Урок в 11 классе по алгебре на тему: 'Задачи на минимум и максимум'.

Тема урока: Задачи на максимум и минимум.

Цели урока: обобщить и систематизировать понятия максимума и минимума функции на отрезке, точек максимума и минимума, второй производной; рассмотреть алгоритм решения задач на нахождения максимума и минимума; использовать знания при решении прикладных задач.

Тип урока: комбинированный.

Ход урока

1. Организационный момент.

Учитель приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку.

2. Мотивация обучения.

Учитель задает вопрос:

«Прав ли был Лобачевский?»

«Нет ни одной области математики, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям мира».

Далее учитель предлагает ученикам послушать задачи:

Задача 1. Как из кругло бревна вырезать балку, прямоугольной формы, с наименьшим количеством отходов?

Задача 2. Каким размером должен быть ящик, чтобы при заданном расходе материала его объём был наибольший?

Задача 3. В каком месте следует строить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была кратчайшей?

Учитель: «Как можно назвать эти задачи? Эти задачи получили название - задачи на минимум и максимум. Объясните почему?»

Учитель: «Если знать, как они решаются, то по словам Чебышева, мы можем «Располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды», но до 17 в. этот алгоритм был не известен».

3. Активизация опорных знаний.

а) Фронтальный опрос:

- Что называется производной функции?

- Какие точки называются критическими?

- Как найти максимум и минимум функции?

- Как по знаку производной определить возрастает или убывает функция?

б) Задание : Установите соответствие.

4. Подача нового материала.

Учитель: «В 17 в. произошла математическая революция. Произошел переход от элементарной математики к математическому анализу, предметом изучения которого является функция. Ее совершил Готфильд Лейбниц и Исаак Ньютон».

Вспомните алгоритм решения задач на максимум и минимум?

1).

2). = 0

Для того, чтобы решать задачи на минимум и максимум будем придерживаться такого алгоритма:

1. Задачу «переводим» на язык функций. Для этого выбираем переменную х, через которую определяем интересующую нас величину, как функцию от х.

2. Определить границы изменения переменной х. ([a;b])

3. Находим наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке.

4. Интерпретируем результат. Записываем ответ.

Для примера рассмотрим задачи.

Задача 1. Представить число 76 в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы сумма квадратов всех слагаемых была наименьшей, а отношение первого числа ко второму было равно 2:3.

Решение:

1 этап. Задачу «переводим» на язык функций

Пусть х>0 - коэффициент пропорциональности.

2х - первое слагаемое, 3х - второе. Если из суммы вычесть первое и второе слагаемое, то получим третье слагаемое (76-2х-3х=76-5х), причем положительное.

2 этап.

Тогда 76-5х>0, х<15,2.

х принадлежит промежутку (0;15,2) - определили границы изменения переменной х.

3 этап.

По условию задачи составим выражение:

(2х)²+(3х)²+(76-5х)²=38х²-760х+76²

Сумма квадратов трех чисел будет наименьшей при том значении х, при котором функция f(x)= 38х²-760х+76² на отрезке (0;15,2) достигает своего наименьшего значения.

=76х-760=76(х-10)

= 0

76(х-10)=0

х=10 - точка минимума , к тому же единственная критическая точка, значит, является результатом решения задачи.

4 этап. Следовательно, данные числа 20, 30 и 26.

Ответ: 20,30,26.

Задача 2. Площадь трапеции, описанной вокруг окружности равна 2. Найти радиус окружности, если известно, что сумма длин боковых сторон и высоты трапеции принимает минимально возможное значение.

В M С

O

А N D

Решение:

S=2.

AB+CD=BC+AD - свойство описанного четырехугольника около окружности.

S= (AD+BC)/2 *h

2=(AD+BC)/2*2x

AD+BC=2/x

Минимальное значение будет, если:

(AB+CD)+(BC+AD)+MN=f(x)

2/x + 2/x + 2x =4/x + 2х , х=0

= -4/x² +2

= 0

-4/x² +2=0

-4+2x²=0

2x²=4

x²=2

x=

Ответ: радиус равен

5. Формирование знаний, умений и навыков.

Решение задач из учебника Алгебра 10 класс. Никольский.

№ 5.91, 5.97.

6. Итог урока.

7. Домашнее задание п. 5.9. № 5.92, 5.99.