Практическая работа Применение различных методов решения систем линейных уравнений с двумя и тремя переменными

Практическая работа

Тема: Применение различных методов решения систем линейных уравнений с двумя переменными, с тремя неизвестными.

Цель: обобщить знания учащихся по методам решения систем линейных уравнений с двумя переменными: графический, метод подстановки, метод алгебраического сложения, применение определителей к решению систем. Расширить, систематизировать, закрепить знания учащихся о решении систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Теоретическая часть: 1. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки. Метод подстановки заключается в следующем:

1. Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором у выражено через х (или х через у).

2. Полученное выражение подставляют вместо у (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной.

3. Находят корни этого уравнения.

4. Воспользовавшись выражением у через х (или х через у), находят соответствующее значение х (или у).

Пример. Решить систему уравнений

Решение: 1) Из первого уравнения находим выражение х через данные числа и неизвестное у:

х =

2) Подставляем это выражение во второе уравнение:

5

3) Решаем полученное уравнение:

5(46+3у)+48у=104, 230+15у+48у=104,

15у+48у=104-230, 63у=-126, у=-2.

5. Найденное значение у=-2 подставляем в выражение х =;

получаем: х=

Ответ: (5;-2).

2. Решение систем двух уравнений с двумя неизвестными методом сложения. Метод сложения состоит в следующем:

1) Обе части одного уравнения умножаются на некоторый множитель; обе части другого уравнения умножаются на другой множитель. Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных в обоих уравнениях после их умножения на эти множители имели одну и ту же абсолютную величину.

2) Складываем два уравнения или вычитаем их друг из друга; этим одно из неизвестных исключается.

3) Решаем полученное уравнение с одним неизвестным.

4) Подставляем полученное значение первого неизвестного в любое из данных уравнений и находим второе неизвестное.

Пример. Решить систему уравнений

Проще всего уравнять абсолютные величины коэффициентов при у; обе части первого уравнения умножим на 2; обе части второго -на 1, т.е. оставляем второе уравнение неизменным:

21х =105

3) Решаем полученное уравнение:

х =

4) Подставляем значение х=5 в первое уравнение;

имеем:

40-3у=46; -3у=46-40; -3у=6; у=-2.

Ответ: (5;-2).

3. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными. Для того, чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя неизвестными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

Пример. Решить графически систему линейных уравнений

Решение:1) Выразим переменную у из первого и второго уравнений

у = и у = 2х - 8

2) Построим график уравнения у =

х

1

3

у

1

-2

Также строим график уравнения у = 2х - 8

х

0

4

у

-8

0

Полученные прямые не параллельны,

их пересечением является точка М(3;-2).

Ответ: М(3;-2)

4. Применение определителей к решению систем двух уравнений с двумя неизвестными.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными

Определителем второго порядка, составленным из чисел a₁₁,a₁₂, a₂₁, a₂₂ называется число, определяемое равенством

a₁₁,a₂₂ - элементы главной диагонали

a₂₁, a₁₂ - элементы побочной диагонали

Формулы Крамера:;

Пример: Решить систему уравнений

Решение:

Найдем определитель

Найдем определители

Примененим формулы Крамера

Ответ: (2;3)

5. Применение формул Крамера к решению систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Система трех линейных уравнений с тремя переменными имеет вид:

Определитель третьего порядка можно вычислить методом разложения по элементам первой строки:

Формулы Крамера:;, где

, ,

Определитель третьего порядка можно вычислить также так:

=а₁₁а₂₂а_{33 +} а₂₁а₃₂а₁₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ - а₁₃а₂₂а₃₁ - а₁₂а₂₁а₃₃ - а₁₁а₂₃а₃₂

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правило Сарруса). Это правило проиллюстрировано на схеме:

«+» «-»

Пример: Решить систему уравнений

Решение: вычислим определители:

Итак, по формулам Крамера имеем:

;

Ответ: (2; -1; 3)

6. Решение систем уравнений методом Гаусса.

Численность решений линейных алгебраических уравнений с помощью определителей удобно производить для систем 2-х и 3-х уравнений. В случае же большего числа уравнений гораздо выгоднее пользоваться методом Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных.

Метод Гаусса состоит в том, что систему уравнений приводят к эквивалентной ей треугольной системе. Это действие называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подставок (обратный ход).

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1. умножение и деление коэффициентов на одно и то же число

2. сложение и вычитание уравнений

3. перестановку уравнений системы

4. исключение из системы уравнений, в которых все свободные члены и коэффициенты при неизвестных равны 0.

Пример: Решите систему методом Гаусса

Решение:

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов и введем так, называемый контрольный столбец, каждым элементом которого является сумма четырех элементов данной строки

Поменяем 1-ую и 2-ую строку местами

Умножим 1-ую строку на 3, вычтем ее из 2-ой, затем, умножая 1-ую строку на 4, вычтем ее из 3-ей

Изменим знаки во 2-ой строке

Умножим 2-ую строку на 5 и сложим с 3-ей

Разделим 3-ю строку на (-11)

Используя полученную матрицу, преобразуем систему и получим решение

Ответ: (-1; 3; 2)

Задания для самостоятельного решения:

Вариант-1.

1. Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки:

б) способом сложения:

в) графическим способом:

г) по формулам Крамера:

1. Решить системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится: а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится: а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-2.

1. Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки:

б) способом сложения:

в) графическим способом:

г) по формулам Крамера:

1. Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-3.

1. Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки:

б) способом сложения:

в) графическим способом:

г) по формулам Крамера:

1. Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-4.

1. Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки:

б) способом сложения:

в) графическим способом:

г) по формулам Крамера:

1. Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-5.

1. Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки:

б) способом сложения:

в) графическим способом:

г) по формулам Крамера:

1. Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-6.

1. Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки:

б) способом сложения:

в) графическим способом:

г) по формулам Крамера:

1. Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-7.

1. Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки:

б) способом сложения:

в) графическим способом:

г) по формулам Крамера:

1. Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-8.

1. Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки:

б) способом сложения:

в) графическим способом:

г) по формулам Крамера:

1. Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-9.

1. Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки:

б) способом сложения:

в) графическим способом:

г) по формулам Крамера:

1. Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-10.

1. Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки:

б) способом сложения:

в) графическим способом:

г) по формулам Крамера:

1. Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Основные учебные издания:

Книги одного автора:

1. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учебн. пособие для ссузов.-3-е изд. стер. - М.: Дрофа,2006.-204с.

2. Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.-М.: Дрофа,2005.-236с.

3. Стойлова Л.П. Математика: уч. Пособие для студ. Высш. учеб. заведений.-3-е изд., стер. - М: Издательский центр «Академия»,2005.-432с.

4. Филимонова Е.В.Математика для средних спец. уч.заведений.: учебное пособие.-Изд.4-е,доп.и перераб .-Ростов н/Д:.Феникс,2008.-414с.

Книги двух авторов:

1. Лисичкин В.Т. ,Соловейчик И.П. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие.3-е изд., стер. - СПб.:Идательство «Лань»,2011.-464с.

Книги трех авторов:

1. Подольский В.А. Сборник задач по математике: учебное пособие / Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С.-3-е изд., стер.- М.: Высш. Шк.2005.-495с.