- Учителю
- Методика обучения решению математических задач. Стериометрия (11 класс)
Методика обучения решению математических задач. Стериометрия (11 класс)
Методика обучения учащихся решению
математических задач по стериометрии
Этапы работы над задачей:
-
Анализ условия задачи и схематическая запись задачи;
-
Поиск решения задачи;
-
Оформление решения задачи;
-
Проверка решения и запись ответа;
-
Исследование задачи.
Методика работы с вычислительной стереометрической задачей
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна а и угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60.
I этап. Анализ условия задачи и построение чертежа
Деятельность учителя
Деятельность ученика
-
Какая геометрическая фигура рассматривается в задаче?
-
Пирамида.
-
-
О какой пирамиде идет речь?
2. Пирамида правильная четырехугольная.
-
Как выполняем построение пирамиды?
3.
а) Строим основание;
б) Определяем проекцию вершины пирамиды;
в) Отмечаем вершину;
г) Соединяем ее с вершинами основания, то есть, строим боковые ребра пирамиды.
-
Куда проектируется вершина данной пирамиды?
4. Вершина данной пирамиды проектируется в центр основания, так как пирамида правильная, центром квадрата является точка пересечения его диагоналей.
-
Выполните построение пирамиды.
5.
-
Что известно о пирамиде? (Какие данные надо нанести на чертеж?)
6. В основании - квадрат со стороной а, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°.
-
Какую боковую грань выбираем?
7.Так как пирамида правильная, можно выбрать любую боковую грань. Возьмем грань SCD.
-
Как построить угол наклона этой грани к плоскости основания?
8. Надо построить линейный угол, для этого надо выделить линию пересечения этой грани с плоскостью основания (это ребро CD), выделить главный перпендикуляр (это SO), затем построить или наклонную, или ее проекцию, перпендикулярную линии пересечения боковой грани с плоскостью основания.
В данном случае можно построить наклонную, перпендикулярную CD, так как ASCD - равнобедренный. Пусть К - середина CD. Тогда SKCD. Соединим точку К с центром основания О. Тогда по теореме о трех перпендикулярах можно утверждать, что OKCD, значит, SKO - линейный, по условию SKO = 60°.
-
Было предложено построение линейного угла, когда строилась наклонная, перпендикулярная линии пересечения плоскостей. Можно ли было иначе строить линейный угол?
9. Можно сначала построить проекцию некоторой наклонной, перпендикулярную линии пересечения плоскостей, для чего провести перпендикуляр из основания высоты пирамиды (точки О) на сторону CD, этот перпендикуляр строится параллельно AD, так как ABCD - квадрат. Затем полученную точку К соединить с вершиной S.
Схематическая запись задачи
Дано: SABCD - правильная четырехугольная пирамида. АВ=а, α=60°. Найти: V.
II этап. Поиск способа решения задачи
Деятельность учителя
Деятельность ученика
-
Что нужно найти в задаче?
1. Объем пирамиды.
-
По какой формуле находится объем пирамиды?
2. V = SOCHH
-
Что нужно знать, чтобы найти V?
3. Площадь основания и высоту. Основание - это квадрат, значит нужно найти площадь квадрата со стороной а.
-
Из какой фигуры можно найти высоту пирамиды?
4. Высоту можно найти из треугольника SOK.
-
Что известно об этом треугольнике?
5. Треугольник прямоугольный, SKO=60°.
-
Что еще нужно знать, чтобы найти высоту?
6. Какой-нибудь линейный элемент треугольника.
-
Какой элемент сможем найти?
7. Сможем найти катет ОК.
-
Чему он равен?
8. Он равен половине стороны квадрата, то есть .
-
Итак, наметим план решения.
1) Найдем soch.
2) Вычислим высоту пирамиды SO.
3) Вычислим объем пирамиды.
Оформление поиска способа решения задачи
План решения задачи может быть отражен в схеме поиска ее решения:
Шэтап. Оформление решения задачи
-
Рассмотрим квадрат ABCD: Sосн = а2.
-
Рассмотрим SOK., где К - середина CD. O = 90°, так как SO - высота пирамиды.
AD = а, ОК = AD = .
SO = OK tg60°=.
-
Вычислим объем пирамиды:
, .
IV этап. Проверка решения и запись ответа
Осуществим проверку задачи, решив ее другим способом. Высоту пирамиды можно найти из SOK по теореме Пифагора.
Если SKO=60°, то OSK = 30°, тогда SK = 2 ОК = а.
SO=.
Вычисления соответствуют первому способу, значит, задача решена верно. Ответ: .
У этап. Исследование задачи
Можно ли задачу решить другим способом?
В проверке был показан иной способ вычисления высоты. Кроме того, высоту пирамиды можно вычислить из SOD, предварительно вычислив SD из SDK и OD из квадрата ABCD.
На будущее полезно запомнить, как отмечается угол наклона боковой грани в правильной четырехугольной пирамиде, что поиску способа решения задачи помогают вопросы: «Что нужно знать, чтобы найти...?», «По какой формуле вычисляется...?», «Из какой фигуры можно найти...?», что поиск способа решения задачи и план ее решения удобно демонстрировать в граф-схеме.