Решение показательных уравнений и неравенств

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе.

Тема урока:«Решение показательных уравнений и неравенств».

Цели урока:

Образовательные:

• обобщение знаний и умений учащихся по применению методов решения показательных уравнений;

• закрепление свойств показательной функции в процессе решения показательных неравенств;

• формирование заинтересованности учащихся в решении нестандартных показательных уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ.

Развивающие:

• развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа её решения;

• развивать навыки исследовательской деятельности, синтеза, обобщения;

• активизация познавательной деятельности посредством использования компьютерных технологий;

• развитие навыков самоконтроля и самооценки, самоанализа своей деятельности.

Воспитательные:

• формирование умения работать самостоятельно, принимать решения и делать выводы;

• воспитание устремленности к самообразованию и самосовершенствованию;

• осознание учащимися социальной, практической и личной значимости учебного материала по изучаемой теме.

Тип урока: урок обобщения, систематизации и коррекции знаний.

Форма урока: урок - практикум.

Оборудование урока, средства обучения:

1. Учебник: А.Н. Колмогоров, А. М. Абрамов и др. « Алгебра и начала анализа» .Учеб. для 10- 11 кл. общеобразоват. учреждений/ - М.: Просвещение, 2010 г.

2. Раздаточный материал для самостоятельной работы.

3. Технические средства: компьютер, видеопроектор, экран.

4. Авторская презентация, подготовленная с помощью MicrosoftPowerPoint.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Учитель сообщает учащимся тему урока и цели урока. ( Слайд1, 2)

2. Устный опрос.

1)Дайте определение показательных уравнений.

(Определение: Показательным уравнением называется уравнение вида

a= b, где a> 0, a ≠ 1 и уравнения, сводящиеся к этому виду). (Слайд 3)

2)Сколько решений может иметь показательное уравнение?

(Так как область значений функции у = a - множество положительных чисел, то при b< 0 и b = 0 - корней нет, при b> 0 - один корень.)

3)Назовите методы решения показательных уравнений и приведите примеры уравнений к каждому методу( слайд 4) :

а) Метод уравнивания оснований.

б)Метод вынесения общего множителя за скобки.

в) Метод введения вспомогательной переменной

г)Графический метод, метод подбора

4) Для каждого показательного уравнения определите метод решения ( Слайд 5):

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) 6) ;

7) ; 8) .

5) На каком свойстве функции y =aосновано решение простейших показательных неравенств?

(Показательная функция y = a возрастает при a> 1 и убывает при 0<a<1)

3. Математический диктант ( по вариантам) 6- 7 мин.(Слайд 6)

У каждого ученика на парте приготовлен бланк для выполнения математического диктанта. В этих бланках ученик либо сразу записывает ответ, либо выполняет решение, если это требуется. Перед проведением математического диктанта учитель повторяет с учениками правила проведения математического диктанта.

Задания математического диктанта:

2. Какие из указанных функций являются: 1) возрастающими; 2) убывающими?

Вариант1 Вариант 2

а) ; б) ; в) ; а) у = ; б) у= ; в) у =2^х ;

г) ; д) . г) у = ; д) у =

2. Приведите к основанию 2; 2. Приведите к основанию 4;

25 к основанию 5; (5); 49 ^{5 - х} к основанию 7;

к основанию 2, (2). к основанию 6.

3. Решите уравнение: 3. Решите уравнение:

а) ; б)5^х-2= 25; в) ; а) 5 ^х = 625; б) 3 ^{х - 8} = 27; в) 6 ^{х + 12} = ;

г);д) 6^{х- 4} = -6; е) 3^{х + 2} + 3^х = 90. г) ; д) 56^х+23 = - 56 ; е) 2 ^{х - 1} + 2^х = 6.

4. Решите неравенство: 4. Решите неравенство:

а) ; б) ; а) 5^х ≤ 125 ; б) 5^х > - 5 ; в) 3^х ≤ -3

в) ; г) 0,2 ^х ≤ . г) 0,25 ^х ≥ .

Проверка выполнения математического диктанта осуществляется учениками. По просьбе учителя учащиеся, которые сидят за одной партой обмениваются своими бланками с решениями. Учитель с помощью проектора выводит правильные ответы к заданиям математического диктанта на экран. Также на доске записаны критерии выставления оценки. После того как ученики выставили оценки, они сдают работу учителю.

Ответы к математическому диктанту: (Слайд 7)

Вариант1

Вариант2

1.

Возрастающая функция

Убывающая функция

Возрастающая функция

Убывающая функция

;;

;

;

у= ; у =2^х ;

у =

у = ;у = ;

2.

2^{- х} ; 5 ^{4 - 2х}; 2 ^{2х - 2}

4^{- х} ; 7 ^{10 - 2х}; 6 ^{4х - 6}

3.

а) х= 5; б) х = 4 ;в) х = - 2;

г) х₁=0, х₂ = -1;

д) корней нет; е) х = 2.

а) х = 4; б) х = 11; в) х = - 15

г) х₁=0, х₂ = -2;

д) корней нет; е) х = 2.

4.

а) (2; +); б) R; в) нет решения ; г)

а) ; б) R; в) нет решения ;

Критерии проверки:( слайд 8)

За каждый правильный ответ выставляется 1 балл.

18баллов - оценка «5»

17баллов- оценка «4»

16-12 баллов - оценка « 3»

11-0 баллов - оценка « 2»

4. Решение показательных уравнений и неравенств.

Решение уравнений и неравенств разного уровня сложности (1 и 2 уровня) разбираются учащимися на доске.

При этом класс решает задания и 1 и 2 уровня сложности. К доске учитель вызывает по два ученика. Сначала разбирается задание 1 уровня сложности, которое решает ученик с более слабой математической подготовкой, затем 2 уровня сложности - решает ученик, который имеет более высокую математическую подготовку. При этом первый ученик решает задание под контролем учителя, а из второй решает самостоятельно и только потом его решение проверяется учителем совместно с учащимися.

Первый уровень:

№164 (а)из раздела « Задачи на повторение».

5^3х - 2 5^{3х -1} - 3 5^{3х - 2}= 60,

Учитель обращает внимание ученика на то, какой общий множитель присутствует в каждом слагаемом в левой части уравнения и каким методом решается уравнение.

5^3х (1-2 5 ^-1 - 3 5^{- 2} ) = 60,

5^3х = 60, разделим обе части уравнения на дробь , получаем

5^3х = 125,

3х =3,

х=1.

Ответ: х=1.

Второй уровень сложности.

№164(г) из раздела « Задачи на повторение».

5^2х-1+ 2^2х = 5^2х - 2^2х+2.Приведем все степени в данном уравнении к одному основанию, разделив обе части уравнения на 5^2х 0.

,

,

,

2х = 2,

х=1.

Ответ: х=1.

Далее учитель предлагает учащимся самостоятельно решитьуравнение:

3^х + 4^х = 5^х..

Но данное уравнение учащиеся известными им способами решить не смогут, поэтому учитель разбирает решение совместно с учениками и знакомит их с использованием искусственного приема.

Разделим обе части уравнения на 5^х, т. к 5^х >0. Получаем

;

Совместно с учениками подбирает корень уравнения х=2.

Покажем, что других решений нет. Рассмотрим функцию f(x)=. Так как данная функция является суммой двух убывающих функций, следовательно, она является также убывающей функцией. Поэтому каждое свое значение она принимает только один раз.

Ответ: х=2.

5.Физкультминутка:

Сначала выполняются задания на дыхательную гимнастику, затем упражнения зрительной гимнастики. В это время экран должен быть выключен.

Ученики продолжают работать у доски.

Первый уровень сложности.

№ 169 (в)

Решите неравенство 4^х - 10 2^х +16 0.

Заметим, что 4^х= 2^2х , тогда можно выполнить замену переменной. Пусть 2^х = у, тогда получаем следующее неравенство: у² -10у +16 0.

Решим неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию f(y) = у² -10у +16. Найдем нули данной функции, следовательно решим уравнение: у² -10у +16 = 0,

D= 36,

у₁ = 8, у₂= 2, следовательно возвращаемся в замену, получаем:

2^х = 8 и 2^х = 2,

х₁= 3 и х₂ = 1.

Наносим нули функции на числовую ось Х.+ ___ +

Определяем знак на каждом промежутке 1 3 х

Ответ: х ( 1 ; 3).

Второй уровень сложности (задание по карточке).

Решите неравенство -28 + 0 .

Найдем ОДЗ: х + 1 0,

х - 1, следовательно, х

Обозначим = у, где у0.

Тогда исходное равенство примет вид

3 у-28 + 0. Решим неравенство методом интервалов, следовательно, решим уравнение

3 у-28 + =0.

Приведем к общему знаменателю.

Получаем 3у² -28у + 9 = 0 и у0

у₁ = , у₂ = 9 .

Возвращаемся к замене, получаем = , = 9 , 0,

= -1, =2, х- любое .

нет корней.х=3.

Наносим х=3 на числовую ось Х. С учетом ОДЗ, определяем знаки на промежутках.

---- +

-1 3 х

Ответ: .

6. Самостоятельная работа по вариантам. (10-15 мин)

Учащиеся продолжают закреплять навыки решения показательных уравнений и неравенств, выполняя уровневую самостоятельную работу по вариантам. Задания учащиеся выполняют на заранее приготовленных листах.

1 уровень.

Вариант 1. Вариант 2.

№1 Решите уравнение: №1 Решите уравнение:

а) ; а)

б) 2 ^{х - 1} + 2 ^{х + 2}= 36. б) 5 ^х - 5 ^{х - 2}= 600.

№2. Решите неравенства: №2. Решите неравенства:

а) ; а) ;

б) 4^х - 2^х 2. б) 9^х - 3^х 6.

2 уровень.

Вариант 1. Вариант 2.

№1 Решите уравнение: №1 Решите уравнение:

а) ;а) ;

б) 3^х-1 + 3^х+ 3^{х +1} = 13. б) б) 2^х+2 + 2^х+3+ 2^{х +4} = 7.

№2. Решите неравенства: №2. Решите неравенства:

а); а);

б) 5^х + 5^1-х6 . б) 4^1-х + 4^х 5.

3 уровень.

Вариант 1. Вариант 2.

№1 Решите уравнение: №1 Решите уравнение:

а) ; а) ;

б) 6^х + 6^{х +1} = 2^х + 2^{х +1} + 2^{х +2}. б) 3^{х - 1} + 3^х + 3^{х +1} = 12^х-1 + 12^х.

№2. Решите неравенства: №2. Решите неравенства:

а) ; а) ;

б) 4^{х +1} - 136^х + 9^х+1 б) 25^{х +0,5} - 710^х + 2^2х+1

По истечению выделенного времени учащиеся сдают свою работу учителю.

7.Подведение итога урока.

В конце урока учитель задает вопросы, побуждающие к рефлексии урока. Например: что на уроке было главным? Что было интересным? (Следует различать главное и интересное.) Что нового сегодня узнали? Чему научились?

8.Домашнее задание:( Слайд 9)

Раздел « Задачи на повторение» стр. 299 № 164 (в), 165 (в, г), 169 (а,б),

170 ( в,г).