Готовимся к ЕГЭ. Творческие работы учащихся.

Готовимся к ЕГЭ. Творческие работы учащихся.

Тема: «Применение производной к исследованию функции на примерах заданий В8 ЕГЭ»

• Введение. Исследование свойств функции по готовому графику (задание В8) всегда вызывало затруднения у учащихся. Надо запомнить большой объем теоретического материала, надо иметь навыки работы с графиками (читать график), надо внимательно прочитать условие, т.к. в одних заданиях дан график функции, а в других ее производной. Подготовка учащихся, как правило, сводится к тренингу по решению таких задач. Предлагаю учащимся сменить вид деятельности и самим поработать составителями заданий для ЕГЭ. Первое задание учащиеся делают вместе, обсуждая, предлагая различные варианты. Затем каждый ученик самостоятельно выбирает график и составляет вопросы, рассматривая его как график функции и как график производной. Где взять рисунок? Из открытого банка заданий ЕГЭ (В8). Где взять вопросы? Там же, только не один вопрос, а десять, и еще формулировки надо подкорректировать к своему графику.

Творческие работы можно использовать как раздаточный материал для проверки знаний учащихся.

Форма организации самостоятельной деятельности учащихся может быть как индивидуальной, так и работа в паре.

• Цели работы: развивать творческие способности учащихся, формировать исследовательские навыки, учить решать задачи на исследование свойств функции на примере задач В8 ЕГЭ. При выполнении творческого задания закрепляются понятия: возрастания и убывания функции, точки экстремума функции, наибольшее и наименьшее значение функции, показывается возможность производной в исследовании свойств функции.

• Основная часть. Учащиеся получают два одинаковых графика, но на первом изображен график функции, а на втором график производной некоторой функции.

Исследование графика функции

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−11;3).

Исследование графика производной функции

На рисунке изображен график производной функции , определенной на

интервале (−11;3).

Учащимся предлагаются вопросы из Открытого банка заданий ЕГЭ. Эти вопросы к совершенно другим графикам, «сырые» для наших графиков, задача учащихся их подкорректировать. Приведем примеры.

1. Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

На первом графике точки экстремума находятся приближенно, ответы получатся разные, такого на ЕГЭ быть не должно. Вопрос надо подкорректировать. Например, так: Найти количество точек экстремума функции f(x). Ответ:5

Для второго графика данный вопрос корректный. Ответ: -15

2. Найдите количество точек максимума функции f(x). 1) Ответ:2. 2) Ответ:2

3. Найдите количество точек минимума функции на промежутке (-5;3) . 1) Ответ:2. 2) Ответ:2

4. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

На первом графике спорной остается х=1, значит введем ограничения, вопрос будет такой: На (-11;0) определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. Ко второму графику оставим вопрос в первоначальном виде. 1) Ответ:4. 2) Ответ:5.

5. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Варианты замены: 1) Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наименьшего из них. 2) Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. 1) Ответ:2. 2) Ответ:6

6. Среди точек -10; -8; -5; 2 выбери ту, значение производной в которой наименьшее.

1. Ответ:-8. 2) Ответ:-10

7. В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Коррекция 1): В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

1. Ответ:-2. 2) Ответ:-1

8. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней. . 1) Ответ:5. 2) Ответ:4

9. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

Этот вопрос корректен только для второго графика. 2) Ответ: 4

• Примеры заданий, которые учащиеся составляли самостоятельно.

№1 а) На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−6; 8).

1. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

2. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

3. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 .

4. Найдите количество точек экстремума функции f(x),.

5. В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

6. В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?

7. Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 6].

8. Найдите количество точек минимума функции .

9. Найдите сумму точек экстремума функции f(x) на отрезке [−5; 1].

10. Найдите промежутки, где производная функции f(x) положительная. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

11. Найдите промежутки, где производная функции f(x) отрицательная. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

12. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наименьшего из них из них.

13. Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

14. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите их количество.

15. Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−1;3].

16. Найдите количество точек минимума функции принадлежащих отрезку [−4; 0].

17. В какой точке отрезка [−2; 4] функция f(x) принимает наименьшее значение?

18. Найти наименьшее значение функции на

Ответы: 1) 4 2)7 3) 4 4)4 5) 0 6) 2 7) 1 8) 2 9) -3 10) 8 11) 8 12) 3 13) 4 14) 3 15) 0 16) 1 17) 4 18) -2

№1 б). На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале (−6; 8).

1. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

2. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

3. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

4. Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

5. В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение?

6. В какой точке отрезка принимает наибольшее значение?

7. Найдите количество точек максимума функции f(x) .

8. Найдите количество точек минимума функции .

9. Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−1; 5].

10. *Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

11. *Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

12. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

13. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

14. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −x − 11 или совпадает с ней.

15. Найдите количество точек минимума функции принадлежащих отрезку [−5;5].

16. Найдите точку минимума функции f(x) на отрезке

17. Найдите точку x₀, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−2) f (6).

Ответы: 1) 5 2) 4 3) 4 4) 2 5) -2 6) 1 7) 2 8) 2 9) 1 10) 4

11) 11 12) 4 13) 4 15) 1 16) -2 17) 6

Задания 11)*, 12* рекомендуется выполнять в классах, где рассматривался вопрос о монотонности функции на отрезке. В открытом банке заданий таких вопросов нет.

№2а). На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−11; 6).

1. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

2. Определите количество целых точек на , в которых производная функции отрицательна.

3. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

4. Найдите количество точек экстремума функции f(x).

5. В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

6. В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?

7. Найдите количество точек максимума функции f(x) на интервале [−6; 6).

8. Найдите количество точек минимума функции на интервале (- 11; 5)

9. На интервале (-11 ;-2) найдите промежуток возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в этот промежуток.

10. На интервале (-11 ;-2) найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите количество целых точек, входящих в эти промежутки.

11. Укажите количество промежутков возрастания функции f(x).

12. Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

13. Найдите количество промежутков убывания функции f(x).

14. На интервале (-11 ;-2) найдите количество целых точек, в которых производная функции f(x) больше 0.

15. На интервале (-11 ;-2) найдите количество целых точек, в которых производная функции f(x) меньше 0.

16. Среди точек -10; -8; -2; 0; 4 выбери ту, значение производной в которой самое большое.

17. Среди точек -10; -8; -2; 0; 4 выбери ту, значение производной в которой самое маленькое.

18. Среди точек -10; -8; -2; 0; 4 выбери ту, значение функции в которой самое большое.

19. Среди точек -10; -8; -2; 0; 4 выбери ту, значение функции в которой самое маленькое.

Ответы: 1) 7 2) 5 3) 6 4) 6 5) -3 6) -3 7) 2 8) 3 9) -24

10) 5 11) 3 12) 6 13) 4 14) 3 15) 5 16) -8 17) -10 18) 4

19) -10

№2б). На рисунке изображен график производной функции , определенной на

интервале (−11; 6).

1. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

2. Определите количество целых точек , в которых производная функции отрицательна.

3. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

4. Найдите количество точек экстремума функции f(x).

5. В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

6. В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?

7. Найдите количество точек максимума функции f(x) на интервале [−6; 6).

8. Найдите количество точек минимума функции на интервале (- 11; 5)

9. На интервале (-10 ;-2) найдите промежуток возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в этот промежуток.

10. Найдите количество целых точек, в которых функция убывает.

11. Укажите количество промежутков возрастания функции f(x).

12. Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

13. Найдите количество промежутков убывания функции f(x).

14. На интервале (-11 ;-2) найдите количество целых точек, в которых производная функции f(x) больше 0.

15. На интервале (-11 ;-2) найдите количество целых точек, в которых производная функции f(x) меньше 0.

16. Среди точек -10; -8; -2; 0; 4 выбери ту, значение производной в которой самое большое.

17. Среди точек -10; -8; -2; 0; 4 выбери ту, значение производной в которой самое маленькое.

Ответы: 1) 7 2) 8 3) 5 4) 5 5) -3 6) -5 7) 2 8) 2 9) -30

10) 8 11) 3 12) 5 13) 2 14) 5 15) 3 16) 4 17) -10

№3а). На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8).

1. Определите сумму целых точек, в которых производная функции положительна.

2. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

3. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

4. Найдите количество точек экстремума функции f(x).

5. В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

6. В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?

7. Найти наименьшее значение функции на

8. Найдите количество точек максимума функции f(x).

9. Найдите количество точек минимума функции на интервале (0;8)

10. * Найдите сумму целых точек, в которых функция возрастает.

11. Найдите промежутки убывания функции, в ответе укажите длину наибольшего из них.

12. Укажите количество промежутков возрастания функции f(x).

13. Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

14. На (0;8) найдите целую точку, в которой значение производной самое большое.

15. Найдите целую точку, в которой значение производной наименьшее.

16. Среди точек -3; -2; 2; 4; 7 выбери ту, значение производной в которой самое большое.

17. Среди точек -3; -2; 2; 4; 7 выбери ту, значение производной в которой самое маленькое.

18. Среди точек -3; -2; 2; 4; 7 выбери ту, значение функции в которой самое большое.

19. Среди точек -3; -2; 2; 4; 7 выбери ту, значение функции в которой самое маленькое.

Ответы: 1) 10 2) 2 3) 7 4) 7 5) 4 6) -2 7) -5 8) 4 9) 3

10) 23 11) 2 12) 4 13) 7 14) 4 15) -3 16) 4 17) -3 18) 7

19) -2

№3б). На рисунке изображён график производной функции y = f(x), определённой на интервале

(−4; 8).

1. Определите сумму целых точек, в которых производная функции положительна.

2. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

3. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

4. Найдите количество точек экстремума функции f(x).

5. В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

6. В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?

7. Найдите количество точек максимума функции f(x).

8. Найдите количество точек минимума функции .

9. * Найдите сумму целых точек, в которых функция возрастает.

10. Найдите промежутки убывания функции, в ответе укажите длину наибольшего из них.

11. Укажите количество промежутков возрастания функции f(x).

12. Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

13. На (0;6) найдите точку, в которой значение производной самое большое.

14. Найдите точку, в которой значение производной наименьшее.

15. Среди точек -3; -2; 2; 4; 7 выбери ту, значение производной в которой самое большое.

16. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

Ответы: 1) 18 2) 7 3) 1 4) 1 5) 0 6) -3 7) 0 8) 1 9) 22

10) 8 11) 1 12) 1 13) 5 14) -2 15) -2 16) 4

• Список использованных источников:

1. reshuege.ru

2. mathege.ru/or/ege/Main</</p>

3. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. Москва. Просвещение. 2010.