- Учителю
- Урок по алгебре с использованием интерактивной доски на тему: 'Решение иррациональных уравнений' (11 класс)
Урок по алгебре с использованием интерактивной доски на тему: 'Решение иррациональных уравнений' (11 класс)
Урок алгебры в 11 классе с использованием интерактивной доски.
ТЕМА: «Решение иррациональных уравнений»
Где есть желание, найдется путь. Пойя Д.
Цели урока:
-
ОБУЧАЮЩИЕ. Продолжить отрабатывать навык решения иррациональных уравнений различными способами и применять их при решении тестовых заданий.
-
РАЗВИВАЮЩИЕ. Развивать логическое мышление, развивать навыки самоконтроля, уметь пользоваться интерактивной доской.
Этапы урока:
-
Организационный момент.
-
Устная работа.
-
Работа по вариантам.
-
Обобщение методов.
-
Закрепление.
-
Самостоятельная работа по классификации уравнений.
-
Решение этих уравнений.
-
Дополнительное задание- творческое.
-
Подведение итогов урока. Выставление оценок.
-
Домашнее задание.
1 этап. Здравствуйте, ребята, садитесь. Тема нашего урока: Решение иррациональных уравнений. Эпиграфом служат слова Пойя: «Где есть желание, найдется путь». Думаю, что желание необходимо в любом деле.
2 этап. Начнем. Задание: Выберите из данных уравнений иррациональные.
А) х + = 2,
Б) = 2 + х,
А, Г, Д, Ж
В) у2 - 2у = 2,
Г) = 4,
Д) = -5,
Е) - 2х = х,
Ж) =
Сверили ответы (ответы закрашены, открываются ручкой), объяснили. Это была разминка.
Дайте определение иррациональных уравнений.
-Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, а также под знаком возведения в дробную степень.
Что значит решить иррациональное уравнение?
-Решить иррациональное уравнение- значит найти все такие значения переменной, при подстановке которых в уравнение получится верное числовое равенство, либо доказать, что таких значений переменных не существует.
3 этап. В листах самоконтроля подпишите фамилию, имя, класс, вариант. Посмотрите на критерий оценок. За дополнительный устный ответ: 0,5 б., за дополнительный письменный - 2б. Оценка зависит от количества набранных балов. Три задания.
Лист самоконтроля
Ф.И._________________________________________ кл.______________Вариант___________
№ задания
1
2
3
Доп.
Доп.
ИТОГО
ОЦЕНКА
Кол-во баллов
1 задание - по 1 б. (максимум - 4 б.)
2 задание - по 1 б. (максимум-3 б.)
3 задание - по 2; 2.5; 3б.(максимум - 6; 7.5; 9 б.)
15 баллов и выше- оценка «5»
13-14 баллов- оценка «4»
10-12 баллов- оценка «3»
Ниже 10 баллов- без оценки, доп.задание (карт.).
1 задание: Решить уравнения. Время выполнения 5-6 мин:
Вариант 1
№
Решить уравнение
Верный ответ
1
= -2
А)1; В)-7; С)нет; D)-1; E)5.
С
2
(х- 4) = 0
А)0; В)4; С)-4; Д)1; Е)4;1.
Д
3
= х
А)-1; В)-1;-2; С)2; Д)нет; Е)3.
С
4
= х-1
А)7; В)8; С)9; Д)4; Е)11.
С
Вариант 2.
№
Решить уравнение
Верный ответ
1
=2
А)0; В)-1; С); Д)нет; Е)5.
Д
2
(-9) = 0
А)3; В)3; 2; С)3; -3; 2; Д)-3; 2; Е)3; -2.
Д
3
=
А)2; -1; В)2; С)-2; 1; Д)-1; Е); 0.
В
4
=
А)4; В)2; С)1; Д)5; Е)6.
В
Вариант 3
№
Решить уравнение
Верный ответ
1
х + 3 - = 2
А)-2; В)1; С)1;2; Д)5; Е)-1;2.
В
2
=
А)1; В)4; С)5; Д)6; Е)0.
А
3
= 6
А)9;6; В)-6; 5; С)-4; 2; Д)-7; 3; Е)-10; 3.
Е
4
(х-5)(х+2) = 0
А)2; В)7;-2; С)5; Д)7; Е)5; -2; 7.
Д
Стоп. Сверили с ответами (ответы также открываются ручкой). Максимум 4 балла. Занесли результаты в лист самоконтроля. У кого меньше 3 б.? Разобрать ошибки.
4 этап. При решении данных уравнений вы использовали различные методы.
Назовите их. И в чем идея каждого метода?
-Возведение в степень (общий метод);
-Введение новой переменной (метод замены);
-Разложение на множители (правило расщепления).
ОТВЕТЫ:
-
Возведение в степень.
а) Сначала изолируют (уединяют) 1 радикал, затем обе части возводят в одну и ту же степень, чтобы получилось рациональное уравнение.
б) Если 2 или более радикала, то сначала изолируют 1 из радикалов, затем обе части уравнения возводят в одну и ту же степень, и повторяют операцию до тех пор, пока не получится рациональное уравнение.
Что важно помнить?
- При возведении в четную степень возможно появление постороннего корня, в нечетную степень - нет.
2) Введение новой переменной.
Если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины, принимают его за новую переменную и решают относительно новой переменной. Затем найти исходную величину.
3) Метод разложения на множители.
Пользуемся правилом: Произведение равно нулю, а остальные при этом имеют смысл.
Мы разбирали следующие СХЕМЫ РАВНОСИЛЬНОГО ПЕРЕХОДА, при котором выполнять проверку не нужно:
= g(x) ↔ = ↔
g(x) = 0 ↔
Но все же чаще решаем иррациональные уравнения путем замены уравнения его следствием. Пожалуйста, перечислите пункты АЛГОРИТМА решения иррациональных уравнений:
1. Найти ОДЗ переменной, содержащейся под знаком корня.
2. Перейти от уравнения к его следствию.
3. Найти корни полученного уравнения.
4. Проверить, являются найденные корни, корнями исходного. (Проверяются те корни, которые входят в ОДЗ!)
Выслушали ответы. За верные ответы по 0,5 б. дополнительно.
5 этап. К доске идут 2 ученика решать уравнения средней сложности. Остальные решают самостоятельно.
1) - = 2 - ученик решает у доски
2) = 2 - - ученик решает на доске
3) (х - 1) = 0 - самостоятельно у доски, под шторкой верное решение.
1 уравнение. (решение под шторкой, которая открывается ручкой)
ОДЗ: ↔ х -1 ОТВЕТ: 15, -1
2 уравнение. (решение под шторкой)
Введем замену: = t, t ОТВЕТ: 4.
3 уравнение. Решают у доски.
х-1 = 0 или = 0 ОТВЕТ: -1; 2
Проверить решения. Найти ошибки, если они есть.
6 этап. 2 задание: Итак, разобрали 3 метода, а теперь самостоятельно разбейте в 3 колонки по методам решения (на доске разбросаны уравнения). Только букву соответствующего уравнения.
1 метод 2 метод 3 метод
Возведение в степень Введение переменной Разложение на множители
И) (х2 - 5х - 6) = 0 3) - 2 = 1 Д) + = 12
Ж) = - Г) = 1
Е) (х+1) = х +1,3 А) - 1=х
Б) х2 +11+ = 42
В) (х2-9) = 0
Проверим. Уравнения перетягиваются ручкой по колонкам. Максимум-3б.
1 метод 2 метод 3 метод
Возведение в степень Введение переменной Разложение на множители
А) - 1 = х Б) х2 +11+ = 42 В) (х2-9) = 0
Г) = 1 Д) + = 12 Е) (х+1) = х +1
Ж) = - З) -2 = 1 И) (х2 - 5х - 6) = 0.
7 этап. 3 задание: Решите уравнения, выбрав уровень сложности. Ответы открываются.
1 уровень- по 2б. 2 уровень- по 2,5б 3 уровень- по 3б.
А) - 1 = х, Г) = 1, Ж) = -
2 1 4
Б) +11+ = 42, Д) + = 12, З)- 2 = 1
5 76 2,5
В) (-9) = 0, Е) (х+1) = х +1, И) ( - 5х - 6) = 0.
2; -3 -2;6
8 этап. Кто справился с заданием, получит дополнительное задание (творческое):
Самостоятельно разобрать метод анализа уравнения (пристального взгляда).
МЕТОД АНАЛИЗА УРАВНЕНИЯ
1) = -1,
2) ,
3) = 1.
4) = 1,
5) = 3,
6) = 2,
7)
8) + = 4,
9) = -2,
10) ,
11) - 2. Затем, учащиеся разобравшие новый метод, объясняют остальным.
9 этап. Подводится итог урока.
Подсчитываются баллы. Согласно критериям, выставляются оценки в листах ответов.
10 этап. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
1) § 8 с.61, № 124,130 (п.34 с.208 авт. Колмогоров). Разбор нового метода «Метод исследования монотонности функции», который будет рассмотрен на прикладном курсе.
2) Домашнее задание, для кто не набрал баллы на «4» и «5». Решить уравнения:
1. Возведением в степень:
1) х + = 6
2)
3)
2. Введением новой переменной:
4) х + = 2
5) = 6
3. Разложением на множители:
6) (25-х2) = 0
7) (х2 -9) = 0.
Для самостоятельного изучения.
МЕТОД ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ. Использование монотонности функции, входящих в уравнение, упрощает техническую часть решения.
Свойства монотонных функций и теорема о корне:
1. Сумма возрастающих функций- функция возрастающая на их общей области определения. Сумма
убывающих функций- функция убывающая.
2. Разность возрастающей и убывающей функций- функция возрастающая на из общей области определения. Соответственно, разность убывающей и возрастающей- убывающая.
3. Теорема о корне: Пусть у = f(x)- монотонная на некотором промежутке функция. Тогда при любом значении а уравнение f(x)=а имеет на этом промежутке не более одного корня. Наглядный смысл теоремы: горизонтальная прямая у=а может пересечь график монотонной функции у=f(x) не более чем в одной точке (т.е. либо вообще его не пересекает, либо пересекает в единственной точке).
а) - = 2. Первый радикал при увеличении х возрастает, а второй- убывает, но он вычитается из первого, поэтому их разность возрастает. Следовательно, уравнение имеет не более одного решения. Легко найти, что х = 1.
б) +=8. Левая часть- возрастающая функция. Поэтому существует не более одного решения данного уравнения. Подбором найдем этот корень х=10.
в) ++ = 6. Левая часть- возрастающая функция. Единственный корень х = 7.
МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ
1)
2) = 3,
3)
4)
Спасибо за урок! Все хорошо поработали!