Научно-исследовательская работа по математике на тему «Логарифмы в музыке» (11 класс)

Научно-исследовательская работа

«Логарифмы в музыке»

выполнил

ученик 11класса Шульгин Кирилл

Руководитель

учитель математики

Болотова Т.Д.

г.Липецк

Логарифмы в музыке.

Цели: 1.Применение логарифмов в нестандартной ситуации.

2.Развитие интереса к истории математики.

«Математика - царица всех наук». Это высказывание известно многим людям.

Но у большинства людей обычно складывается впечатление, что математика - царица точных наук: физики, информатики, химии.. Однако, на самом деле, математика - это не просто наука для бухгалтеров, финансистов. То, что математика неизменно связана и с музыкой, редко кто из музыкантов задумывается. Хотя американский математик Морис Клайн сказал:

« Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись - радовать глаз,
Поэзия - пробуждать чувства,
Философия - удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело - совершенствовать материальную сторону жизни людей,
а математика способна достичь всех этих целей".

Я люблю математику и увлекаюсь музыкой. Передо мной постоянно последнее время стоит вопрос: насколько существует тесная связь между математикой и музыкой и существует ли вообще? И в частности как логарифмы связаны с математикой?

Логарифмы сами по себе очень интересны. Об этом говорит хотя бы Логарифмическая "комедия 2 > 3"

Комедия начинается с неравенства 1/2 > 1/8, бесспорно правильно. Затем следует преобразование (1/2)² > (1/2)³, тоже не внушающее сомнение. Большему числу соответствует больший логарифм, значит,

lg(1/2)² > lg(1/2)³; 2lg(1/2) > 3lg(1/2). После сокращения на lg(1/2) имеем 2 > 3.

- Ваше впечатление?

- Где ошибка?

(Решение: ошибка была допущена при сокращении на lg(1/2); т.к. lg(1/2) < 0, то при сокращении на lg(1/2)необходимо было изменить знак неравенства, т.е. 2 < 3).

Музыканты редко увлекаются математикой. Большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими "странными" вещами, как логарифмы. Известный физик Эйхенвальд вспоминал:

«Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математику. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова - то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой. Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах".

И действительно, так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12- звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях).

Положим, что ноте "до" самой низкой октавы - будем ее называть нулевой - соответствует частота, равная п колебаниям в секунду. В октаве частота колебаний нижнего звука в 2 раза меньше верхнего, т.е. эти частоты соотносятся как 1 : 2. Тогда ноте "до" первой октавы будут соответствовать 2п колебаний в сек., а ноте "до" третьей октавы - 2^m · п колебаний в сек. И так далее. Тогда высоту, т.е. частоту любого звука можно выразить формулой

N_mn = n · 2 (¹²v2)^p

Логарифмируя эту формулу. Получаем lg N_mp = lg n + m lg2 + p(lg2)/12,

lg N_mp = lg n + (m + p/12) lg2/

Принимая частоту самого низкого "до" за единицу (n = 1) и приводя все логарифмы к основанию 2, имеем log₂ N_mp = Севастьян Бах Прелюдия Фуга "до - минор".

Логарифмы отношений частот весьма точно совпадают с разделением октавы на интервалы, равные 1/12. С помощью 12-ступенной шкалы, можно построить интервалы, распространенные в музыке:

ОКТАВА:2/1 ( )=1)

КВАТА 4/3 (=0,417)

СЕКУНДА 9/8 ( =0,169)

Создание логарифмически равномерной 12-тонной музыкальной шкалы - итог совместной деятельности музыкантов и математиков. Она могла появиться только после разработки общей теории отношений в V книге «Начал» Евклида и теории логарифмов в XVII в.

Не случайно на протяжении всего этого столетия в теории сохраняется точка зрения на музыку как на науку о числах, т. е. как на раздел математики . Такому взгляду способствовал авторитет «Гармонии мира» Кеплера. И позже, в начале XVIII в., Лейбниц в своих многочисленных заметках о музыке еще всюду утверждает, что природа музыкальных созвучий строится на основе числовых пропорций. Однако, сводя природу музыки к математическим пропорциям, Лейбниц тем не менее высказывал совершенно новую мысль: исчисление пропорций, которое совершается при восприятии музыки, происходит скрытным, неосознанным образом. В письме Гольбаху от 17 апреля 1712 г. Лейбниц дает следующее знаменитое определение музыки: «Музыка есть арифметическое упражнение души, которая исчисляет себя, не зная об этом».

В свое время английский математик Д. Сильвестр называл музыку математикой чувств, а математику - музыкой разума. Он же выражал надежду, что каждая из них должна получить завершение со стороны другой, и предвидел в будущем появление личности, в которой соединятся гении Бетховена и Гаусса.

Основанием для подобной надежды могла быть только математическая точность музыки, которая всегда была ее неотъемлемым свойством. Очень важно, что и современные течения не поколебали этой фундаментальной ее черты.

"Если что есть приятное в музыке, - говорит анонимный автор средневекового трактата, - то это от числа зависит; то же и в ритмах, как музыкальных, так и иных. Звуки быстро проходят, числа же, телесным существом звуков и движений украшенные, останутся".

Оказывается, что почтенный Пифагор отвергал оценку музыки, основанную только на свидетельстве чувств. Он утверждал, что достоинства ее должны восприниматься умом, и потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами одной октавы.

Необходимую, существенную связь музыки и числа обнаружили, как известно, еще пифагорейцы, которые, открыв числовые соотношения, лежащие в основе музыкальных созвучий, явились, собственно говоря, родоначальниками музыкальной теории.

Пифагор создал свою школу мудрости, положив в ее основу два искусства - музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга.

Возьмем для примера так называемую «гармоническую пропорцию». Говорят, что три числа образуют гармоническую пропорцию, если обратные им числа удовлетворяют непрерывной арифметической пропорции.

Оказывается, длины трех струн, дающих ноты до, ми, соль, которые составляют один из наиболее благозвучных аккордов - мажорный, удовлетворяют гармонической пропорции, а числа колебаний этих струн образуют непрерывную арифметическую пропорцию. Следовательно, числа предшествуют гармонии, так как их неизменные законы управляют всеми гармоническими пропорциями.

Пифагорейский музыкальный строй, определивший на столетия судьбу европейской музыки, - это математика.

В музыке немало математики. Мы используем западноевропейской нотную систему, основа которой - две вполне строгие шкалы частоты и времени. Частоты звукоряда представляют собой геометрическую прогрессию с коэффициентом 1,059... (корень 12 степени из 2), а временная организация -это звуки и паузы, находящиеся в кратных отношениях (чаще всего деноминатором выступает степень 2). Структура музыкального произведения нередко оказывается очень простой, представляя собой чередование некоторых «блоков-модулей» определенной протяженности. Мелодические партии имеют, как правило, деление на мотивы, фразы, предложения и периоды, а аккомпанирующие - явно выраженный периодический характер. И все это еще объединено гармонией - своеобразными матрицами нормативных сочетаний звуков из некоторой сетки частот.

На практике музыкант значительно реже математика задумывается о формальной основе музыкального произведения, которая зафиксирована в нотах. То, что действительно в музыке является строгим, складывалось столетиями, обусловлено акустическими явлениями и психологией восприятия звука. Но все это для традиционного музыканта некая данность, фундамент, который в повседневной практике не требует ни ревизии, ни пристального внимания. И это оправданно, поскольку предмет музыканта, будь он исполнителем, композитором, педагогом или теоретиком, менее формализован и включает собственные непростые задачи.

Нотный текст и звучащее произведение - вещи очень разные. По сути, партитура это лишь план действия исполнителя. С акустической точки зрения, звучащее произведение - чрезвычайно сложный объект, уникальность которого связана с конкретным музыкантом и конкретным исполнением. Действительно, анализируя версии самой простой мелодии, разбираясь в волнах и спектрах акустической записи, можно схватиться за голову от обилия нюансов. Как соотносятся объемы данных нотного текста и звучащего произведения?

Простой пример - небольшой менуэт Ф.Э.Баха включает 107 нот, помимо этого в нотном тексте содержится 38 специальных указаний. Не сложно подсчитать, что если на кодировку нот использовать по 3 байта (старт, стоп и номер ноты), по байту на специальные указания, то все произведение вполне можно закодировать в файле размером в 0,5 Кb. Но реальное произведение звучит 2,4 минуты и занимает объем в 13-16 Мb!!! Даже если это сжать, то и 1,5 Мb в 3000 раз больше объема закодированной партитуры. Кто-то скажет, что в этих звуковых данных много лишнего, второстепенного и в чем-то будет прав, но... попробуйте что-то подобное сказать музыканту! Исполнителю кажется, что как не записывай - всегда что-то теряется - какие уж здесь разговоры о сжатии и прореживании! Но что же на самом деле содержится в звучащем произведении и что в этих мегабайтах? Наверное, именно в нюансах живого выразительного исполнения сама музыка, а нотная партитура в действительности лишь план исполнения.

Инженеры обратились к анализу спектров акустических инструментов и к алгоритмам синтеза электронных тембров. В начале расчет звуковых колебаний выполнялся центральным процессором и крайне редко в реальном времени. Поэтому на первых ЭВМ создание музыкального произведения было очень утомительным процессом. Надо было закодировать ноты и назначить тембры, затем запустить программу для расчета звуковой волны и... подождать несколько часов, чтобы послушать результат. Если музыкант, а точнее программист-оператор, вносил какое-то изменение в партитуру-программу, то ему приходилось снова ждать несколько часов до прослушивания. Понятно, что такая музыкальная практика не могла быть массовой... Но исследователям феномена музыки хотелось пойти дальше, чем применение машины в виде электронной музыкальной шкатулки. Так возникло другое, вполне естественное направление в музыкальном использовании ЭВМ - порождение, генерация самого нотного текста. Если в музыке действительно есть законы и человек-композитор пишет ее по правилам, то наверное и машину, умеющую думать, можно попытаться заставить сочинять музыку?...

Пианист Генрих Нейгауз говорил: «Раздумывая об искусстве и науки, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства». Из выше сказанного следует, что между математикой и музыкой существуют очень тесные связи.