Математика на практике. Загадки пирамиды Хеопса и приближенные числа

Математика на практике. Загадки пирамиды Хеопса и приближенные числа

Высочайшая пирамида Древнего Египта - пирамида Хеопса, уже пять тысяч лет обдуваемая знойным пустынным воздухом, представляет собой самую удивительную постройку, сохранившуюся до нашего времени. Высотой почти 150 метров, она занимает площадь в 40000 м² и сложена из 200 рядов громадных камней. 100000 рабов в течение 30 лет трудились над её сооружением. 10 лет из них рабы готовили дорогу для перевозки камней от каменоломни до места постройки, а 20 лет громоздили камни друг на друга с помощью несовершенных машин того времени. Было бы странно, если бы такое огромное сооружение было воздвигнуто только с единственной целью - служить гробницей для правителя страны. Поэтому до сих пор некоторые исследователи не решили проблему: раскроется ли тайна пирамиды из соотношения её размеров. Им посчастливилось найти ряд удивительных соотношений, свидетельствующих о том, что жрецы, руководители работ по постройке, обладали глубокими познаниями по математике и астрономии и эти познания воплотили в каменных формах пирамиды.

Знаменитый греческий историк Геродот рассказывал: «Египетские жрецы открыли мне следующее соотношение между стороной основания и высотой: квадрат, построенный на высоте пирамиды, в точности равен площади каждого из боковых треугольников (боковых граней). Это вполне подтверждается новейшими измерениями. Это подтверждает тот факт, что во все времена пирамида Хеопса рассматривалась как памятник, пропорции которого рассчитаны математически.

1) Из более позднего доказательства известно, что отношение длины окружности к диаметру есть постоянная величина π. Чтобы найти длину окружности, нужно умножить диаметр на эту величину, приближенно равную 3,1416. Математики древности знали это отношение весьма приближенно. Но вот если сложить стороны основания пирамиды, то мы получим периметр основания, равный 931,22 м. Разделив это число на удвоенную высоту (2·148,208), получаем3,1416.

Этот единственный в своем роде памятник, следовательно, представляет собой материальное воплощение числа π, игравшего столь важную роль в истории математики. Египетские жрецы имели, как видим, точные представления по ряду вопросов, которые считаются открытиями ученых более позднего времени.

2)Еще одно удивительное соотношение: если сторону основания пирамиды разделить на точную длину года (365,2422 суток), то получается как раз 10-миллионная доля земной полуоси с точностью, которой могли бы позавидовать современные астрономы.

3)Кроме того, высота пирамиды составляет ровно миллиардную долю расстояния от Земли до Солнца - величины, которая европейской науке стала известна лишь в конце XVIII века. Египтяне 5000 лет назад знали то, чего не знали еще ни современники Галилея и Кеплера, ни ученые эпохи Ньютона.

Между тем все это - не более, чем игра цифрами. Этот вопрос представится совсем в другом свете, если подойти к нему с оценкой результатов приближенных вычислений.

Вернемся к первому утверждению. О числе π арифметика приближенных чисел утверждает, что если в результате действия деления хотим получить число с 6 верными цифрами (3,14159), то мы должны иметь в делимом и делителе по крайней мере столько же верных цифр. Это значит, в применении к пирамиде, что для получения 6-значного π надо было измерить стороны основания и высоту пирамиды с точностью до миллионных долей результата, т.е. до 1 мм. Но кто может поручиться за такую точность измерения пирамиды? В лаборатории Института мер, где производятся точнейшие в мире измерения, не могут при измерении длины превзойти такую точность (могут при измерении длины получить только 6 верных цифр). Отсюда понятно, насколько грубее может быть выполнено измерение каменной глыбы в пустыне. Правда, при точнейших землемерных работах (при измерении базисов) можно и на местности достичь такой же точности, как и в лаборатории (до 6 верных цифр). Но невозможно осуществить это в условиях измерения пирамиды. Истинных первоначальных размеров давно уже не существует, так как облицовка пирамиды существенно изменилась из-за погодных условий. Никто не может утвердительно определить её толщину.

Если пирамида действительно есть каменное воплощение числа π, то воплощение это, как мы видим, далеко не совершенное. Но вполне допустимо, что пирамида сооружена вовсе не ради выражения именно этого соотношения. В пределы приближенных трехзначных чисел для размеров пирамиды хорошо укладываются и другие допущения. Возможно, например, что для высоты пирамиды было взято 2/3 ребра пирамиды или 2/3 диагонали её основания. Вполне допустимо и то соотношение, которое было указано Геродотом: высота пирамиды есть квадратный корень из площади боковой грани. Но пока всё это лишь догадки.

Второе утверждение касается продолжительности года и длины земного радиуса: если разделить сторону основания пирамиды на точную длину года (число из 7 цифр), то получим в точности 10-миллионную долю земной оси (число из 5 цифр). Но так как мы знаем, что в делимом имеем не более 3 верных цифр, то ясно, какую цену имеют здесь эти 7 и5 знаков в делителе и в частном. Арифметика может ручаться здесь только за 3 цифры в длине года и земного радиуса. Год в 365 суток и земной радиус около 6400 км - вот те числа, о которых мы вправе говорить.

Что касается третьего вопроса о расстоянии от Земли до Солнца, то здесь недоразумение другого рода. Здесь допущена логическая ошибка. Ведь если как утверждали, сторона пирамиды составляет известную долю земного радиуса, а высота - известную долю основания, то нельзя уже говорить, будто та же высота составляет определенную долю расстояния до Солнца. Справедливо либо одно, либо другое. А если случайно обнаруживается любопытное соответствие обеих длин, то оно всегда существовало в нашей планетной системе, и никакой заслуги жрецов здесь нет.

Сторонники рассматриваемой теории пошли ещё дальше. Они утверждают, что масса пирамиды составляет одну тысячебиллионную часть массы земного шара. Это соотношение, по их мнению, не может быть случайным и свидетельствует о том, что жрецы знали не только геометрические размеры нашей планеты, но и задолго до Ньютона и Кавендиша исчислили её массу. Совершенно нелепо здесь говорить о том, будто масса пирамиды выбрана в определенном соответствии с массой земного шара. Масса пирамиды определилась с того момента, как был выбран её материал и размеры основания и высоты.

Нельзя одновременно сопоставлять высоту пирамиды с основанием, составляющим определенную долю земного радиуса, и независимо от этого ставить ее массу в связь с массой Земли. Одно определяется другим. Значит, должны быть отвергнуты всякие домыслы о знании египтянами массы земного шара. Отсюда видно, на каких шатких основаниях держится легенда о непостижимой учености жрецов-архитекторов пирамиды. А вот применение понятия приближенных чисел и действий над ними здесь имеют огромное значение.