КУРС ПО ВЫБОРУ УРАВНЕНИЕ С ПАРАМЕТРАМИ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА СЕЛА ЯДЫГЕРЬ

КУКМОРСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

КУРС ПО ВЫБОРУ

УРАВНЕНИЕ С ПАРАМЕТРАМИ

(учебный курс предпрофнльной подготовки по математике для

учащихся 9-х классов, 17 часов)

Учитель информатики и математики

Ядыгерской средней общеобразовательной

школы Кукморского муниципального

района Яббарова А И.

ЯДЫГЕРЬ

Пояснительная записка.

Элективный курс « Уравнения с параметрами » рассчитан на 17 часов для учащихся 9 классов.

Предлагаемый курс освещает намеченные, но совершенно недоработанные в общем курсе школьной математики вопросы.

Уравнения с параметрами - один из сложных разделов математики. Зачастую учащиеся овладевают каким - то одним способом решения подобных задач и теряются, если он не помогает решить другую. Элективный курс предусматривает овладение различными умениями, навыками, приёмами решения задач, создаёт условия для формирования мировоззрения ученика, логической и эвристической составляющих мышления. Уравнения с параметрами - хороший материал для учебно-исследовательских работ.

Практика итоговых экзаменов в школе и приёмных экзаменов в высшие учебные заведения, показывает, что уравнения с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность, как в логическом, так и в логическом, так и в техническом плане, и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена, так как учащиеся владеющие методами решения уравнения с параметрами справляются и с другими. Кроме того учащиеся смогут реализовать полученные знания и умения на уроках физики. Решая уравнения с параметрами ученик учится выражать одну переменную через другую, а затем это необходимое условие для успешного решения физической задачи.

Ценность задач данного курса - демонстрация их общности с точки зрения исследования и анализ реальных процессов средствами математики. Значительное место в курсе уделено практической направленности материала, его приложений, мотивации процессе познания. Данная программа позволяет школьнику решать задачи интегративного характера, в частности задачи физического характера и задачи на совместную работу и концентрацию вещества.

Цель курса:

Развитие целостной математической составляющей картины мира через углубление и расширение знаний учащихся по теме « Уравнения с параметрами ».

Задачи курса:

- систематизация и углубление знаний по теме « Уравнения с

параметрами »;

• развитие логического и творческого мышления;

• развитие умения самостоятельно приобретать знания и применять их;

• создание условий для формирования и развития практических умений учащихся решать уравнения с параметрами, используя различные методы и приёмы;

• повышение математической культуры ученика.

В результате изучения курса учащиеся приобретут:

- представление о роли математики в познании мира, математических

методах исследования;

- знания основных алгоритмов решения уравнения с параметрами,

различных методов и приёмов решения задач;

Умения:

- работать с различными источниками информации;

-анализировать результаты;

-участвовать в дискуссии;

• выбирать рациональный способ решения;

• графически представлять результаты.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагает использовать следующие формы занятий: лекции, практикумы по решению задач, семинар. Доминантной же формой учения должна стать исследовательская деятельность ученика, которая может быть реализована как на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной характер и включать в себя самостоятельную работу. Успешность усвоения курса определяется преобладанием самостоятельной творческой работы ученика. Такая организация занятий способствует реализации развивающих целей курса.

Форма итогового контроля

- защита реферата по теме « Расположение корней квадратного трёхчлена ».

«5» баллов ставится, Если ученик рассмотрел все возможные случаи для решения поставленных трех задач. При их решении работал с тремя типами моделей:

1. вербальная модель - словесное описание задач;

2. геометрическая модель - график квадратичной функции;

3. аналитическая модель - система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.

«4» балла ставится, если ученик рассмотрел две задачи по выше указанной схеме.

«3» балла ставится, если ученик рассмотрел одну задачу.

«2» балла ставится, если ученик знает необходимые свойства квадратного трехчлена, знает 3 типа моделей для решения задач, умеет устанавливать связь между этими моделями.

«1» балла ставится, если ученик знает необходимые свойства квадратного трёхчлена, знает 3 типа моделей для решения задач, но не умеет устанавливать связь между этими моделями.

Программа

Наименование темы

Количество часов

Всего

Теория

Практика

1

Линейные уравнения с параметрами

2

0,5

1,5

2

Линейные неравенства с параметрами

2

0,5

1,5

3

Система линейных уравнений с параметрами

2

0,5

1,5

4

Система линейных неравенств с параметрами

2

0,5

1,5

5

Квадратные уравнения с параметрами

3

0,5

2,5

6

Задачи па составление уравнений

5

0,5

4,5

7

Защита рефератов

1

1

Содержание курса

Линейные уравнения и неравенства. (4 часа)

Творческие сведения о задачах с параметрами, классификация, основные методы и приёмы решения. Ведётся разговор о возможностях применения знаний из данной темы. Повторяются определения уравнений и неравенств, корней уравнения и неравенств. Систематизация различных типов уравнений и неравенств с параметром, различных методов решения. Решение задач. Алгоритмы решения уравнений и неравенств с параметром.

Система уравнений и неравенств. (4 часа)

Повторяются определения системы уравнений и неравенств, корней системы. Исследование системы с графической иллюстрацией. Алгоритмы решения системы уравнений и неравенств с параметрами различные методы их решения.

Квадратные уравнения. (3 часа)

Повторяются определение квадратного уравнения, формулы корней квадратного уравнения, определение квадратичной функции, свойства квадратичной функции. Исследование квадратных уравнений. Алгоритмы решения квадратных уравнений с параметрами, различные методы их решения. Решение задач. Прогнозируется форма отчёта по изучению курса, даются рекомендации, необходимая литература.

Задачи на составление уравнений. (5 часа)

Решение задач с использованием необходимых условий. Решение задач с физическим содержанием, задачи на совместную работу и на концентрацию вещества. Этот модуль позволяет продемонстрировать учащимся прикладной характер темы. Решение задач с параметрами значительно расширяет круг уже известных учащимся задач межпредметного характера, показывает их общность с точки зрения исследования и анализа реальных процессов средствами математики.

После решения задач совместно с учителем следует практикумы с использованием различных форм самостоятельной работы.

*

Учебно - тематический план курса.

уро

ка

Тема

Тип

Цели

Вопросы к теме

Проверяе

мый

материал

Связь с

други ми

предме тами

Виды самостояте льной работы

Умения навыки

1

Линейные уравнения

Изучение нового материал а

Научить

решать

лин.ур.

с

парамет

рами

Определение

УР Алгоритм

решения

лин.ур

Количество

корней

Алгоритм

решения

лин.ур.

Выраж .перем. с физ. форму лы

Поиск решений

2

Линейные уравнения

Формы умения навыков

Привить

навыков

в

исслед.

лин.ур.

Исследов ать

количеств о корней

Обучающего о типа

Исследовать лин.ур.

3

Линейные неравенства

Изучение

нового

материал

а

Научить решать неравен ства с

парамет рами

Определение

неравенства,

решение

неравенства,

свойства

Поиск решение неравенства с параметрами

4

Система линейных

Изучение нового

Научить решать

Определение

системы,

Исследов

ание

Контр.

тина

Поиск

решений

уравнения

материала

система с

парамет рами

количество корней

линейных

уравнении,

неравенств

систем

5

Система лин.ур

Форм. ум. навыков

Привить навык, в решение

систем

Опр. колич. корней системы

Обучающи й тип

Исслед.ситем уравнения

6

Система лин.нерав

Изучение нового материал а

Научить

решать

сис.нер

с

парамет

рами

Алг.решения

систем,

неравенств

поиск

частных

решений

Исслед.систем нер. с параметрами

7

Система

лин.нерав

Фром.ум. навыков

Привить

навык, в

исслед.

систем

нера. с

парамет

рами

Исслед.си

стем

лин.урав.,

неравенст

в

Контр.тип

Исслед.систем лин.ур, нер.

8

Квадратн

ая

уравнения

Изучение нового материал а

Научить решать кв.ур. с парамет рами

Опр. кв.ур,

формулы

кроней

Поиск реш.кв.ур.

9

Квад.ур

Фром.ум.

Прив.на

Колич.корне

Поиск

Обуч. тип

Исслед.

навыков

вык. в реш.кв.у равн.

и

реш. кв.ур.

колич.корней

10

Кв.ур

Фром.ум. навыков

Выевить пробелы

Реш.урав нения с параметр ом

-

Контр.тип

Решение уравнений с параметрами

11

Задачи с физ.содер

Фром.ум. навыков

Научить составит ьур.

Физ. формул ы

Физик а

Составить ур.

12

Задачи с физ.содер

Фром.ум. навыков

Привить навык.

Обуч.тип

Решать задачи

13

Задачи на совр.раб.

Фром.ум. навыков

Решать задачи

14

Задачи на конц.вещ.

Фром.ум. навыков

Привить навык.

Формулы

Химия

Решать задачи

15

Задачи на конц.вещ.

Фром.ум. навыков

Раз.мыш

ления

Формулы

Контр, тип

Решать задачи

16

Решать задачи

Фром.ум. навыков

Раз.мыш ления

Формулы

Решать задачи

17

Защита рефератов

контрольный

Выявить

пробелы

Литература для учащихся:

1) П.И. Горинштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир

Задачи с параметрами. 3-е издание. м.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999.

2) А.П. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. м. :Илекса,2002

3) А.П. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса. м. :Илекса,2002

4) Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9

класса. м. :Илекса,2002

5) Олехин С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И.

Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Справочник.-

М.:МГУ, 1991

Литература для учителей:

1) П.И. Горинштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир

Задачи с параметрами. 3-е издание. м.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999.

2) А.П. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. м. :Илекса,2002

3) А.П. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса. м. :Илекса,2002

4) Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса. м. :Илекса,2002

5) Олехин С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. 1) П.И. Горинштейн, В.Б.

Полонский, М.С. Якир

Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Справочник.-М.:МГУ, 1991

6. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно -математические материалы по математике. м.: Илекса; Ставрополь-2002

7. Журнал « Математика в школе » №1 2006, №5 2001.

Методическая обоснованность.

В курсе алгебры уже привычными стали задания с параметрами. В чём причина их активного проникновения в школьную математику? Возможно, частое появление таких заданий в конкурсных и выпускных экзаменах. А может, желание глубже, вдумчивее рассмотреть вопросы изучаемой теории.

Примером одной из первых задач с параметрами является знаменитая царевна Дидоны. Ее суть в следующем. В IX в. до н.э. финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов средиземного моря искать себе прибежище, ей приглянулось одно место на побережье Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она участок совсем небольшой - « столько, сколь можно окружить бычьей шкурой ». Дидоне удалось уговорить Ярьа, и сделка состоялось. Тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесёмки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость и город Карфаген. Эта легенда содержится в поэме « Энеида » римского поэта Публия Вергилия Марона, а также в трактате « Об изопериметрических фигурах » древнегреческого учёного Зенодора, жившего между III в.до н.э. и началом н.э.

Задачу по отысканию среди всех замкнутых кривых с данным периметром той, которая охватывает максимальную площадь, называют задачей Дидоны. Ее то и решал в своём трактате Зенодор. Что же в этой задаче является параметром? Сформулируем задачу Дидоны в таком виде « у какой фигуры, при заданном периметре, площадь будет наибольшей? » в данном случае параметром выступают не числовые данные, а фигура; при различных значениях этого параметра задача будет иметь различные решения. Итак, задачи с параметрами решали и в древности, решать их надо и сейчас, ведь применение подобных задач не позволяет ученикам « закостенеть » в своих умениях и навыках.

Контролирующий материал.

1 урок.

Решить:

1) (ах+За-9)/3=2а-5+(2/3)х

2. (6х-18+а)/2х=6-(7+Зх+а)/(х+2)

3. 

2 урок.

Решить:

1) (а²-4)х = а + 2

2) (а² - 6а + 5)х = а -1

3)(х-2)/(х-а) = 0

4)(х-а)/(х + 3) = 0

5)(х-а) / (х²-4х + з)=0

6)

Для самостоятельной работы

Решить:

1. (х + 1)/(х-а)-1/(х-2)

2. При каких а уравнение имеет единственный и в частности нулевое решение

(6х + а)/ 3 = (2ах + а -1) / 2

3 урок.

1. сравнить-а и За

2. решить ах<1

3. при каких а неравенство имеет единственное решение (х-а)(х-2)<0

4. решить (х - а)² (х - 2а) -< О

6 урок.

1. Периметр равнобедренного треугольника Р, одна из его сторон а. Найти вторую сторону. Сколько решений имеет задача при различных значениях а ?

2. Найти углы равнобедренного треугольника, если один из них а. При каких а задача имеет одно два решения?

3. найти высоту равнобедренного треугольника с основанием а, радиусом описанной окружности К..

8 урок.

Решить:

1)ах² -х + 3 = О

2)(а-2)х²+(4-2а)х + 3 = ()

3) ах² - 4х + а + 3 = О

урок.

1) При каких а уравнение имеет более одного корня

а (а + 3 )х² + (2а + 6 )х - За - 9 = О

2) При каких а уравнение имеет единственное решение

(х²-ах + \)/(х + 3) = 0

Для самостоятельной работы.

При каких а уравнение имеет более одного корня

1)(а + 6)х²-8х + а = 0

2)а(2а + 4)х² -(а + 2)х-5а = 0

11 урок.

1) Расстояние между деревней и посёлком мотоциклист проезжает на 0,4 ч быстрее велосипедиста. Скорость мотоциклиста 18 км в час, а скорость

велосипедиста составляет 8/9 скорости мотоциклиста. Найти расстояние

между деревней и поселком.

2) Велосипедист каждую минуту проезжает на 800 м меньше, чем

мотоциклист, поэтому на путь в 30 км он затратил времени на 2 ч больше.

Сколько км в час проезжал мотоциклист?

3) Друзья отправились на пикник на лодке, вечером вернулись обратно. Они проплыли 48 км , затратив 2 ч 48 мин. При этом на каждые 3 км против течения им приходилось тратить столько же времени, сколько на 4 км по течению. Найти собственную скорость лодки.

13 урок.

1. Новый владелец магазина снизил цены на одну треть, но через некоторое время вынужден был вернуться к старым ценам. На сколько процентов он при этом увеличил цены.

2. Фермеры должны были закончить посев за 5 дней. Но засевали на 20 га больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончили сев за 4 дня. Сколько га они засеяли.

3. Два насоса разной мощности, работая одновременно, наполняли бассейн водой за 4 ч. Производительность первого насоса увеличилась на 20%, а второго на 60%. Теперь они, работая одновременно, наполняют бассейн за 3 ч . За сколько часов может наполнить бассейн первый насос?

14 урок.

1) Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащего 60% олова, и 900 г

сплава и меди, содержащего 80% олова. Сколько % олова в получившемся

сплаве?

2) В двух одинаковых сосудах находятся растворы серной кислоты.

Концентрация 28,7% и 37,3%. Растворы сливают. Какова концентрация

полученного раствора кислоты?

3) Для приготовления маринада необходим 2%-ный раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100г 9%-ного раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада?

15 урок.

1. Сколько кг воды нужно выпарить из 2 т целлюзной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с 75% содержанием воды?

2. Отношение массы олова к массе свинца в куске сплава равно 2:3. этот кусок сплавили с куском олова весом 3 кг и получили новый сплав с содержанием свинца 10%). Найти массу олова в новом сплаве.

Приложение.

Урок №1.

Тема: решение линейных уравнений с параметром.

Цели: обучающие - ввести понятие параметра, научить решать линейные уравнения с параметром.

Развивающие - способствовать развитию мышления, памяти, речи. Воспитательные - привить внимательность, вызвать интерес.

Тип: изучение нового материала.

Метод: беседа.

Оборудование: П.И.Горинштейн « Задачи с параметрами ».

Ход урока.

I. Организационная часть.

II. Актуализация опорных знаний.

Повторить определения уравнения, корней уравнения, тождества, определение линейного уравнения, рассмотреть случаи, когда линейное уравнение имеет одно решение, не имеет решения, имеет бесконечно много решений.

III. Изучение нового материала.

Буквенные коэффициенты уравнения называют параметрами. Решить задачу с параметром - это значит найти все те и только те значения параметров, при которых задача имеет решение. Исследовать уравнение означает ответить на вопрос: « имеет ли данное уравнение решение и если имеет, то сколько?» ах=b

1. Если а 0, то х = b/а - единственное решение.

2. Если а =0 ,b=0, то х - любое число.

3. Если а = 0, b 0, то уравнение решений не имеет. Все случаи тут не графически интерпретируются.

IV. Применение полученных знаний.

Решить:

(ах + 3а-9)/3 = 2а-5 + 2/Зх

ах - 2х = За - 6 х(а-2) = 3(а-2)

Далее 1. Если а 2, то х=3 ( единственное решение )

2. Если а=2, то получим 0х=0, х - любое число, уравнение имеет бесконечно много решений. Ответ: Рассмотреть следующие уравнения:

(бх-18 + а) + (2х-6) = (7 + Зх + а)/(х + 2)

(0.4 + 2х + За) + 2 = 7а-х + ах

(а² -1)х = а + 1

Итог

Урок №10.

Тема: решение квадратных уравнений с параметром.

Цели: обучающие - привить навык в решении квадратных уравнений с параметром, задач с параметром, сводящиеся к квадратным, объясняется тема реферата.

Развивающие - способствовать развитию мышления, памяти, речи. Воспитательные - привить внимательность, вызвать интерес. Тип: формирование умений, навыков.

Метод: беседа с элементами самостоятельной работы.

Оборудование: П.И.Горинштейн « Задачи с параметрами »

Ход урока.

I. Организационная часть.

II. Актуализация опорных знаний.

Повторить свойства квадратного трехчлен, свойства квадратичной функции.

III. Формирование умений, навыков.

Наитии все значения а при которых х² - 6х + а = 0 имеет два различных корня,

из которых только один принадлежит интервалу (1;7).

При решений таких задач приходиться работать с тремя типами моделей:

1. вербальная модель - словесное описание

2. геометрическая модель - график квадратичной функции

3. аналитическая модель - система неравенств при помощи которой описывается геометрическая модель.

Надо уметь устанавливать связь между этими моделями. Например, если старший коэффициент квадратного трёхчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз, или, если Д=Ь²-4ас = 0, то трёхчлен имеет различные корни и график пересекает ось абсцисс в двух точках.

График квадратичной функции находится ниже оси абсцисс, значит, трёхчлен не имеет корней и его старший коэффициент меньше нуля. Задачи подобного типа решают по схеме:

1. уравнение записывают в виде f(x;a) = 0

2. выбирают контрольные значения параметра ( в качестве контрольных значений параметра чаще всего берут такие, что Д=0, Д>0, Д<0, старший коэффициент квадратного трёхчлена >0; <0; =0 и те значения параметра, при которых квадратный становится полным ).

3. для каждого случая строят параболу

4. геометрическую модель описывают системой неравенств

5. решают систему неравенств.

Решение задачи.

Обозначим f(x) = х² - 6х + а и заметим, что абсцисса вершины параболы равна 3, точки х₁ и х₂ являющиеся корнями уравнения расположены на оси ОХ симметрично относительно точки х=3. Поэтому, если х₁<х₂ то интервалу (1;7) должна принадлежать только точка х₂ ( если х₁ принадлежит (1;7), то х₁ принадлежит (1;3) и тогда х₂ принадлежит (3;5) и х₂ принадлежит (1;7) , т.е оба корня уравнения принадлежит (1;7)). Следовательно, х₁ меньше или равно 1 и поэтому f(1) меньше или равно 0, F(7)>0, так как х₂<7. задача свелась к решению системы -5+а меньше или равно 0 и 7+а>0, значит, а принадлежит интервалу (-7;5].

Для самостоятельной работы. При каких а уравнение имеет единственное решение

1. (2а + 8)х²-(а + 4)х + 3 = 0

2. (а + 4)х²+6х-1 = 0

Итог