Диагностическая работа по математике в форме ЕГЭ

Работа состоит из 12 заданий: 8 заданий базового уровня с кратким ответом и 4 задания повышенного уровня с кратким ответом.

Работа рассчитана на 1.5 часа.

Критерии оценивания:

Оценка «5» ставится за 12 правильно решенных заданий.

Оценка «4» ставится за 11 правильно решенных заданий.

Оценка «3» ставится за 8-10 правильно решенных заданий.

Ответы:

36

7

12

8

2

12

6

6

16

3

1

5

12

2

4

0,999657

0,6

0.0625

0,5

5

-2

-4

-1,5

87

6

3

12

120

24

7

1

6

8

-19

8

60

3

25

7,28

9

63

-14

12

1

10

90

10

5000

20

11

8

47

52

31

12

13

12

1,5

12,25

Вариант №1.

1. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

2. В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое еще не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке эта зависимость представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат - масса оставшегося реагента, который еще не вступил в реакцию (в граммах). Определите по графику, сколько граммов реагента вступило в реакцию за три минуты?

3. Прямая a проходит через точки с координатами (0;8) и (2;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;4) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

4. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,07. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

5. Найдите корень уравнения: cos = В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

6. Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.

7. . На рисунке изображен график f'(x) - производной функции y=f(x), определенной на интервале (-10;14). Найдите количество точек максимума функции y=f(x), принадлежащих отрезку ⦋-8;13⦌.

8. Найдите угол BDA₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

9. Найдите значение выражения:

10. Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле A(w) = , где w- частота вынуждающей силы (в ), - постоянный параметр, = 360 - резонансная частота. Найдите максимальную частоту w, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину не более чем на одну пятнадцатую. Ответ выразите в .

11. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 12 часов. Через 4 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

12. Найдите наименьшее значение функции y =

Вариант 2.

1. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?

2. На рисунке изображен график среднесуточной температуры в Саратове в период с 6 по 17 октября 1969 г. На оси абсцисс откладываются числа, на оси ординат - температура в градусах Цельсия. Определить по графику, сколько дней из указанного периода средняя температура была не ниже 6,0 °C.

3. Точки O(0;0), A(-6;8), B(10;4) являются вершинами треугольника. Найдите длину его средней линии CD, параллельной OA.

4. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства - яйца высшей категории, а из второго хозяйства - 90% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 60% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

5. Решите уравнение: =

6. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите её среднюю линию.

7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-11;3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

8. Найдите расстояние между вершинами B₁ и D₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

9. Найдите значение выражения:

10. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R₁=10 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R₂ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R₁ Ом и R₂ Ом их общее сопротивление задаeтся формулой R = (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.

11. Шесть рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов девять рубашек дороже куртки?

12. Найдите наименьшее значение функции y = x + на отрезке [1; 9].

Вариант 3.

1. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 10 человек следует взять фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 3 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг.

2. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На графике показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечено время работы фонарика в часах, на вертикальной оси - напряжение в вольтах. Определите по рисунку, за сколько часов напряжение упадёт с 1,2 вольта до 1 вольта.

3. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 4. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

4. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

5. Решите уравнение : = 0,81

6. Углы А, В и С четырёхугольника ABCD относятся как 1:6:17. Найдите угол D,
   
   если около данного четырёхугольника можно описать окружность.

7. На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -3, 1, 6, 8. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

8. Радиусы двух шаров равны 7 и 24. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

9. Найдите значение выражения:

10. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана - Больцмана, согласно которому P = σ ST⁴ , где P - мощность излучения звезды, σ = 5,7· 10^-8 - числовой коэффициент, S - площадь поверхности звезды, T - температура в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = 10²³ м² , а излучаемая ею мощность P равна 1,71 10²⁹ Вт. Определите температуру этой звезды.

11. Петя и Митя выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 10 вопросов текста, а Митя - на 16. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Мити на 117 минут. Сколько вопросов содержит тест?

12. Найдите точку максимума функции y=(2x-3) cosx - 2 sinx +5, принадлежащую промежутку (0; )

Вариант 4

1. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 16 дней. В одной упаковке 12 таблеток лекарства по 0,25 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

2. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке,
   
   считая стороны квадратных клеток равными единице.

3. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

4. За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

5. Найдите корень уравнения: = 7

6. Основания трапеции равны 12 и 60. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

7. Прямая y=5x - 8 является касательной к графику функции f(x)= 6x² + bx + 16. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

8. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,4 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

9. Найдите значение выражения: + , при 1≤а≤2

10. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением T(t) = T₀+at+bt² , где T₀ = 200 К, a = 75 К/мин, b = -0,5 К/ мин² . Известно, что при температурах нагревателя свыше 1500 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

11. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 65%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 2%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

12. Найдите точку минимума функции y= x - 7x + 6