбирать конкретные случаи, которые встречаются в ЕГЭ.

И как обычно, завершить наше занятие я предлагаю небольшой самостоятельной работой.

Самостоятельная работа:

1. Решить неравенство:



2. Решить неравенство:

(х + 3)2(х + 1)(х - 2)



3. Ввести вспомагательную переменную:

Lg2 x - Lg x - 2 >0.

Подписываем и сдаем листочки с самостоятельной работой. На следующем занятии мы с вами начнем разбирать примеры из ЕГЭ.

До свидания!

Слушают учителя, решают примеры, выполняют самостоятельную работу.



Факультативное занятие №5

Предмет Математика.

Класс 11

Цели урока:

  • Образовательные: применить отработанные навыки и умения при решении примеров из ЕГЭ.

  • Развивающая: развивать логическое мышление, память.

  • Воспитательная: повысить активность и самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний.

  3. Закрепление изученного материала.

Оборудование: доска, мел, раздаточный материал.2.Актуализация знаний

(15минут)

На прошлом занятии мы с вами рассмотрели все оставшиеся номера из контрольной работы и сейчас закрепим метод интервалов, метод замены переменной, а так же основные свойства логарифмов.

1. =

2.

3.

4. Решить неравенство: (x - 1)(x - 2)(x2 + x + 1) < 0

5. Какую вспомогательную переменную необходимо ввести в ходе решения уравнения?

Выполняют проверочную работу.

3.Закрепление изученного материала (35 минут)

Подписываем и сдаем листочки.

Основные умения мы с вами отработали,, теперь переходим непосредственно к решению примеров из ЕГЭ.

Пример 1:



О.Д.З.

x>0

Решение: пусть t=lg x, получаем



Пример 2:





Пример 3:





Пример 4:

Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

И последний пример, который мы сегодня с вами разберем, будет и демонстрационного варианта 2016:



Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

До свидания!





Слушают учителя, решают примеры.





 
 
X

Чтобы скачать данный файл, порекомендуйте его своим друзьям в любой соц. сети.

После этого кнопка ЗАГРУЗКИ станет активной!

Кнопки рекомендации:

загрузить материал