7


  • Учителю
  • Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Автор публикации:
Дата публикации:
Краткое описание:
предварительный просмотр материала

Координаты вектора на плоскости

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) и Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка):

Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Векторы Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) и Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка).

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему - это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Любой вектор Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) плоскости единственным образом выражается в виде:

Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка), где Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) - числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) называется разложением вектора Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) по базису Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка).

Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Простейшие задачи аналитической геометрии.

Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть. Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии.

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) и Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка), то вектор Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) имеет следующие координаты:

Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Пример 1

Даны две точки плоскости Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) и Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка). Найти координаты вектора Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Решение: по соответствующей формуле:

Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Ответ: Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

Координаты точек - это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора - это его разложение по базису Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка), в данном случае Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка). Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис.

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка), а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу.

Пример 2

а) Даны точки Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) и Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка). Найти векторы Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) и Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка).

б) Даны точки Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) и Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка). Найти векторы Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) и Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка).







Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю».

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) и Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка), то длину отрезка Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) можно вычислить по формуле Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) , но более стандартен первый вариант

Пример 3

Даны точки Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) и Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка). Найти длину отрезка Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка).

Решение: по соответствующей формуле:

Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Ответ: Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Для наглядности выполню чертёж

Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Отрезок Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) - это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» - сокращенно «ед.».

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка), то его длина вычисляется по формуле Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка).

Пример 5

Даны точки Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) и Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка). Найти длину вектора Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка).

Решение: Сначала найдём вектор Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка):

Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

По формуле Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) вычислим длину вектора:

Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Ответ: Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Не забываем указывать размерность - «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? Округление целесообразно проводить до 2-3-х знаков после запятой.

Выполним чертеж к задаче:

Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости.

А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) равна длине вектора Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка). Так же очевидно, что длина вектора Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) будет такой же. По итогу: Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) и Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка). Найти длину отрезка Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка).

Вместо применения формулы Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка), поступаем так:

1) Находим вектор Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка).

2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) равна длине вектора Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка):

Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии.





Пример 6

а) Даны точки Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) и Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка). Найти длину вектора Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка).

б) Даны векторы Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка), Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка), Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка) и Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка). Найти их длины.







 
 
X

Чтобы скачать данный файл, порекомендуйте его своим друзьям в любой соц. сети.

После этого кнопка ЗАГРУЗКИ станет активной!

Кнопки рекомендации:

загрузить материал