- Учителю
- Исследовательская работа в 9 классе по теме ' Свойства биссектрис параллелограмма'
Исследовательская работа в 9 классе по теме ' Свойства биссектрис параллелограмма'
Биссектрисы параллелограмма. Исследовательский проект
I. Введение. 1.1. Все ли мы узнали о четырехугольниках? Изучая тему "Четырехугольники", мы познакомились с их различными видами, узнали свойства и признаки, научились решать задачи. Особенно богат своими удивительными свойствами квадрат. Знакомый нам с детского сада, он, оказывается, объединил в себе свойства прямоугольника, ромба, да и параллелограмма. Решая задачи, мы учились применять полученные знания. Казалось, я знаю все: задачи мне были подвластны, трудностей нет. Однако одна из задач не то, чтобы вызвала у меня затруднения, но очень меня заинтересовала. №425 ("Геометрия 7-9" Л.С.Атанасян) Периметр параллелограмма АВСД равен 46см, АВ=14см. какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении. Цель работы: Рассмотрение свойств биссектрис параллелограмма Задачи:
1.2 Немного из истории... Термин "ПАРАЛЛЕЛОГРАММ" греческого происхождения и был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны ещё пифагорейцам. В "Началах" Евклида доказывается теорема о том, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида. "ТРАПЕЦИЯ" - слово греческое, означавшее в древности "столик" (по-гречески "трапедзион" означает столик, обеденный столик). В "Началах" термин "трапеция" применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырёхугольник (не параллелограмм). "Трапеция" в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония. Лишь в XVIII веке это слово приобретает современный смысл. Предположение о том, что средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, было известно древним египтянам, оно содержится в папирусе- Ахмеса и фигурирует в виде инскрипции на стенах храма Эдфу в Верхнем Египте. Это предложение было также известно вавилонским землемерам, оно содержится и в трудах Герона Александрийского. Термин "КВАДРАТ" происходит от латинского "квадратум" ("Квадрате" - сделать четырёхугольным). Первый четырёхугольник, с которым познакомилась геометрия, был квадрат. Вычислением площадей фигур занимались ещё в древности. Ещё 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. А в древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Древние египтяне пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника и трапеции: для трапеций сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту. Для вычисления площади четырёхугольника со сторонами а, b, с, d (рис.1) применялась формула , т.е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника. С её помощью можно вычислить приближённо площадь таких четырёхугольников, у которых углы близки к прямым. В своих "Началах" Евклид не употреблял слово "площадь", так как он под самим словом "фигура" понимал часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражал результат измерения площади числом, а сравнивал площади разных фигур между собой. Слово "РОМБ", как и параллелограмм, греческого происхождения, оно означает вращающееся тело. В "Началах" Евклида термин "ромб" встречается только один раз в определениях, свойства ромба вообще не изучаются. Ромб также имел смысл бубна, который в древности был не круглым, а четырёхугольным. В полученных мною сведениях нигде не встретилось упоминания о биссектрисах параллелограмма. II. Основная часть 2.1 Формулировка и доказательство свойств биссектрис параллелограмма Я попытался подойти к этому вопросу практически. Изображая различные параллелограммы, при помощи транспортира проводил в них биссектрисы, анализировал рисунки и пытался сделать выводы. Так же я использовал бумажные модели параллелограммов. Проведенная работа позволила мне сформулировать и доказать свойства биссектрис параллелограмма, а так же придумать способ проведения биссектрисы параллелограмма без транспортира. Я сформулировал и доказал свойства биссектрис параллелограмма и оформил их в виде презентации, чтобы затем познакомить с ними других учащихся (Приложение. Презентация).
Свойства биссектрис параллелограмма.
Изучая школьные учебники по геометрии авторов А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна, я увидел, что как теоретический материал свойства биссектрис параллелограмма не встречаются, а даются как задачи на доказательство. А это приводит к тому, что учащиеся не помнят сформулированные в них факты, так как повторяют пройденный материал по выделенным в учебнике формулировкам теорем, свойств геометрических фигур. А знание их очень полезно, так как значительно сокращает время, необходимое для решения задачи. Формулировки некоторых из этих свойств я встретил позднее в сборниках олимпиадных задач, сборниках задач для подготовки к ЕГЭ, итоговой аттестации в 9 классе. В книге И.Шарыгина "Математика для поступающих в ВУЗы" я познакомился еще с одним свойством и его доказательством (стр.176): Площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами параллелограмма, со сторонами a и b и углом γ , равна 1/2 (a-b)2sin γ. III. Практическая часть. При рассмотрении данной темы меня постоянно мучил один вопрос: почему в учебниках геометрии так мало задач на применение свойств биссектрис параллелограмма, а в сборниках для подготовки к экзаменам их довольно много? За разъяснениями я обратился к учителю математики Сербинович Е.В. Введение в школьный курс новой формы экзамена, в форме ЕГЭ, приводит к тому , что у учащихся должно формироваться целостное представление о математике. Применить свои знания учащимся необходимо по двум предметам: алгебре и началам анализа и геометрии. Однако при подготовке к экзамену в форме ЕГЭ очень ярко видны пробелы изучения геометрии в школе. На экзаменах по математике задачи по геометрии являются самыми трудными заданиями. Задачи по геометрии требуют применения сведений из разных разделов курса планиметрии и стереометрии. Таким образом, для их решения нужно ориентироваться во всей совокупности знаний о свойствах рассматриваемой фигуры, которые могли изучаться в разных классах основной и старшей школы. Решение задач требует комплексного применения 2 - 3 геометрических фактов, свойств из разных разделов курса. Кроме того задания, которые используются и на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы, состоят из задач в которых ситуация применения геометрических фактов не является для учащихся привычной и отработанной в ходе обучения. Проанализировав решение задач ЕГЭ, можно сказать, что в школе очень многое изучается как бы вскользь, чуть затрагивая свойство или теорему. Анализ решений задач привел к необходимости анализа школьных учебников и по такому аспекту, как построение теоретического материала. Работая и изучая школьные учебники по геометрии авторов А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна, можно сказать, что в них к теоретическим фактам (теоремам) отнесены в основном только те утверждения, которые необходимы для построения теории. При этом многие утверждения, весьма полезные для решения большого числа задач, даются как задачи на доказательство. К таким теоретическим фактам (не приведенным в учебниках) можно отнести, например, свойства биссектрисы угла параллелограмма. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны. Так в учебнике под редакцией Л.С. Атанасяна приведена задача на выявление 1 свойства: Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см. Аналогичная задача приведена в учебнике под редакцией А.В. Погорелова. На формулировку 2 свойства в учебнике под ред. Л.С. Атанасяна приведена задача на доказательство: в параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник. В учебнике под редакцией А.В. Погорелова не приводятся задачи на применение этого свойства. Аналогичная ситуация складывается и при подготовке к экзамену по геометрии в новой форме в 9 классе. Задачи на применение свойств биссектрисы параллелограмма в основном предлагаются во второй части работы. Учитывая эти слова, я сделал следующее:
Далее я провел эксперимент. Предложила ряд задач ученикам 9 класса. В основном они затруднились в решении их, так как не владели данными знаниями, а пытались каждый раз сначала доказать очевидные для меня теперь свойства. Были получены следующие результаты выполнения заданий: 1 задание -80%, 2 задание - 64%, 3 задание - 0%, 4 и 5 задание -15%, 6 задание - 37%.После этого я познакомил учеников с содержанием теоретической части моей работы и несколько задач мы решили вместе. Затем я предложил им выполнить ту же самую тестовую работу, которую составила сама. Результаты ее выполнения следующие:
.Проделанная работа убедила меня в необходимости изучения данного вопроса более глубоко, чем это предложено в учебнике. IV. Заключение. Рассмотрение вопроса о свойствах биссектрис параллелограмма позволило мне приобрести новые знания. Я увидел необходимость этих свойств для решения большого количества задач. В своей работе я не только сам сформулировал, доказал свойства, но и попытался применить их к решению задач. Я думаю, что на следующий год этот материал будет необходим мне при подготовке к экзамену по математике. Буду рада, если другие ребята воспользуются им. Задачи:
Список литературы:
|
Исследовательская работа
по геометрии по теме
«Биссектрисы параллелограмма»
Выполнил ученик
8 б класса
Привалов Артем.
Руководитель
учитель математики
Сербинович Е. В.
МОУ-СОШ №8
город Клинцы