- Учителю
- Конспект урока по теме 'Возвратные уравнения' (8 класс)
Конспект урока по теме 'Возвратные уравнения' (8 класс)
Организационная информация | |
Тема урока | Возвратные уравнения |
Предмет | Математика |
Класс | 8 |
Автор урока | Елисеенков Денис Викторович |
Методическая информация | |
Тип урока: | Комбинированный |
Цели урока
| Образовательные:
Развивающие:
Воспитательные:
|
Задачи урока
|
|
ЗУН, которые приобре-тут ученики в ходе урока |
|
Необходимое оборудо-вание и материалы |
|
План урока (45 мин) | 1. Организационный момент (2 мин). 2. Изучение нового (40 мин). 3. Подведение итогов урока (2 мин). 4. Запись домашней работы (для желающих) (1 мин). |
Подробный конспект урока | |
Ход и содержание урока
| 1. Организационный момент. Учитель сообщает тему и цели урока. 2. Изучение нового материала. Определение. Алгебраическое уравнение вида a0xn + a1xn-1 +…+ an = 0 называют возвратным уравнением, если его коэффициенты, одинаково удаленные от начала и от конца, равны между собой (ak = an-k, где k = 0, 1, …, n). Примерами таких уравнений являются: 1) x3 - 2x2 - 2x + 1 = 0, a0 = a2 = 1, a1 = a2 = - 2; 2) 2x4 - 3x3 + 5x2 - 3x +2 = 0, a0 = a4 = 2, a1 = a3 = - 3, a2 = 5. Рассмотрим решение возвратных уравнений 3-й и 4-й степеней. I) Возвратное уравнение 3-й степени имеет вид: ax3 + bx2 + bx + a = 0 (1). Разложим на множители левую часть уравнения: ax3 + bx2 + bx + a = a(x3 + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1)(x2 - x + 1) + bx(x + + 1) = (x + 1)(ax2 - ax + a + bx) = (x + 1)(ax2 + (b - a)x + a). Уравнение (1) приняло вид: (x + 1)(ax2 + (b - a)x + a) = 0. Решением уравнения (1) будут корни: x = - 1, а другие корни получаются путем решения квадратного уравнения ax2 + (b - a)x + + a = 0. Пример 1. Решим уравнение 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0. Решение: Разложим на множители левую часть уравнения: 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 2(x3 + 1) + 7x(x + 1) = 2(x + 1)(x2 - x + 1) + 7x(x + + 1) = (x + 1)(2x2 - 2x + 2 + 7x) = (x + 1)(2x2 + 5x + 2). x = - 1 или 2x2 + 5x + 2 = 0. Решаем квадратное уравнение: D = 25 - 16 = 9 D > 0, 2 корня, = 3. x1 = = - 2 или x2 = . Ответ: {- 2; - 1; }. II) Возвратное уравнение 3-й степени имеет вид: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (2). Так как a ≠ 0, то x = 0 не является корнем. Разделим обе части уравнения (2) на x2 и сгруппируем отдельно слагаемые с a, с b: a + b + с = 0. Пусть (3). Возведем в квадрат обе части уравнения (3): . Значит, . Получим квадратное уравнение относительно t: a(t2 - 2) + bt + c = 0; at2 + bt + (c - 2a) = 0 (4). Решая уравнение (4), найдем его корни t1 и t2. Чтобы найти x, необходимо решить следующие уравнения: ; x2 - t1x + 1 = 0 и ; x2 - t2x + 1 = 0. Решения данных уравнения и будут являться решением уравнения (2). Пример 2. Решим уравнение 6x4 - 35x3 + 62x2 - 35x + 6 = 0. Решение: Разделим обе части уравнения на x2 и сгруппируем слагаемые: 6 - 35 + 62 = 0. Пусть , тогда . 6(t2 - 2) - 35t + 62 = 0; 6t2 - 35t + 50 = 0 D = 1225 - 1200 = 25 D > 0, 2 корня, = 5. t1 = или t2 =. Вернемся к замене: ; 2x2 - 5x + 2=0 D = 25 - 16 = 9 D > 0, 2 корня, = 3. x1 = или x2 = = 2. и ; 3x2 - 10x + 3=0 D1 = 25 - 9 = 16 D1 > 0, 2 корня, = 4. x3 = или x4 = = 3. Ответ: {; ; 2; 3}. Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения: 1) Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой . 2) Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x = −1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени. 3. Резерв: №1. Решите уравнение 3x3 - 7x2 - 7x + 3 = 0. Решение: Разложим на множители левую часть уравнения: 3x3 - 7x2 - 7x + 3 = 3(x3 + 1) - 7x(x + 1) = 3(x + 1)(x2 - x + 1) - 7x(x + + 1) = (x + 1)(3x2 - 3x + 3 - 7x) = (x + 1)(3x2 - 10x + 3). x = - 1 или 3x2 - 10x + 3 = 0. Решаем квадратное уравнение: D1 = 25 - 9 = 16 D > 0, 2 корня, = 4. x1 = или x2 = = 3. Ответ: {- 1; ; 3}. 5. Итог урока. Проговаривается все, что успели сделать на уроке. |
Домашнее задание (для желающих)
| Решить нерешенные примеры: 1) x3 - 2x2 - 2x + 1 = 0. Решение: Разложим на множители левую часть уравнения: x3 - 2x2 - 2x + 1 = (x3 + 1) - 2x(x + 1) = (x + 1)(x2 - x + 1) - 2x(x + 1) = = (x + 1)(x2 - x + 1 - 2x) = (x + 1)(x2 - 3x + 1). x = - 1 или x2 - 3x + 1 = 0. Решаем квадратное уравнение: D1 = 9 - 4 = 5 D > 0, 2 корня, = . x1 = или x2 = . Ответ: {- 1; ; }. 2) 2x4 - 3x3 + 5x2 - 3x +2 = 0. Решение: Разделим обе части уравнения на x2 и сгруппируем слагаемые: 2 - 3 + 5 = 0. Пусть , тогда . 2(t2 - 2) - 3t + 5 = 0; 2t2 - 3t + 1 = 0 D = 9 - 8 = 1 D > 0, 2 корня, = 1. t1 = или t2 == 1. Вернемся к замене: ; 2x2 - x + 2=0 D = 1 - 16 = - 15 D < 0, корней нет. и = 1; x2 -x + 1=0 D = 1 - 4 = - 3 D < 0, корней нет. Ответ: . |
В помощь учителю | |
Использованные источники и литература |
Учебник для учащихся с углубленным изучением математики.. |
~ 5 ~