Открытый урок по алгебре на тему 'Показательная функция, ее график и свойства' (11 класс)

Открытый урок по алгебре и началам анализа

по теме "Показательная функция, ее свойства и график". 11-й класс

Тема урока Показательная функция.

Цели урока

• Образовательная - закрепить знания, умения и навыки учащихся в чтении графика показательной функции, применении свойств функции при решении уравнений и неравенств, вывести правило нахождения области значения показательной функции, систематизировать ЗУН учащихся в решении тригонометрических уравнений.

• Развивающая - формировать такую мыслительную операцию как анализ.

• Воспитательная - воспитывать потребность в объективной оценке результатов, умение работать в группе.

Тип урока

: комбинированный.

Оборудование:

наглядные пособия (рисунки), раздаточный материал, проектор.

Ход урока

Повторение ранее изученного материала

СЛАЙД 2 (подготовка к итоговой аттестации)

Три ученика на доске записывают решение заданий:

Решить уравнение

3) найти корни уравнения на заданном отрезке:

2sin x + =0 [0; 2]

Решение:

sin x = -/2

x = (-1)^k+1 /4 + k, k Є Z

СЛАЙДЫ 3-4

1. Какие свойства функции вы знаете? (область определения, область значений, монотонность, четность/нечетность, ограниченность, непрерывность, выпуклость, экстремумы)

2. Какие преобразования графика функции вы знаете? (параллельный перенос вдоль оси Ох и Оу, растяжение/сжатие вдоль оси Ох и ОУ, симметрия относительно оси Ох и Оу)

Работа с классом:

СЛАЙД 5

В практике часто используются функции у = 2^х и у = 0,5^х, у = 10^х и у =0,1^х и т.д. функция вида у = а^х, где а - заданное число, х - переменная.

СЛАЙД 6

1. Давайте построим график функции у = 2^х по точкам.

2. Для этого необходимо что сделать? (построить таблицу значений).

3. На прошлых уроках мы говорили, что степень с основанием 2 существует при любом показателе степени, значит, при построении графика функции мы можем соединять точки на координатной плоскости сплошной линией (таблицу заполнить , отметить точки на координатной плоскости).

1. Аналогично построим график функции у = 0,5^х (3 слайд).

СЛАЙД 7

Дать определение показательной функции.

Функция у = а^х, где а>0 и а  1 называется показательной, а ее график - экспонентой.

Почему накладывается условие а > 0 и а  1?

График любой функции у = а^х при а > 1 имеет вид (на слайде слева), а график любой функции у = а^х при 0 < а < 1 имеет вид (на слайде справа).

Перечислим свойства этой функции, заполним таблицу (первую половину заполняет учитель, вторую - ученик).

СЛАЙД 8

Описать свойства функции, изображённой на графике:

Область определения функции, область значения функции, промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули функции, наибольшее и наименьшее значения, экстремумы, ограниченность.

СЛАЙД 10-11

• Радиоактивный распад описывается формулой m m(t)=m₀(½)^t/T

• m(t) и m₀ - масса радиоактивного вещества соответственно в момент времени t=0, Т - период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).

• Пример. Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса равна 8г?

• Решение: Воспользуемся данной формулой. В данной задаче t=10·365 (считаем что в году 365 дней), Т=140. t/Т = 365/14. Ответ: через десять лет плутония останется примерно 1,13·10^-7.

СЛАЙД 12

№ 453 (устно) [1].

Укажите, какая из данных функций является возрастающей, какая - убывающей на множестве R:

а) ;б) ;

в) ;г)

Описать алгоритм построения графика функции:

а) у=3^x + 2

Решение:

Алгоритм:

у = 3^x (пунктиром ось Ох)

у=3^x + 2 (переносим ось Ох на 2 единицы вниз)

б) у=3^x-2 - 2

Решение:

Алгоритм:

1. у = 3^x (пунктиром ось Ох и ось Оу)

2. у=3^x-2 (переносим ось Оу на 2 единицы влево)

3. у=3^x-2 - 2 (переносим ось Ох на 2 единицы вверх)

в) у=|3^x-2 - 2|

Решение:

Алгоритм:

1. у = 3^x (пунктиром ось Ох и ось Оу)

2. у=3^x-2 (переносим ось Оу на 2 единицы влево)

3. у=3^x-2 - 2 (переносим ось Ох на 2 единицу вверх)

4. у=|3^x-2 - 2| (та часть графика, которая находится ниже оси Ох, зеркально отображается вверх)

Все учащиеся выполняют построение графиков функций в тетрадях, один ученик изображает графики функций на отдельном листе и показывает классу.

Проверяется работа учащихся у доски.

Исследовательская работа

(работа в группах)

I. Дать определение области значения функции.

II. Назвать область значения функций:

а) у = 3^x,

б) у = -3 ^x,

в) у = (1/5) ^x,

г) у = (-1/4) ^x

д) у = 3 ^x - 2.

III. Дана функция: у = а ^x ± b. Вывести правило,по которому можно, не выполняя построение графика данной функции, найти область значения функции.

Класс делится на 2 группы, каждая группа выполняет задание:

1 группа. Построить графики функций и сделать вывод: Как найти О.З. функции у = а ^x + b?

a) у = 3 ^x,

б) у = 3 ^x + 6,

б) у = 3 ^x + 6,

в) у = 3 ^x + 5,

г) у = 3 ^x + 2,

д) у = а ^x + b.

Изменится ли область определения данных функций?

2 группа. Построить графики функций и сделать вывод: Как найти О.З. функции

у = а ^x - b.

a) у = 3 ^x, б) у = 3 ^x - 6, б) у = 3 ^x -6, в) у = 3 ^x - 5, г) у = 3 ^x - 2, д) у = а^x - b.

Изменится ли область определения данных функций?

Учащиеся делают вывод:

Если у = а ^x + b, то Е (у) = (b; ), Д (у) = ( ; )

Если у = а ^x - b, то Е (у) = (-b; ), Д (у) = ( ; )

Закрепление темы:

(применяется кодоскоп)

1. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции: у = 2 ^x + 4

1) 5; 2) 2; 3) 3; 4) 4

Решение: т.к. Е (у)= (4; ), то верный ответ 1) 5.

Ответ: 1)

2. Решить уравнение:

3^x = (х-1) ² + 3

1) 7; 2) 1; 3) -3; 4) 19

Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:

т.к. данная система имеет единственное решение,то методом подбора находим х=1

Ответ: 2)

3. Решить неравенство:

а) сos x 1 + 3^x

Решение:

Ответ: ( ; )

б) соs х 1 + 3^x

Решение:

нет решений

Ответ: решений нет.

4.Самостоятельная работа учащихся:

№ 1348. Найти область значений функции:

a)

б)

в)

г)

№1350. Решить уравнение:

а)

б)

в)

г)

№1352. Решить неравенство:

а)

б)

в)

г) [2]

Итог урока:

Учитель с учащимися подводят итоги урока.Выставляются оценки.

Домашнее задание:

№1354. Решить неравенство:

а)

б)

в)

г) [2]

№ 454. Найти область значений функции:

а)

б)

в)

г) [1]

№ 458. Решить уравнения:

а)

б)

в)

г) [1]

Литература

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11кл./ под ред. А.Н. Колмогорова.- М. Просвещение, 2002.

2. Алгебра и начала анализа: Задачник, часть 2, для 10-11кл./ под ред. А.Г. Мордковича.- М. Мнемозина, 2002.