- Учителю
- Открытый урок по алгебре на тему 'Показательная функция, ее график и свойства' (11 класс)
Открытый урок по алгебре на тему 'Показательная функция, ее график и свойства' (11 класс)
Открытый урок по алгебре и началам анализа
по теме "Показательная функция, ее свойства и график". 11-й класс
Тема урока Показательная функция.
Цели урока
-
Образовательная - закрепить знания, умения и навыки учащихся в чтении графика показательной функции, применении свойств функции при решении уравнений и неравенств, вывести правило нахождения области значения показательной функции, систематизировать ЗУН учащихся в решении тригонометрических уравнений.
-
Развивающая - формировать такую мыслительную операцию как анализ.
-
Воспитательная - воспитывать потребность в объективной оценке результатов, умение работать в группе.
Тип урока
: комбинированный.
Оборудование:
наглядные пособия (рисунки), раздаточный материал, проектор.
Ход урока
Повторение ранее изученного материала
СЛАЙД 2 (подготовка к итоговой аттестации)
Три ученика на доске записывают решение заданий:
Решить уравнение
1) 4sin2 x - 1 = 0
Решение:
sin2 x =1/4
x = ± arcsin + n, nЄZ
x = ± /6 + n, nЄZ
Ответ: ±/6 + n, nЄZ
2) 4cos2 x -1 = 0
Решение:
cos2 x = 1/4
x = ± arccos + n, nЄZ
x = ± /3+ n, nЄZ
Ответ: ± /3+ n, nЄZ
3) найти корни уравнения на заданном отрезке:
2sin x + =0 [0; 2]
Решение:
sin x = -/2
x = (-1)k+1 /4 + k, k Є Z
k - чётное
x = - /4 + k, k Є Z
0 - /4+ k 2
/4 k 2 + /4
1/4 k 9/4
k = 1; 2
если k = 1, то x = 3/4
если k = 2, то x = 7/4
Ответ: {/4; 3/4; 5/4; 7/4}
k - нечётное
x = /4 + k, k Є Z
0 /4+ k 2
- /4 k 2 -/4
- 1/4 k 7/4
k = 0; 1
если k = 0, то x = ?/4
если k = 1, то x = 5/4
СЛАЙДЫ 3-4
-
Какие свойства функции вы знаете? (область определения, область значений, монотонность, четность/нечетность, ограниченность, непрерывность, выпуклость, экстремумы)
-
Какие преобразования графика функции вы знаете? (параллельный перенос вдоль оси Ох и Оу, растяжение/сжатие вдоль оси Ох и ОУ, симметрия относительно оси Ох и Оу)
Работа с классом:
СЛАЙД 5
В практике часто используются функции у = 2х и у = 0,5х, у = 10х и у =0,1х и т.д. функция вида у = ах, где а - заданное число, х - переменная.
СЛАЙД 6
-
Давайте построим график функции у = 2х по точкам.
-
Для этого необходимо что сделать? (построить таблицу значений).
-
На прошлых уроках мы говорили, что степень с основанием 2 существует при любом показателе степени, значит, при построении графика функции мы можем соединять точки на координатной плоскости сплошной линией (таблицу заполнить , отметить точки на координатной плоскости).
-
Аналогично построим график функции у = 0,5х (3 слайд).
СЛАЙД 7
Дать определение показательной функции.
Функция у = ах, где а>0 и а 1 называется показательной, а ее график - экспонентой.
Почему накладывается условие а > 0 и а 1?
График любой функции у = ах при а > 1 имеет вид (на слайде слева), а график любой функции у = ах при 0 < а < 1 имеет вид (на слайде справа).
Перечислим свойства этой функции, заполним таблицу (первую половину заполняет учитель, вторую - ученик).
СЛАЙД 8
Описать свойства функции, изображённой на графике:
Область определения функции, область значения функции, промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули функции, наибольшее и наименьшее значения, экстремумы, ограниченность.
СЛАЙД 10-11
-
Радиоактивный распад описывается формулой m m(t)=m0(½)t/T
-
m(t) и m0 - масса радиоактивного вещества соответственно в момент времени t=0, Т - период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).
-
Пример. Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса равна 8г?
-
Решение: Воспользуемся данной формулой. В данной задаче t=10·365 (считаем что в году 365 дней), Т=140. t/Т = 365/14. Ответ: через десять лет плутония останется примерно 1,13·10-7.
СЛАЙД 12
№ 453 (устно) [1].
Укажите, какая из данных функций является возрастающей, какая - убывающей на множестве R:
а) ;б) ;
в) ;г)
Описать алгоритм построения графика функции:
а) у=3x + 2
Решение:
Алгоритм:
у = 3x (пунктиром ось Ох)
у=3x + 2 (переносим ось Ох на 2 единицы вниз)
б) у=3x-2 - 2
Решение:
Алгоритм:
1. у = 3x (пунктиром ось Ох и ось Оу)
2. у=3x-2 (переносим ось Оу на 2 единицы влево)
3. у=3x-2 - 2 (переносим ось Ох на 2 единицы вверх)
в) у=|3x-2 - 2|
Решение:
Алгоритм:
1. у = 3x (пунктиром ось Ох и ось Оу)
2. у=3x-2 (переносим ось Оу на 2 единицы влево)
3. у=3x-2 - 2 (переносим ось Ох на 2 единицу вверх)
4. у=|3x-2 - 2| (та часть графика, которая находится ниже оси Ох, зеркально отображается вверх)
Все учащиеся выполняют построение графиков функций в тетрадях, один ученик изображает графики функций на отдельном листе и показывает классу.
Проверяется работа учащихся у доски.
Исследовательская работа
(работа в группах)
I. Дать определение области значения функции.
II. Назвать область значения функций:
а) у = 3x,
б) у = -3 x,
в) у = (1/5) x,
г) у = (-1/4) x
д) у = 3 x - 2.
III. Дана функция: у = а x ± b. Вывести правило,по которому можно, не выполняя построение графика данной функции, найти область значения функции.
Класс делится на 2 группы, каждая группа выполняет задание:
1 группа. Построить графики функций и сделать вывод: Как найти О.З. функции у = а x + b?
a) у = 3 x,
б) у = 3 x + 6,
б) у = 3 x + 6,
в) у = 3 x + 5,
г) у = 3 x + 2,
д) у = а x + b.
Изменится ли область определения данных функций?
2 группа. Построить графики функций и сделать вывод: Как найти О.З. функции
у = а x - b.
a) у = 3 x, б) у = 3 x - 6, б) у = 3 x -6, в) у = 3 x - 5, г) у = 3 x - 2, д) у = аx - b.
Изменится ли область определения данных функций?
Учащиеся делают вывод:
Если у = а x + b, то Е (у) = (b; ), Д (у) = ( ; )
Если у = а x - b, то Е (у) = (-b; ), Д (у) = ( ; )
Закрепление темы:
(применяется кодоскоп)
1. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции: у = 2 x + 4
1) 5; 2) 2; 3) 3; 4) 4
Решение: т.к. Е (у)= (4; ), то верный ответ 1) 5.
Ответ: 1)
2. Решить уравнение:
3x = (х-1) 2 + 3
1) 7; 2) 1; 3) -3; 4) 19
Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:
т.к. данная система имеет единственное решение,то методом подбора находим х=1
Ответ: 2)
3. Решить неравенство:
а) сos x 1 + 3x
Решение:
Ответ: ( ; )
б) соs х 1 + 3x
Решение:
нет решений
Ответ: решений нет.
4.Самостоятельная работа учащихся:
№ 1348. Найти область значений функции:
a)
б)
в)
г)
№1350. Решить уравнение:
а)
б)
в)
г)
№1352. Решить неравенство:
а)
б)
в)
г) [2]
Итог урока:
Учитель с учащимися подводят итоги урока.Выставляются оценки.
Домашнее задание:
№1354. Решить неравенство:
а)
б)
в)
г) [2]
№ 454. Найти область значений функции:
а)
б)
в)
г) [1]
№ 458. Решить уравнения:
а)
б)
в)
г) [1]
Литература
-
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11кл./ под ред. А.Н. Колмогорова.- М. Просвещение, 2002.
-
Алгебра и начала анализа: Задачник, часть 2, для 10-11кл./ под ред. А.Г. Мордковича.- М. Мнемозина, 2002.